北京市2021年数学中考真题(含答案解析).pdf

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1、20212021 年北京市初中学业水平考试年北京市初中学业水平考试数数 学学 试试 卷卷一、选择题一、选择题(共共1616分，每题分，每题2 2分分)第第1-81-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2021 北京中考，1，2 分，）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱2（2021 北京中考，2，2 分，）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元，将 169 200 000 000 用科学记数法

2、表示应为（）A0.16921012C1.6921011B1.6921012D16.9210103（2021 北京中考，3，2 分，）如图，点 O 在直线 AB 上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（）A30B40C50D604（2021 北京中考，4，2 分，）下列多边形中，内角和最大的是（）ABCD5（2021 北京中考，5，2 分，）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2B|a|bCa+b0Dba06（2021 北京中考，6，2 分，）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）1A41B31C22D37（2021

3、北京中考，7，2 分，）已知 4321849，4421936，4522025，4622116若 n 为整数且 n2021n+1，则 n 的值为（）A43B44C45D468（2021 北京中考，8，2 分，）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形记矩形的一边长为x m，它的邻边长为 y m，矩形的面积为 S m2当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系二、填空题二、填空题(共共 1616 分，每题分，每题

4、 2 2 分分)9（2021 北京中考，9，2 分，）若x7在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_10（2021 北京中考，10，2 分，）分解因式：5x25y2_11（2021 北京中考，11，2 分，）方程2x 31的解为_xk（k0）的图象经x12（2021 北京中考，12，2 分，）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y过点 A（1，2）和点 B（1，m），则 m 的值为_13（2021 北京中考，13，2 分，）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点若P50，则AOB_14（2021 北京中考，14，2 分，）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，A

5、D 上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是_（写出一个即可）15（2021 北京中考，15，2 分，）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲乙111212122131321414215142甲、乙两组数据的方差分别为S甲，S乙，则S甲_S乙（填“”，“”或“”）16（2021 北京中考，16，2 分，）某企业有A，B 两条加工相同原材料的生产线在一天内，A 生产线共加工 a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工 b 吨原材料，加工时间为（2b+3）小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加

6、工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为_第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 吨原材料后，又给A 生产线分配了 m 吨原材料，给 B 生产线分配了 n 吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为_三、三、解答题解答题（共（共6868分，第分，第17201720 题，每题题，每题5 5分，第分，第21222122 题，每题题，每题6 6分，第分，第2323题题5 5分，第分，第2424题题6 6分，第分，第2525题题5 5分，分，第第2626题题6 6分，第分，第27282728 题，每题题，每题7 7分

7、）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17（2021 北京中考，17，5 分，）计算：2sin60+mn12+|5|（+2）04x-5x+1，18（2021 北京中考，18，5 分，）解不等式组：3x-4x.219（2021 北京中考，19，5 分，）已知 a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值20（2021 北京中考，20，5 分，）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在点 B 处

8、立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹）；（2）在上图中，确定了直线DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向完成如下证明证明：在 ABC 中，BA_，D 是 CA 的中点，CADB（_）（填推理的依据）直线 DB 表示的方向为东西方向，直线 CA 表示的方向为南北方向

9、21（2021 北京中考，21，6 分，）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为2，求 m 的值22（2021 北京中考，22，6 分，）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC，EFAB，垂足为 F（1）求证：四边形 AECD 是平行四边形；（2）若 AE 平分BAC，BE5，cosB4，求 BF 和 AD 的长523（2021 北京中考，23，5 分，）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数 y1x 的图象向下平移 1 个单位长度得到2（

10、1）求这个一次函数的解析式；（2）当 x2 时，对于x 的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数ykx+b 的值，直接写出m 的取值范围24（2021 北京中考，24，6 分，）如图，O 是 ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC 于点E（1）求证：BADCAD；（2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和OF 的长25（2021 北京中考，25，5 分，）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25 家邮政企业，获得了它们4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数

11、据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a 甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8，8x10，10 x12，12x14，14x16）：b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c甲、乙两座城市邮政企业4 月份收入的数据的平均数、中位数如下：甲城市乙城市平均数10.811.0中位数m11.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中 m 的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份

12、收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2 比较 p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4 月份的总收入（直接写出结果）26（2021 北京中考，26，6 分，）在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上（1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上若mn0，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由27（2021 北京中考，27，7 分，）如图，在 ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点D在 MC 上，以点 A 为中心

13、，将线段 AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE（1）比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并证明28（2021 北京中考，28，7 分，）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1 对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对应点），则称线段 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”（1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整

14、数在线段B1C1，B2C2，B3C3中，O 的以点 A 为中心的“关联线段”是_；（2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点A（0，t），其中t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”，求 t 的值；（3）在ABC 中，AB1，AC2若BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长20212021 年北京市初中学业水平考试数学试题年北京市初中学业水平考试数学试题答案全解全析答案全解全析1 1答案：答案：B解析：解析：圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，展开图可得此几何体为圆柱故选B考查内容：考查内容：几何体的展开图命题意图命题意图：本

15、题主要考查学生对常见几何体的展开图的了解与直观想象能力，难度较小2 2答案：答案：C解析：解析：169200000000 的整数位数有 12 位，所以将 169200000000 用科学记数法表示应为 1.6921011故选C考查内容：考查内容：科学记数法命题意图：命题意图：本题主要考查学生用科学记数法表示较大的数，难度很小归纳总结：归纳总结：把一个数表示成 a10n的形式(其中 1a10，a 为整数)，这种记数的方法叫做科学记数法（1）a10，n 等于原数的整数位数当原数的绝对值大于 10 时，用科学记数法可写成 a10n的形式，其中 1减 1，也就是小数点向左移动的位数（2）当原数的绝对值

16、小于 1 时，用科学记数法可写成 a10n的形式，其中 1a10，n 是负数，它的绝对值等于原数第一个不是0 的数前面 0 的个数，也就是小数点向右移动的位数3 3答案：答案：A解析：解析：AOC+BOC180，AOC120，BOC18012060又OCOD，COD90，BODCODBOC906030故选 A考查内容考查内容：垂直的定义；邻补角的定义命题意图：命题意图：本题主要考查学生对邻补角的定义和垂线的定义运用，难度很小4 4答案：答案：D解析解析：A 项，三角形的内角和为 180；B 项，四边形的内角和为 360；C 项，五边形的内角和为（52）180540；D 项，六边形的内角和为（6

17、2）180720故选 D考查内容考查内容：多边形内角和命题意图：命题意图：本题主要考查学生对多边形内角和定理的掌握程度，难度很小5 5答案：答案：B解析解析：A 项，由图可得数 a 表示的点在2 左侧，a2，故 A 错误；B 项，a 到 0 的距离大于 b 到 0的距离，|a|b，故 B 正确；C 项，|a|b，a0，b0，a+b0，故 C 错误；D 项，ba，ba0，故 D 错误故选 B考查内容考查内容：绝对值；实数与数轴命题意图：命题意图：本题主要考查学生对用数轴表示数，实数的运算法则的掌握，难度较小6 6答案：答案：C解析解析：画树状图如下：由树状图可知共 4 种等可能的结果，一枚硬币正

18、面向上，一枚硬币反面向上的有2 种结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为考查内容考查内容：列表法与树状图法命题意图命题意图：本题主要考查学生对概率公式的理解，对列举法求概率的掌握，数学建模能力、数学运算能力的应用，难度较小7 7答案：答案：B解析解析：193620212025，44202145，n44故选 B考查内容考查内容：估算无理数的大小命题意图：命题意图：本题主要考查用有理数估算无理数的大小，难度较小8 8答案：答案：A解析解析：由题意得，2（x+y）10，x+y5，yx+5，即y 与 x 是一次函数关系Sxyx（x+5）x2+5x，矩形面积满足的函数关系为Sx2+5x，满足

19、二次函数关系故选A考查内容考查内容：一次函数的应用；二次函数的应用命题意图：命题意图：本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识及数学建模素养，数学运算素养【核心素养】【核心素养】以矩形的周长与面积为为载体，考查在知识形成、发展和应用过程中，所积累的活动经验，以及对知识本质的理解和数学思想的感悟，体现了数学建模核心素养9 9答案：答案：x7解析解析：由题意得 x70，解得 x7考查内容考查内容：二次根式有意义的条件命题意图命题意图：本题主要考查学生对二次根式有意义的条件的理解与数学运算能力，难度较小1010答案：答案：5（x+y）（xy）解析解析：5x25y25（x2y2）5（

20、x+y）（xy）考查内容考查内容：提公因式法与公式法的综合运用命题意图命题意图：本题主要考查学生对因式分解方法的灵活运用与数学运算能力，难度较小1111答案：答案：x321故选 C42解析解析：去分母，得 2xx+3，解得 x3检验：x3 时，x（x+3）0，方程的解为 x3考查内容考查内容：解分式方程命题意图命题意图：本题主要考查学生对分式方程的解法的掌握与数学运算能力，难度较小1212答案：答案：2解析解析：反比例函数 y即 m 的值为2考查内容考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征命题意图命题意图：本题主要考查学生对用待定系数法求反比例函数的解析式的掌握与数学运算能力，难度较小1313答

21、案：答案：130解析解析：PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，OAAP，OBBP，OAPOBP90OAP+AOB+OBP+P360，AOB360909050130考查内容考查内容：切线的性质；多边形的内角和命题意图命题意图：本题主要考查学生对切线的性质、四边形的内角和的掌握与逻辑推理能力，难度较小1414答案：答案：AE=AF（答案不唯一）解析解析：可添加 AEAF，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，即 AFCEAFEC，四边形 AECF 是平行四边形，AEAF，AECF 是菱形考查内容考查内容：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质命题意图命题意图：本题主要考查学生对矩形的性

22、质、菱形的判定的理解和运用与逻辑推理能力，难度较小1515答案：答案：k（k0）的图象经过点A（1，2）和点B（1，m），m12，解得m2，x112S解析解析：x甲（11+12+13+14+15）13，甲（1113）2+（1213）2+（1313）2+（1413）552+（1513）22，x乙112（12+12+13+14+14）13，S乙（1213）2+（1213）2+（1313）55222+（1413）2+（1413）20.8，20.8，S甲S乙考查内容考查内容：平均数；方差命题意图命题意图：本题主要考查学生对方差的计算公式的掌握与数据分析能力，难度中等1616答案：答案：2：312解析解

23、析：设分配到 A 生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5x）吨，根据题意，可得 4x+12（5x）+3，解得 x2，分配到 B 生产线的吨数为 523（吨），分配到 A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 2：3；第二天开工时，给 A 生产线分配了（2+m）吨原材料，给 B 生产线分配了1m1（3+n）吨原材料，加工时间相同，4（2+m）+12（3+n）+3，解得 mn，=2n2考查内容考查内容：一元一次方程的应用；二元一次方程的应用；比例的性质命题意图命题意图：本题主要考查学生对一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质的掌握及数学建模素养，数学运算素养核心素

24、养：核心素养：创设了加工相同原材料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力、对题目中的信息进行提取、加工和处理能力，建立合适的数学模型，鼓励学生用多样化的方法、不同的数学模型来分析、解决现实问题，考查模型思想与应用意识17解析解析：原式23+23+5123+2 3+513 3+4易错警示：易错警示：本题中计算零次幂时，易出现（+2）00 的错误，理解零次幂的意义，避免类似的错误考查内容考查内容：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值命题意图命题意图：本题主要考查学生对实数的运算的掌握与数学运算能力，难度较小18解析解析：解不等式 4x5x+1，得 x2解不等式3

25、x-4x，得 x42则不等式组的解集为 2x4考查内容考查内容：解一元一次不等式组命题意图命题意图：本题主要考查学生对一元一次不等式组的解法的掌握与数学运算能力，难度较小19解析解析：原式a22ab+b2+2ab+b2a2+2b2，a2+2b210，a2+2b21，原式1考查内容考查内容：整式的混合运算化简求值命题意图命题意图：本题主要考查学生对整式的混合运算法则及代入求值的掌握与数学运算能力，难度较小20解析解析：（1）如图，点 D 即为所求（2）答案为：BC，三线合一理由：在ABC 中，BABC，D 是 CA 的中点，CADB（三线合一），直线 DB 表示的方向为东西方向，直线 CA 表示

26、的方向为南北方向考查内容考查内容：等腰三角形的性质；作图应用与设计作图命题意图：命题意图：本题主要考查作图中基本作图，同时考查了等腰三角形的性质，难度较小21解析解析：（1）证明：a1，b4m，c3m2，b24ac（4m）2413m24m2无论 m 取何值时，4m20，即0，原方程总有两个实数根（2）x24mx+3m20，即（xm）（x3m）0，x1m，x23mm0，且该方程的两个实数根的差为2，3mm2，m1考查内容考查内容：解一元二次方程因式分解法；根的判别式命题意图命题意图：本题主要考查学生对一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法的理解掌握与数学运算能力，难度较小22解析解析：（1）

27、证明：ACBCAD90，ADCE，AEDC，四边形 AECD 是平行四边形（2）EFAB，BFE90，cosB4BF，BE5，5BE44BFBE54，55EFBE2-BF252-423AE 平分BAC，EFAB，ACE90，ECEF3，由（1）得四边形 AECD 是平行四边形，ADEC3考查内容考查内容：角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形命题意图命题意图：本题考查了学生对平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识的掌握及逻辑推理素养、数学运算素养的培养11x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 yx1，221一次函数 ykx+b（k0

28、）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到，21这个一次函数的表达式为yx121（2）m121解析：把 x2 代入 yx1，求得 y2，21函数 ymx（m0）与一次函数 yx1 的交点为（2，2）.223解析解析：（1）函数 y把点（2，2）代入 ymx，求得 m1，当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 y1x1 的值，21m12考查内容考查内容：一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换命题意图命题意图：本题主要考查学生对一次函数的图象平移规律的理解、一次函数图象与性质的理解掌握与逻辑推理素养，数学建模素养的培养，难度中等24解析解析

29、：（1）证明：AD 是O 的直径，ADBC，BDCD，BADCAD（2）在 Rt BOE 中，OB5，OE3，BEOB2-OE24AD 是O 的直径，ADBC，BC2BE8BG 是O 的直径，BCG90，GCBG2-BC26ADBC，BCG90，AEGC，AFOCFG，5OFOA，即OF，65OFFGGC解得 OF2511考查内容考查内容：勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质命题意图命题意图：本题主要考查学生对垂径定理的灵活运用、相似三角形的判定与性质的灵活运用与逻辑推理能力、数学运算能力，难度中等25解析解析：（1）将甲城市抽取的 25 家邮政企业 4

30、 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，因此中位数是 10.1，即 m10.1（2）由题意得 p15+3+412（家），由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是11.0，中位数是 11.5，因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上有 13 家，也就是 p2的值要大于 13，p1p2（3）11.02002200（百万元），答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元考查内容考查内容：频数（率）分布直方图；中位数；样本估计总体命题意图命题意图：本题主要考查学生对统计量的理解运用与数据分析能力，难度中等【核

31、心素养】【核心素养】本题以“邮政企业收入”为切入点，通过对频数分布直方图、平均数、中位数、用样本估计总体等知识的考查，体现对数据分析素养和数学建模素养的考查26解析解析：（1）m3，n15，点（1，3），（3，15）在抛物线上将（1，3），（3，15）代入 yax2+bx，得3 ab，159a3b，a解得b1，2yx2+2x（x+1）21，抛物线对称轴为直线 x1（2）yax2+bx（a0），抛物线开口向上且经过原点当 b0 时，抛物线顶点为原点，x0 时 y 随 x 增大而增大，nm0 不满足题意，当 b0 时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，nm0 不满足题意，b0，抛物线对称轴在y 轴右

32、侧，x1 时 m0，x3 时 n0，即两个抛物线和 x 轴的 2 个交点，一个为（0，0），另外一个在 1 和 3 之间，抛物线对称轴在直线 x即31与直线 x之间，22b31，2a22b312（），2a22b35点（1，y1）与对称轴距离（1），2a22b57点（4，y3）与对称轴距离4（），2a22点（2，y2）与对称轴距离y2y1y3考查内容考查内容：待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征命题意图命题意图：本题考查学生对待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质的掌握及数学建模素养、数学运算素养的培养【核心素养】【核心素养】立足于二次函数的概念、图象和

33、基本性质这些学科主干知识的考查，引导学生结合二次函数图象的对称性，利用数形结合的方法进行推理，重点考查学生利用在初中学段的学习中所积累的主干知识和学习经验进行思考和说理27解析解析：（1）DAEBAC，DAEBADBACBAD，即BAECAD在ABE 和ACD 中，AB AC，BAE CAD，AE AD，ABEACD（SAS），BECDM 为 BC 的中点，BMCM，BE+MDBM（2）ENDN证明：如图，作 EHAB 交 BC 于 H，交 AB 于 F，由（1）ABEACD，得ABEACD，ACDABC，ABEABD在BEF 和BHF 中，EBF HBF，BF BF，BFE BFH，BEFB

34、HF（ASA），BEBH由（1）知 BE+MDBM，MHMD，MNHF，ENMH=，DNMDENDN考查内容考查内容：全等三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例命题意图命题意图：本题主要考查了学生对等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识的掌握运用及逻辑推理素养，数学建模素养的培养一题多解：解法一题多解：解法 1 1（2）ENDN证明：如图，作 EHAB 交 BC 于 H，交 AB 于 F，由（1）ABEACD 得：ABEACD，ABEABD由对称性可得，BE=BH=CD，MN=DMEHAB，MNAB，MNEH，DNDM=，ENHMENDN解法解法 2 2（

35、2）ENDN证明：如图，延长 MN，BE，交于点 X，作 EYBC，交 MX 于点 Y由（1）得ABEACD，ABE=ABC，由对称性可得，BX=BM=MCEYBC，XEYXBM，EYXE=，BMXBXE=EY又BECD，XE=EY=MDEYBC，YEN=NDM在EYN 和DMN 中，YEN NDM，ENY DNM，EY DM，EYNDMN（AAS），ENDN解法解法 3 3：（2）ENDN证明：如图，延长 MN，BE，交于点 X，作 DYBE，交 NM 的延长线于点 Y由（1）得ABEACD，ABE=ABC，由对称性可得，BX=BM，BXM=BMXDYBE，DYM=BXM又BMX=DMY，D

36、MY=DYM，DM=DY在EXN 和DYN 中，EXN DYN，ENX DNY，EX DY，EXNDYN（AAS），ENDN解法解法 4 4（2）ENDN证明：如图，延长 MN，BE，交于点 X，作 DGMN，交 NM 的延长线于点 G，作 EHMN 于 H由（1）得ABEACD，ABE=ABC，由对称性可得，BX=BM=CM，BXM=BMX，EX=DM，EXH=DMG在EXH 和DMG 中，EXN DMG，EHX DGM，EX DM，EXHDMG（AAS），EH=DG在EHN 和DGN 中，EHN DGG，ENH DNG，EH DG，EHNDGN（AAS），ENDN解法解法 5 5（2）EN

37、DN证明：如图，连接 AM，ANAB=AC，M 是 BC 的中点，AMBC，AMC=AMB=90，BAM=CAM=2C=902由（1）得ABEACD，BAE=CAD，AE=AD，DAE=CAB=，ADE=90MNAB，AMN=90BAM=9022AMN=ADE=902，A、D、M、N 四点共圆（如图所示）AND=AMD=90AE=AD，EN=DN解法解法 6 6（2）ENDN证明：如图，连接 AM，AN，AM 与 DE 相交于点 FAB=AC，M 是 BC 的中点，AMBC，AMC=AMB=90，BAM=CAM=2C=902由（1）得ABEACD，BAE=CAD，AE=AD，DAE=CAB=，

38、ADE=90MNAB，AMN=90BAM=9022AMN=ADE=90又MFN=AFD，NMFADF，2NFMF=AFDF又AFN=DFM，NFAMFD，ANF=FMD=90AE=AD，EN=DN【核心素养】【核心素养】考查学生识别、分析和提炼问题情境中的基本几何图形及其性质，利用自身的学习经验，以及所学过的常用图形变换，通过画图、观察和分析图形运动变化的全过程，猜想、探究蕴含其中的几何图形数量之间的关系和规律，从而考查学生的几何直观、对基本图形中的常用辅助线的认知，考查探究问题的通用方法的掌握情况和逻辑推理能力28解析解析：（1）B2C2解析：由旋转的性质，可知ABAB，ACAC，BABCA

39、C，由图可知，点 A 到圆上一点的距离 d 的范围为21d2+1，AC13d，点 C1不可能在圆上，B1C1不是O 的以 A 为中心的“关联线段”，AC21，AB25，C2（0，1），B2（1，0），B2C2是O 的以 A 为中心的“关联线段”，AC32，AB35，当 B3在圆上时，B3（1，0）或（0，1），由图可知此时 C3不在圆上，B3C3不是O 的以 A 为中心的“关联线段”（2）如图所示，ABC 是边长为 1 的等边三角形，根据旋转的性质可知 ABC也是边长为 1 的等边三角形A（0，t），BCy 轴，且 BC1，AO 为 BC边上的高的 2 倍，且此高的长为3，2t3或3（3）OA

40、 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为3，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为62理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知 ABABOBOC1，ACAC2，如图 1，利用四边形的不稳定性可知，当 A，O，C在同一直线上时，OA 最小，最小值为 1，如图 2，此时 OAOBOC，ABC90，BCC A2-B A222-123当 A，B，O 在同一直线上时，OA 最大，如图 3，此时 OA2，过点 A 作 AEOC于 E，过点 C作 CFOA 于 FAOAC2，AEOC，1OEEC，2121522-（）AEOA-OE，222211SAOCAOCFOCAE，22CF15，4222（OFC

41、O-C F1-1521），443FBOBOF，4BCB F2632152）C F（）（2442综上 OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为考查内容考查内容：圆的综合题，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为62命题意图命题意图：此题属于圆综合题，主要考查学生对旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的掌握运用及数学建模素养，逻辑推理素养的培养【核心素养】【核心素养】以学生学习的重点知识之一的旋转作为主要背景，定义了“关联线段”，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历学习、研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，继而研究一类“关联线段”的特征，探究和解决问题，在现场学习的活动经验的积累过程中提升逻辑推理素养，数学运算素养等数学素养