2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)(附答案详解).pdf

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1、20212021 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）（乙卷）一、单选题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分）1.(2021全国历年真题)设2(+)+3()=4+6，则=()A.12B.1+2C.1+D.1=|=4+1,，2.(2021全国历年真题)已知集合=|=2+1,，则 =()A.B.SC.TD.Z3.(2021全国历年真题)已知命题 p：，1；命题 q：，|1，则下列命题中为真命题的是()A.B.1C.D.()4.(2021全国历年真题)设函数()=1+，则下列函数中为奇函数的是()A.(1)1B.(1)+1C.(+1)1D.(+1)+15.

2、(2021全国历年真题)在正方体1111中，P 为11的中点，则直线 PB与1所成的角为()A.2B.3C.4D.66.(2021全国历年真题)将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种B.120 种C.240种D.480 种17.(2021全国历年真题)把函数=()图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数=sin(4)的图像，则()=()A.sin(212)7B.sin(2+12)C.sin(212)7D.sin

3、(2+12)78.(2021全国历年真题)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1个数，则两数之和大于4的概率为()A.97B.3223C.329D.929.(2021全国历年真题)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点 E，H，G在水平线 AC上，DE和 FG是两个第 1 页，共 20 页垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和 EH都称为“表目距”，GC与 EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高=()A.C.B.D.10.(2021全国历年真题)设 0，若=为函数()=()2()的极大值点，则()A.2C.2

4、11.(2021全国历年真题)设 B是椭圆 C：+2=1(0)的上顶点，若 C上的2任意一点 P都满足|2，则 C的离心率的取值范围是()2A.,1)2B.2,1)12C.(0,2D.(0,2112.(2021全国历年真题)设=21.01，=1.02，=1.04 1，则()A.B.C.D.0)的一条渐近线为3+第 2 页，共 20 页三、解答题（本大题共7 7 小题，共 82.082.0分）17.(2021全国历年真题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.0

5、10.110.210.09.910.19.810.310.010.610.110.510.210.49.710.5新设备10.110.4旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记22为1和222(1)求，1，2；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 2221210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)18.(2021全国历年真题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面 ABCD，=1，M 为BC中点，且 (1)求 BC；第 3 页，共 20 页(2)求二面角 的正弦值19.(2021全国历年真题)记为

6、数列的前 n 项和，为数列的前 n 项积，已知2+1=2(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式20.(2021全国历年真题)己知函数()=ln()，已知=0是函数=()的极值点(1)求 a；(2)设函数()=第 4 页，共 20 页+()().证明：()0)的焦点为 F，且 F 与圆 M：2+(+4)2=1上点的距离的最小值为 4(1)求 p；(2)若点 P在 M上，PA，PB为 C 的两条切线，A，B 是切点，求 面积的最大值22.(2021全国历年真题)在直角坐标系 xOy中，的圆心为(2,1)，半径为 1(1)写出 的一个参数方程；x 轴正半轴为极轴建立极坐标(2)过点(4,1)

7、作 的两条切线.以坐标原点为极点，系，求这两条切线的极坐标方程23.(2021全国历年真题)已知函数()=|+|+3|(1)当=1时，求不等式()6的解集；(2)若()，求 a的取值范围第 5 页，共 20 页第 6 页，共 20 页答案和解析1.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：设=+，a，b是实数，则=，则由2(+)+3()=4+6，得2 2+3 2=4+6，得4+6=4+6，4=4得，得=1，=1，6=6即=1+，故选：C利用待定系数法设出=+，a，b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题2.【答案】

8、C【知识点】交集及其运算【解析】解：当 n是偶数时，设=2，则=2+1=4+1，当 n是奇数时，设=2+1，则=2+1=4+3，则 ，则 =，故选：C分别讨论当 n是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题3.【答案】A【知识点】复合（或、且、非）命题的判定【解析】解：对于命题 p：，1，当=0时，=0 1，故命题 p为真命题，为假命题；对于命题 q：，|1，第 7 页，共 20 页因为|0，又函数=为单调递增函数，故|0=1，故命题 q为真命题，为假命题，所以 为真命题，为假命题，为假命题，(

9、)为假命题，故选：A先分别判断命题 p和命题 q 的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题4.【答案】B【知识点】函数的奇偶性【解析】解：因为()=1=1(1)21=11，2所以函数()的对称中心为(1,1)，所以将函数()向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数=(1)1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数=(1)1为奇函数故选：B先根据函数()的解析式，得到()的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案本题考查

10、了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定()的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题5.【答案】D【知识点】异面直线所成角 1/1，1是直线 PB与1【解析】解：所成的角(或所成角的补角)，设正方体1111的棱长为 2，则1=1=22222=2，1=2222=22，=22(2)2=6，cos1=22211121=268262=23，2第 8 页，共 20 页 1=，6直线 PB与1所成的角为6故选：D由1/1，得1是直线 PB与1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线 PB与1所成的角本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】C【知识点】排

11、列、组合的综合应用2【解析】解：5 名志愿者选 2个 1 组，有5种方法，然后 4 组进行全排列，有44种，24共有54=240种，故选：C5 分先选 2人一组，然后 4组全排列即可本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题7.【答案】B【知识点】函数 y=Asin(x+)的图象与性质【解析】解：把函数=()图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数=sin(4)的图像，把函数=sin(4)的图像，向左平移3个单位长度，得到=sin(+34)=sin(+12)的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵

12、坐标不变，可得()=sin(2+12)的图像故选：B由题意利用函数=(+)的图像变换规律，得出结论本题主要考查函数=(+)的图像变换规律，属基础题118.【答案】B【知识点】几何概型第 9 页，共 20 页0 1【解析】解：由题意可得可行域：1 4角形的面积=244=32，1 9321339=2332故选：B0 1由题意可得可行域：1 4结合几何概型即可得出结论本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题79.【答案】A【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用【解析】解：=，=，故=，即+=+，=+，解得：，故：=(+)=+

13、故选：A根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.【答案】D【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】解：令()=0，解得=或=，即=及=是()的两个零点，当 0时，由三次函数的性质可知，要使=是()的极大值点，则函数()的大致图象如下图所示，第 10 页，共 20 页则0 ；当 0时，由三次函数的性质可知，要使=是()的极大值点，则函数()的大致图象如下图所示，则 2故选：D分 0及 ，令()=2(1+)(1+4 1)，0 1，令1+4=，则1 0，()在(1,5)上单调

14、递增，()(1)=24 1+24=0，()0，同理令()=ln(1+2)(1+4 1)，再令1+4=，则1 5 =214，2+12()=ln()+1=ln(2+1)+1 2，(1)22+1()=2+1 1=2 0，()在(1,5)上单调递减，第 12 页，共 20 页()(1)=2 1+1 2=0，()，故选：B构造函数()=2(1+)(1+4 1)，0 0)的一条渐近线为3+=0，则有3=，解可得=3，则双曲线的方程为其焦距2=4；故答案为：4根据题意，由双曲线的性质可得3=，解可得 m 的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算 c 的值，即可得答案本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线

15、方程的分析，属于基础题232 2=1，则=3+1=2，14.【答案】5【知识点】向量垂直的判断与证明=(1,3)，【解析】解：因为向量=(3,4)，则 =(1 3,3 4)，又()，)=3(1 3)+4(3 4)=15 25=0，所以(解得=5故答案为：5333第 13 页，共 20 页利用向量的坐标运算求得再由(可得(=(1 3,3 4)，)，)=0，即可求解的值本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题15.【答案】22【知识点】余弦定理【解析】解：的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，=60，2+2=3，=3 221132=

16、3 =4 2+2=12，=22，(负值舍)又=2+2222=11228故答案为：22由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题16.【答案】或【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高 1，图形的高也为 1，即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为 2，即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为故答案为：或通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高

17、、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，=10(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10，1第 14 页，共 20 页=1(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5=10.3,101(9.8 10)2+(10.310)2+(1010)2+(10.210)2+(9.910)210+(9.81

18、0)221=+(1010)2+(10.110)2+(10.210)2+(9.710)2=0.036；22=1(10.110.3)2+(10.410.3)2+(10.110.3)2+(10.010.3)2+(10.11010.3)2+(10.310.3)2+(10.610.3)2+(10.510.3)2+(10.410.3)2+(10.510.3)2=0.04；(2)=10.310=0.3，22+21210=20.036+0.041022=2 0.0076 0.174，所以 21+2，10故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差【解析】本题考

19、查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较与21+2的大小，即可判断得到答案102218.【答案】解：(1)连结 BD，因为 底面 ABCD，且平面 ABCD，则，又，=，PB，平面 PBD，所以 平面 PBD，又平面 PBD，则，所以+=90，又+=90，则有=，所以，则=，所以22=1，解得=2；(2)因为 DA，DC，DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则(2,0,0),(2,1,0),(,1,0)，(0,0，1)，2 2 2=(2,0,1)，所以=(2,1,

20、0),=(2,0,0),=(2,1,1)，21第 15 页，共 20 页=(,)，设平面 AMP的法向量为2+=0=0 则有，即2，+=0 =02令=2，则=1，=2，故 =(2,1,2)，=(,)，设平面 BMP的法向量为 =0，即2=0则有，=02 +=0=(0,1,1)，令=1，则=1，故所以|cos|=|=|372=2314，14设二面角 的平面角为，31470则=1 cos2=1 cos2=1 (14)2=14，所以二面角 的正弦值为1470【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)连结 BD，利用线面垂直的性质定理证明 ，从而可以证明 平面 PBD，得到 ，证明

21、，即可得到 BC的长度；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题19.【答案】解：(1)证明：当=1时，1=1，由+=1，解得1=2，11213当 2时，1=，代入+=2，21消去，可得21+=2，所以 1=，211所以是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由题意，得1=1=1=2，由(1)，可得=2+(1)2=由+=2，可得=+1，313

22、31+22，21+2第 16 页，共 20 页当 2时，=1=32211=(1)，显然1不满足该式，1所以=,1(1)=1,2【知识点】等差数列的性质、数列的递推关系(1)由题意当=1时，1=1，【解析】代入已知等式可得1的值，当 2时，将，代入=2，可得 1=2，进一步得到数列是等差数列；1=211(2)由1=1=1=2，可得=1=1(1)322，代入已知等式可得=1，当 2时，=2，进一步得到数列的通项公式本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题20.【答案】(1)解：由题意，()的定义域为(,)，令()=()，则()=()，(,)，则()=ln()=ln()，因

23、为=0是函数=()的极值点，则有()=0，即=0，所以=1，当=1时，()=ln(1 )1=ln(1 )11，且(0)=0，因为()=1(1)2=(1)2 0，当 (0,1)时，()0，所以=1时，=0时函数=()的一个极大值综上所述，=1；(2)证明：由(1)可知，()=(1 )，要证()1，即需证明(1)1，因为当 (,0)时，(1 )0，当 (0,1)时，(1 )(1 )，即(1 )ln(1 )0，令()=(1 )ln(1 )，则()=(1 )11 ln(1 )，所以(0)=0，当 (,0)时，()0，所以=0为()的极小值点，所以()(0)=0，即+ln(1 )(1 )，故(1)1，所

24、以()1【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值【解析】(1)确定函数()的定义域，令()=()，由极值的定义得到()=0，求出 a 的值，然后进行证明，即可得到a 的值；(2)将问题转化为证明(1)(1 )，令()=+(1 )ln(1 )，利用导数研究()的单调性，证明()(0)，即可证明本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题(1)点(0,2)到圆 M 上的点的距离的最小值为|1=2+4 1=4，【答案】解：21.解得=2；(

25、2)由(1)知，抛物线的方程为2=4，即=42，则=2，设切点(1,1)，(2,2)，则易得：=(1+21221211+ln(1)+()+ln(1)214,：=22 224，从而得到,4)，设：=+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2 4 4=0，=162+16 0，即2+0，且1+2=4，12=4，(2,)，|=1+2(1+2)2 412=1+2 162+16，=2|=4(+)，又点(2,)在圆 M：2+(+4)2=1上，故2=4(2+121541(4)241232|22+2|2+1，代入得，=)2，3而=5,3，第 18 页，共 20 页当=5时，()=205【知识点】圆锥曲线中的综合问

26、题【解析】(1)由点 F到圆 M 上的点最小值为 4 建立关于 p 的方程，解出即可；(2)对=42求导，由导数的几何意义可得出直线PA及 PB的方程，进而得到点P的坐标，再将 AB的方程与抛物线方程联立，可得(2,)，|以及点 P到直线 AB的距离，进而表示出 的面积，再求出其最小值即可本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题122.【答案】解：(1)的圆心为(2,1)，半径为 1，则 的标准方程为(2)2+(1)2=1，=2+cos 的一个参数方程为(为参数)=1+sin(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为 1=(4)，即 4+1=

27、0，圆心(2,1)到切线的距离=3|214+1|2+1=1，解得=，33所以切线方程为=(4)+1，3因为=，=，所以这两条切线的极坐标方程为=(4)+13【知识点】简单曲线的极坐标方程、圆的参数方程【解析】(1)求出 的标准方程，即可求得 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由=，=即可求解这两条切线的极坐标方程本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题2 2,323.【答案】解：(1)当=1时，()=|1|+|+3|=4,3 1，2+2,1 33 ，则|+3|，两边平方可得2+6+9 2，解得 2，即 a的取值范围是(2,+)【知识点】不等式和绝对值不等式【解析】(1)将=1代入()中，根据()6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得()|+3|，然后根据()，得到|+3|，求出 a 的取值范围本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题33第 20 页，共 20 页