历年全国卷高考数学真题汇编.pdf

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1、全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形（2019 全国 2 卷文）8若x1=则=A2C1答案：A（2019 全国 2 卷文）11已知a（0，AC，x2=是函数f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点，44321D2B），2sin2=cos2+1，则 sin=2BD552 551533答案：B（2019 全国 2 卷文）15.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinA+acosB=0，则B=_.答案：34（2019 全国 1 卷文）15函数f(x)sin(2x答案：-4（2019 全国 1 卷文）7tan255=（）A23答案：D（2019 全国 1 卷文）11ABC的内 角

2、A，B，C的对边 分别 为a，b，c，已知B2+3C23D2+33)3cos x的最小值为_21basin AbsinB 4csinC，cosA，则=（）c4A6答案：AB5C4D3（2019 全国 3 卷理）18（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c 1，求ABC面积的取值范围（1）由题设及正弦定理得sin Asin因为sin A 0，所以sinACbsin A2ACsinBsin A2AC sinB2ACBBBB cos，故cos 2sincos22222由A B C 180，可得sin因为，故，因此B 60（2）

3、由题设及（1）知ABC的面积SABC由正弦定理得a 3a4csin Acsin(120C)31sinCsinC2tan C2由于ABC为锐角三角形，故0 A 90，0 C 90由（1）知AC 120，所以30 C 90，故因此，ABC面积的取值范围是（2019 全 国2 卷 理）15 ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c.若133 SABC a 2，从而822b 6,a 2c,B 答案：6 3，则ABC的面积为_3（2019 全国 2 卷理）9下列函数中，以Af(x)=cos2xCf(x)=cosx答案：A（2019 全国 2 卷理）10已知(0，2为周期且在区间(4，2

4、)单调递增的是Bf(x)=sin2xDf(x)=sinx2)，2sin2=cos2+1，则 sin=A15 B55 C33 D255答案：B（2019 全国 1 卷理）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin BsinC)2 sin2Asin BsinC（1）求A；（2）若2ab 2c，求 sinC【答案】（1）A【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2c2a2 bc，从而可整理出cosA，根据A0,可求得结果；（2）利用正弦定理可得2 sin A sin B 2sin C，利用3；（2）sinC 6 2.4sinB sinAC、两角和差正弦公式可得

5、关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）sin BsinC sin2B2sin BsinC sin2C sin2Asin BsinC即：sin2Bsin2C sin2A sin BsinC由正弦定理可得：b2c2a2 bc2b2c2a21cos A 2bc2A0,（2）A32a b 2c，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C又sinB sinACsin AcosC cosAsinC，A 3 2331cosCsinC 2sinC222整理可得：3sinC226 3cosCsin C cos C 1 3sinC 6解得：sinC 23 1

6、sin2C6 26 2或44因sinB 2sinC 2sinA2sinC（2）法二：666 2，故sinC.0所以sinC 4242a b 2c，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C又sinB sinACsin AcosC cosAsinC，A 3 2331cosCsinC 2sinC222整理可得：3sinC 6 3cosC，即3sinC 3cosC 2 3sinC662sinC 62由C(0,2),C(,)，所以C,C 366 26446sinC sin(46)6 2.4【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，

7、解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.（2019 全国 1 卷理）11.关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（,）单调递增2f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A.【答案】CB.C.D.【解析】【分析】化简函数fxsin x sinx，研究它的性质从而得出正确答案【详解】fx sin x sinx sin x sin x fx,fx为偶函数，故 f x 2sin x x 正确 当时，它在区间,单调递减，故错误 当0 x 22时，fx 2sin x，它 有 两 个 零

8、 点：0；当 x 0时，fxsinxsinx 2sin x，它有一个零点：，故fx在,有3个零点：0，故 错 误 当x2k,2kk N N时，fx 2sin x；当x2k,2k2kN N时，fxsinxsinx 0，又fx为偶函数，fx的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选C11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积（2018 全国 3 卷文）a2b2c2为，则C()4ABCD2346【答案】C【解析】SABC1a2b2c2a2b2c2，而cosC absinC 242ab故absinC 122abcosC1abcosC，C 424【考点】三角形面积公式、余弦定理（2

9、018 全国 3 卷文）6.函数fxtanx的最小正周期为()21 tan xABCD242【答案】Ctanxtanxcos2x1f x sinxcosx sin2x x k【解析】，221 tanx21 tan2xcos2xT 2(定义域并没有影响到周期)21（2018 全国 3 卷文）4.若sin，则cos2()3A8778BCD9999【答案】B【解析】cos212sin279（2018 全国 2 卷理）15.已知，则_【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的

10、三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.（2018 全国 2 卷理）10.若在是减函数，则的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由 求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.（2018 全

11、国 2 卷理）6.在中，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求 AB.详解：因为所以，选 A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（2018 全国 I 卷理）17（12 分）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.（2018 全国 I 卷理）16已知函数，则的最小值是_（2018 全国 I 卷文）16（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的

12、对边分别为 a，b，c已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b+c a=8，则ABC 的面积为【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cbsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于 sinBsinC0，所以 sinA=，则 A=由于 b+c a=8，则：，当 A=时，解得：bc=，所以：当 A=时，解得：bc=（不合题意），舍去故：故答案为：（2018 全国 I 卷文）11（5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a），B（2，

13、b），且 cos2=，则|ab|=（）A B C D1【解答】解：角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，222222终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2=，cos2=2cos 1=，解得 cos=，|cos|=，|sin|=，|tan|=|=|ab|=故选：B（2018 全国 I 卷文）已知函数 f（x）=2cos2xsin2x+2，则（）Af（x）的最小正周期为，最大值为3 Bf（x）的最小正周期为，最大值为4（x）的最小正周期为 2，最大值为 3Df（x）的最小正周期为 2，最大值为 4【解答】解：函数 f（x）=2cos2xsin2x+2，=2cos2xsi

14、n2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选：B2 1（2017 全国 I 卷 9 题）已知曲线C1:y cosx，C2:y sin2x，则下面结论正确的322是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移位长度，得到曲线C2个单12

15、1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单26个单6个单12【答案】D2【解析】C1:y cosx，C2:y sin2x3首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y cosx用诱导公式处理y cosx cosxsinx横坐标变换需将1变成 2，222C1上各点横坐标缩短它原来12 y sin2x sin2x即y sinx2242 y sin2xsin2x33注意的系数，在右平移需将 2提到括号外面，这时x根据“左加右减”原则，“x平移至x，43”到“x”需加上，即再向左平移4312122（2017 全国 I 卷 17 题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABCa2

16、的面积为3sin A（1）求sinBsinC；（2）若6cos BcosC 1，a 3，求ABC的周长【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.1a2（1）ABC面积S.且S bcsin A23sinAa21bcsin A3sin A2322a bcsin A2322由正弦定理得sin A sinBsinCsin A，2由sin A 0得sin BsinC 2.3（2）由（1）得sinBsinC 21，cosBcosC 36ABC cos A cos B C cosB C sinBsinCcosBcosC 又A0，12A60，sin A13，cosA22由余

17、弦定理得a2 b2c2bc 9由正弦定理得b aasinB，c sinCsin Asin Aa2bc 2sinBsinC 8sin A由得b c 33a b c 333，即ABC周长为3333.(2017新课标全国卷理17)17.（12 分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2(1)求cosB(2)若ac 6,ABC面积为 2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形B2【试 题 分 析】在 第（）中，利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知AC B，将BB转化为角B的方程，思维方向有两个：利用降幂公式化简sin2，222B结合sin2B c

18、os2B 1求出cosB；利用二倍角公式，化简sin B 8sin，两边约去2BBsin，求得tan，进而求得cosB.在第（）中，利用（）中结论，利用勾股定理22sin(AC)8sin2和面积公式求出ac、ac，从而求出b（）【基本解法 1】由题设及A B C,sin B 8sinsin B（4 1-cosB）上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=02B，故2解得cosB=1（舍去），cosB=【基本解法 2】1517由题设及A B C,sin B 8sin2BBBB2B，所以2sincos 8sin，又sin 0，22222BB1215所以tan，cosB B17241

19、tan2215814（）由cosB=得sinB，故SABCacsin B ac171721717又SABC=2，则ac 21 tan2由余弦定理及ac 6得b2 a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)1715 362(1)217 4所以 b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac,ac,a c三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎4（2017全国卷3理）17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分

20、别为a，b，c，已知sin A3cos A 0，a 2 7，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC，求ABD的面积22【解析】（1）由sin A3cos A 0得2sinA 0，3即AA kkZ，又A0,，32，得A.331由余弦定理a2b2c22bc cosA.又a2 7,b2,cosA代入并整理2得c1225，故c4.（2）AC2,BC2 7,AB4，由余弦定理cosCa2b2c22 72ab7.ACAD，即ACD为直角三角形，则ACCDcosC，得CD7.由勾股定理ADCD2AC23.又A22 3，则DAB326，S1ABD2ADABsin63.5（2017 全国卷文 1

21、）14 已知a(0，2),tan=2，则cos(4)=_。【答案】3 1010（法一）0,sin2，tan2cos2sin2cos，又sin2cos21，解得sin2 55，cos55cos423 102(cossin)10（法二）cos(4)22(cossin)cos2412sin cos又tan2sin cossin cossin2cos2tantan2125，cos29410，由0,2知444，cos3 10 0，故cos44106.（2017 全国卷 2文）3.函数的最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，故选 C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数的性质(1).(2)

22、周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;7（2017 全国卷 2 文）13.函数的最大值为 .【答案】8（2017 全国卷 2 文）16.的内角的对边分别为,若,则【答案】9（2017 全国卷 3 文）4已知，则=（）A BCD【答案】A10（2017 全国卷 3 文）6函数f(x)=sin(x+)+cos(x)的最大值为（AB1C【答案】A）D【解析】由诱导公式可得：，则：,函数的最大值为.本题选择 A 选项.7函数y=1+x+的部分图像大致为（）A BD C D【答案】D1、（2016 全国 I 卷 12 题）已知函数f(x)sin(x+)(0，),x 为f(x)的24零点，x

23、 5为y f(x)图像的对称轴，且f(x)在(，)单调，则的最大值为418 36（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B考点：三角函数的性质2、（2016 全国 I 卷 17 题）（本小题满分 12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+b cosA)c.（I）求C；（II）若c 7,ABC的面积为3 3，求ABC的周长2【答案】（I）C【解析】3（II）57试题解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosCsincos sincossinC，2cosCsin sinC故2sinCcosC sinC可得cosC 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3

24、、（2015 全国 I 卷 2 题）sin20cos10-con160sin10=1，所以C 23（A）【答案】D【解析】3311（B）（C）（D）22221试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选 D.2考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式4、（2015 全国 I 卷 8 题）函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)（(C)（【答案】D【解析】）,k）,k (b)（(D)（）,k）,k1+42=，试题分析：由五点作图知，解得=，所以f(x)cos(x)，445+342令2kx（2k 4 2k,kZ，解得2k 13x

25、2k，kZ，故单调减区间为4431，2k），kZ，故选 D.44考点：三角函数图像与性质5、（2015 全国 I 卷 16 题）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是【答案】（6 2，6+2）【解析】试题分析：如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得BCBE2BE，即，解得BE=6+2，平移 AD，当 D 与 CoosinEsinCsin30sin75重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由

26、正弦定理知，BFBCBF2，即，解得 BF=6 2，sinFCBsinBFCsin30osin75o所以 AB 的取值范围为（6 2，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想6.（2014 全国 I 卷 8 题）设(0,1sin，则)，(0,)，且tancos22A.3【答案】：2B.22C.32D.22【解析】：tansin1sin，sincos coscossincoscossin cos sin，,0 222222，即22，选 B7、（2014 全国 I 卷 16 题）已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则A

27、BC面积的最大值为 .【答案】：3【解析】：由a 2且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，即(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由及正弦定理得：(ab)(ab)(cb)cb2c2a21，A 600，b2c24 bcb c a bc，故cos A 2bc222214 b2c2bc bc，SABCbcsin A3，28、（2013全国I卷15题）设当x=时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos=_【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】f(x)=sinx2cos x=5(52 5sin xcosx

28、)55令cos=52 5，sin，则f(x)=5(sin xcossincos x)=5sin(x)，55当x=2k2,kz，即x=2k2,k z时，f(x)取最大值，此时=2k2,k z，cos=cos(2k2)=sin=2 5.59、（2013全国I卷17题）（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC90，AB=3，BC=1，P为ABC内一点，BPC901(1)若 PB=，求 PA；2(2)若APB150，求 tanPBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（）由已知得，PBC=60，PBA=30，在 PBA 中，由余弦定理得oo71

29、17；PA2=32 3cos30o=，PA=2424（）设 PBA=，由 已 知 得，PB=sin，在 PBA 中，由 正 弦 定 理 得，3sin，化简得，3cos 4sin，oosin150sin(30)tan=33，tanPBA=.44个单位长度，则平移后1210、（2016 全国 II 卷 7 题）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移图象的对称轴为（A）x（C）x kkkZ Z（B）x kZ Z2626kkkZ Z（D）x kZ Z212212【解析】B平移后图像表达式为y 2sin 2x，12kkZ Z，令2x k+，得对称轴方程：x 12226故选 B311、（2016 全国

30、II 卷 9 题）若cos，则sin2=45（A）【解析】D7251（B）51（C）5（D）725732cos，sin2 cos 2 2cos1，254524故选 D12、（2016 全国 II 卷 13 题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAcosC 5，a 1，则b 1321134，5【解析】cosA45，cosC，135sin A312，sinC，51363，65sinB sinAC sin AcosC cos AsinC 由正弦定理得：ba21解得b sin Bsin A1313、（2015 全国 II 卷 17 题）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分B

31、AC，ABD 是 ADC 面积的2 倍。()求sinB;sinC2求BD和AC的长.2()若AD=1，DC=14、（2014 全国 II 卷 4 题）钝角三角形 ABC 的面积是1，AB=1，BC=2，则 AC=()2A.5【答案】B【KS5U 解析】B.5C.2D.11112SABC=acsin B=21sin B=sin B=,22223B=,或.当B=时，经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。4443B=，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,解得b=5.故选B.415、（2014 全国 II 卷 14 题）函数fxsinx22sincosx的最大值为_.【答案】【答

32、案】1 1【KS5U 解析】f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)=sin(x+)cos+cos(x+)sin-2sincos(x+)=sin(x+)cos-cos(x+)sin=sin x 1.最大值为1.16、（2013 全国 II 卷 15 题）设为第二象限角，若tan1，则42sincos=_.17、（2013 全国 II 卷 17 题）（本小题满分 12 分）ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知a=bcosC+csinB。（）求 B；（）若b=2，求ABC 面积的最大值。18、（2013 全国 III 卷 5 题）若，则(A)(B)(C)1 (D)【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选 A考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式19、（2013 全国 III 卷 8 题）在中，BC边上的高等于,则（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C考点：余弦定理20、（2013 全国 III 卷 14 题）函数的图像可由函数的图像至少向右平移 _个单位长度得到【答案】【解析】试题分析：因为，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数