高三数学一轮复习教案(函数).pdf

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1、函数函数（一）函数（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念

2、，会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3知道对数函数是一类重要的函数模型.4了解指数函数 与对数函数 互为反函数（）。（四）幂函数（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质

3、判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。定义域定义对应法则值域映射函数性质奇偶性区间一元二次函数一元二次不等式指数函数根式分数指数指数方程对数方程对数的性质指数函数的图像和性质单调性周期性对数积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质反函数互为反函数的函数图像关系对数函数函数是高考数学的重点内容之

4、一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念函数概念（一）知识梳理（一）知识梳理1映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中

5、的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f 表示对应法则注意：注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A(2)函数的定义域、值域在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x A称为函数y f(x

6、)的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1：映射的概念：映射的概念例 1（1）A R，B y|y 0，f:x y|x|；（2）Ax|x 2,xN，B y|y 0,yN，f:x y x22x2；*（3）A x|x 0，B y|yR，f:x y x上述三个对应是A到B的

7、映射例 2若A 1,2,3,4，B a,b,c，a,b,cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例 3设集合M 1,0,1，N 2,1,0,1,2，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）(A)8 个(B)12 个(C)16 个(D)18 个答案：1.（2）；281,64,81；3.D考点考点 2 2：判断两函数是否为同一个函数：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f(x)（2）f(x)x2，g(x)3x3；xx，g(x)x 0,11x 0;*（3）f(x)2n1x2n1

8、，g(x)(2n1x)2n1（nN N）；（4）f(x)xx 1，g(x)2x2 x；（5）f(x)x22x 1，g(t)t 2t 1答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点考点 3 3：求函数解析式：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数fg(x)的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)题型题型 1 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足f(2x 1)4x 6x 5，求f(x)（

9、三种方法）21 x1 x2)=例 2（09 湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为1 x1 x2题型题型 2 2：求抽象函数解析式：求抽象函数解析式例 1已知函数f(x)满足f(x)2 f()3x，求f(x)考点考点 4 4：求函数的定义域：求函数的定义域题型题型 1 1：求有解析式的函数的定义域：求有解析式的函数的定义域（1 1）方法总结：）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0；对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定

10、义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1.（08 年湖北）函数f(x)1x1ln(x23x 2 x23x 4)的定义域为()xA.(,4)2,);B.(4,0)(0,1)；C.,4,0)(0,1;D.,4,0)(0,1)答案：D题型题型 2 2：求复合函数和抽象函数的定义域：求复合函数和抽象函数的定义域例 1（2007湖北）设fx lg2 xx 2，则f f 的定义域为（）2 x2xA.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4答案：B.例 2已知函数y

11、 f(x)的定义域为a，b，求y f(x 2)的定义域(a-2=x=b-2)例 3已知y f(x 2)的定义域是a，b，求函数y f(x)的定义域(2+a=x=2+b)例 4已知y f(2x1)的定义域是（-2，0），求y f(2x1)的定义域(-3x0）的函数，m0 就是单调函数了x4三种模型：（1）如y x，求（1）单调区间（2）x 的范围3,5，求值域（3）x-1,0)(0,4,求值域x（9）对勾函数法 像 y=x+（2）如y x4求（1）3,7上的值域（2）单调递增区间（x0 或 x4）x4，1，（1）求-1,1上的值域（2）求单调递增区间x3（3）如y 2x函数的单调性函数的单调性（

12、一）知识梳理（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数y f(x)的定义域为A，区间I A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y f(x)的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y f(x)的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数y f(x)，如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单

13、调区间的常用方法：（1）定义法（取值作差变形定号）；导数法（在区间(a,b)内，若总有f(x)0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f(x)0，b(a 0,b 0)型函数的图xbbbb,)，减区间为,0),(0,.象和单调性在解题中的运用：增区间为(,aaaa（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意特别要注意y ax（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减同增异减（4）若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来

14、讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1 x2(x1 x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；1分别在(,0)和(0,)内x1都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y 的单调递x（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y 减区间为(,0)和(0,)。4、函数的最大（小）值设函数y f(x)的定义域为A，如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y f(x)的最大值；如果存在定值x0 A，使得

15、对于任意x A，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y f(x)的最小值。（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1函数的单调性函数的单调性题型题型 1 1：讨论函数的单调性：讨论函数的单调性例 1（1）求函数y log0.7(x23x2)的单调区间；（2）已知f(x)82x x,若g(x)f(2 x)试确定g(x)的单调区间和单调性解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，3222（2）g(x)82(2 x)(2 x)x 2x 8，g(x)4x 4x，4222令g(x)0，得x 1或0 x 1，令g(x)0，x 1或1 x 0单调增区间为(,1),(0,1)；单调减

16、区间为(1,),(1,0)例 2.判断函数 f(x)=x 1在定义域上的单调性.2解：解：函数的定义域为x|x-1 或 x1,则 f(x)=x 1,2可分解成两个简单函数.f(x)=u(x),u(x)=x-1 的形式.当 x1 时，u(x)为增函数，u(x)为增函数.f（x）=x 1在1，+)上为增函数.当 x-1 时，u（x)为减函数，u(x)为减函数，22f(x)=x 1在（-,-1上为减函数.2题型题型 2 2：研究抽象函数的单调性：研究抽象函数的单调性例 1已知函数f(x)的定义域是x 0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x 1时f(x)

17、0,f(2)1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式f(2x21)2解：（1）令x1 x21，得f(1)2 f(1)，f(1)0，令x1 x2 1，得f(1)0，f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)，f(x)是偶函数（2）设x2 x1 0，则f(x2)f(x1)f(x1x2xx)f(x1)f(x1)f(2)f(x1)f(2)x1x1x1x2 x1 0，x2x1，f(2)0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)x1x1f(x)在(0,)上是增函数（3）f(2)1，f(4)f(2)f(2)2，22f(x)是偶函数不等式f(2x 1)2可化

18、为f(|2x 1|)f(4)，又函数在(0,)上是增函数，|2x 1|4，解得：21010，x 22即不等式的解集为(1010,)22题型题型 3 3：函数的单调性的应用：函数的单调性的应用例 1若函数f(x)x 2(a 1)x 2在区间（，4 上是减函数，那么实数a的取值范围是_(答：2a 3）)；例 2已知函数f(x)ax11在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_（答：(,)）；x22考点考点 2 2函数的值域（最值）的求法函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后

19、利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型题型 1 1：求分式函数的最值：求分式函数的最值x2 2x a1例 1（2007 上海）已知函数f(x),x1,).当a 时，求函数f(x)的最小值。2x解析当a 111 2,f(x)12时，f(x)x 22x2xx 1，f(x)0。f(x)在区间1,)上为增函数。f(x)在区间1,)上的最小值为f(1)7。2题型题型 2 2：利用函数的最值求参数的

20、取值范围：利用函数的最值求参数的取值范围x2 2x a例 2（2008 广东）已知函数f(x),x1,).若对任意x1,),f(x)0恒成立,试求实数a的x取值范围。x2 2x a 0在区间1,)上恒成立；x2 2x a 0在区间1,)上恒成立；解析 f(x)xx2 2x a在区间1,)上恒成立；函数y x2 2x在区间1,)上的最小值为 3，a 3即a 3函数的奇偶性函数的奇偶性（一）知识梳理（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或，则称f(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。对于函数f(x)的定义域内任意一f(x)f(x)0个x

21、，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则称f(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断f(x)f(x)（2）利用定义的等价形式,f(x)f(x)0，f(x)1（f(x)0）f(x)（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若

22、奇函数f(x)定义域中含有 0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如如设f(x)是定义域为 R 的任一函数，F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，G(x)。22（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”.（5）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1判断函数的奇偶性及其应用判断函数的奇偶性及其应用题型题型

23、 1 1：判断有解析式的函数的奇偶性：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）1 x；1 xx(1 x)1 x2（3）f(x)；（4）f(x)|x 2|2x(1 x)题型题型 2 2：证明抽象函数的奇偶性：证明抽象函数的奇偶性(x 0),(x 0).例 1.(09年山东)定义在区间(1,1)上的函数f(x)满足：对任意的x,y(1,1)，都有f(x)f(y)f(求证f(x)为奇函数；x y).1 xy0 0)f(0)f(0)=01 0 x x令 x(1,1)x(1,1)f(x)+f(x)=f()=f(0)=021 x 解

24、析令 x=y=0，则 f(0)+f(0)=f(f(x)=f(x)f(x)在(1，1)上为奇函数例 2（1）函数f(x)，x R，若对于任意实数a,b，都有f(a b)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数。（2）设函数f(x)定义在(l,l)上，证明f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数。考点考点 2 2 函数奇偶性、单调性的综合应用函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m 1)f(2m 1)0，求实数m的取值范围。解析f(x)是定义在(2,2)上奇函数对任意x(2,2)有fx fx由条件f(m 1)f(2m 1)0得f(m1)f

25、(2m1)=f(12m)f(x)是定义在(2,2)上减函数2 12m m1 2，解得12 m 23实数m的取值范围是12 m 23例 2设函数f(x)对于任意的x,yR，都有f(x y)f(x)f(y)，且x 0时f(x)0,f(1)2（1）求证f(x)是奇函数；（2）试问当 3 x 3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例 3设函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a+a+1)f(3a2a+1).求a的取221a23a1)的单调递减区间.2 解析设 0 x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1

26、),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.1712又2a2a 1 2(a)2 0,3a22a 1 3(a )2 0.48332222由f(2a+a+1)3a2a+1.解之，得 0a3.3252又a3a+1=(a).24312函数y=()a 3a1的单调减区间是,)22323结合 0a0 时，抛物线开口向上，函数在(,bbb上单调递减，在,)上单调递增，x 时，2a2a2af(x)min4ac b2；4abbb上单调递增，在,)上单调递减，x 时，2a2a2a（2）a0)，0 0(1)x1,x2,x2,则b/(2a

27、)af()0af()0 0 0f()0(3)x1,x2,则(4)x1(0(0(0(0)2的解集为(,)()或者是(,)(,)（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1求二次函数的解析式求二次函数的解析式例 1已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1，f(-1)=-1 且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数。法一：利用一般式a 44a 2b c 122设 f(x)=ax+bx+c(a0)，由题意得：a bc 1解得：b 4f(x)=-4x+4x+72c 7 4ac b 84a法二：利用顶点式f(2)=f(-1)对称轴x 2(1)1又最大值是 822可设f(x)a(x)8(a 0)，由

28、f(2)=-1 可得 a=-4 f(x)4(x)8 4x 4x 7法 三：由 已 知 f(x)+1=0 的 两 根 为 x1=2,x2=-1，故 可 设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)即 f(x)=ax-ax-2a-1,又21221222ymax4a(2a 1)a2 8即 8得 a=-4 或 a=0(舍)f(x)=-4x2+4x+74a例 2已知二次函数的对称轴为x 2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为x 2，设所求函数为f(x)a(x2)2b，又f(x)截x轴上的弦长为4，f(x)过点(2 2,0)，f(x)又过点(0,1)，14ab 0a，2

29、，2ab 1b 2f(x)1(x2)222考点考点 2 2二次函数在区间上的最值问题二次函数在区间上的最值问题2例 1已知函数 f(x)=-x+2ax+1-a 在 0 x1 时有最大值 2，求 a 的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论22解：f(x)=-(x-a)+a-a+1(0 x1),对称轴 x=a1 a1 时，f(x)max f(1)a 2a 20综上所述：a=-1 或 a=22例 2已知 y=f(x)=x-2x+3,当 xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。答案：t 1时,ymax t 2,ymin t 2t 3221 t 1时,ymax t2 2,ymin

30、2210 t 时,ymax t2 2t 3,ymin 22t 0时,ymax t22t 3,ymin t2 2例 3已知函数y sin xasin x2a1的最大值为2，求a的值 42分析：令t sin x，问题就转二次函数的区间最值问题解：令t sin x，t1,1，aa212(a a2)，对称轴为t，224a12（1）当11，即2 a 2时，ymax(a a2)2，得a 2或a 3（舍去）24aa212（2）当1，即a 2时，函数y (t)(a a2)在1,1单调递增，2241011由ymax 1aa 2，得a 342aa212（3）当 1，即a 2时，函数y (t)(a a2)在1,1单

31、调递减，22411由ymax 1aa 2，得a 2（舍去）4210综上可得：a的值为a 2或a 3y (t)考点考点 3 3一元二次方程根的分布及取值范围一元二次方程根的分布及取值范围2例 1已知关于 x 的二次方程 x+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求 m 的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求 m 的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴x 解：设 f(x)=x+2mx+2m+12b与区间相对位置。2ay(1)由 题 意 画 出 示 意 图-1012xf(0)2m 1 051f(1)

32、2 0 m 62f(1)6m 5 0y（2）01x 0f(0)01 m 122f(1)00 m 1练习：方程x 23x k在（-1，1）上有实根，求 k 的取值范围。29532宜采用函数思想，求f(x)x x(1 x 1)的值域。k,)16 22【反思归纳】根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数f(x)x2(2a1)xa22与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围解法一：由题知关于x的方程x2(2a1)xa22 0至少有一个非负实根，设根为x1

33、,x2 09则x1x2 0或x1x2 0，得 2 a 4x x 012 f(0)0(2a1)9解法二：由题知f(0)0或 0，得 2 a 42 0指数与指数函数指数与指数函数（一）知识梳理（一）知识梳理1指数运算aamnnm；amn0rsrsa 1a a a(a 0,r、sQ)；1man；(ar)s ars(a 0,r、sQ)；(ab)r arbs(a 0,r、sQ)2.指数函数：y ax（a 0,a 1），定义域 R，值域为（0,）.当a 1，指数函数：y ax在定义域上为增函数；当0 a 1，指数函数：y ax在定义域上为减函数.当a 1时，y ax的a值越大，越靠近y轴；当0 a 1时，

34、则相反.（二）考点分析（二）考点分析mn例 1已知下列不等式，比较m，n的大小：（1）2 2(2)0.2 0.2mn变式 1：设a111()b()a1，那么（）222baaabA.a a bB.a b aC.a a bD.a b a例 2函数y ax在0，1上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（）baabaa11B.2C.4D.24例 3已知函数y f(x)的图象与函数y ax（a 0且a 1）的图象关于直线y x对称，记1g(x)f(x)f(x)2 f(2)1若y g(x)在区间,2上是增函数，则实数a的取值范围是（）211A2,)B(0,1)(1,2)C,1)D(0,22A对数与对数函数

35、对数与对数函数（一）知识梳理（一）知识梳理1对数运算：loga(M N)logaM logaN；logalogaN alogaN N；换底公式：1M logaM logaN；logaMn nlogaM；loganM logaM；nNlogbN；推论：logablogbclogca 1logba2对数函数：如果a（a 0,a 1）的b次幂等于N，就是ab N，数b就叫做以a为底的N的对数，记作logaN b（a 0,a 1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数.当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.（二）考点分析（二）考点分析例 1已知函数f(x)log

36、a(x1)，g(x)loga(1 x)(a 0，且a 1)（1）求函数f(x)g(x)定义域（2）判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由.例 2已知f(x)A.(0,1)例 3若loga(3a1)x4a,x 1是(,)上的减函数，那么a的取值范围是logax,x 1131 17 3D.,1)B.(0,)C.,)1731(a 0，且a 1)，求实数a的取值范围.41 a2 0，则a的取值范围是（）变式变式 1 1：若log2a1 aA(,)12B(1,)C(,1)12D(0,)12幂函数幂函数（一）知识梳理（一）知识梳理1、幂函数的概念一般地，形如y x(xR)的函数称为幂函数，其中x是自

37、变量，是常数2、幂函数的图像及性质定义域奇偶性在第象限的增减性y xR奇在第象限单调递增y xR偶在第象限单调递增2y xR奇在第象限单调递增3y x非奇非偶在第象限单调递增12y x1奇在第象限单调递减幂函数y x(xR,是常数)的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数y x(xR,是常数)的图像都过点(1,1)；当 0时函数y x的图像都过原点(0,0)；当1时，y x的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；当 2,3时，y x的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）当1时，y x的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）2当 1时，y x的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限

38、是“下滑”曲线（如c4）3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当 0时，幂函数y x有下列性质：（1）图象都通过点(0,0)，(1,1)；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；1 0时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。当0 时，幂函数y x有下列性质：（1）图象都通过点(1,1)；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数y x的图象必然经过第一象限，并且一

39、定不经过第四象限。（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1：利用幂函数的单调性比较大小：利用幂函数的单调性比较大小1例 1已知 0，试比较,0.2,2的大小；21例 2已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点2，在幂函数g(x)的图象上4问当 x 为何值时有：（）f(x)g(x)；（）f(x)g(x)；（）f(x)g(x)函数图象函数图象（一）知识梳理（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至

40、变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数y f(xa)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移|a|个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(

41、x)y=f(xh)；、竖直平移：函数y f(x)a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上(a 0)或向下(a 0)平移|a|个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。左移h右移h上移h下移h对称变换：、函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可得到；y轴y=f(x)y=f(x)、函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x)、函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y=f(x)、函数x f(y)的图像可以将函数y f(x)的图像

42、关于直线y x对称得到。直线yx原点x轴y=f(x)x=f(y)、函数y f(2a x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线x a对称即可得到；直线xay=f(x)y=f(2ax)。翻折变换：、函数y|f(x)|的图像可以将函数y f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y f(x)的x轴上方部分即可得到；yy=f(x)yy=|f(x)|aobcxaobcx、函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到yy=f(x)yy=f(|x|)aobcxaobcx伸缩变换

43、：、函数y af(x)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的a倍得到；y=f(x)y=af(x)ya、函数y f(ax)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的1倍得到。af(x)y=f(x)y=f(ax)xa（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析（二）考点分析例 1（08 江苏理 14）设函数设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的，若对于任意的x1,1都有都有f(x)0成立，则实数成立，则实数a的值为的值为【

44、解析】本小题考查函数单调性的综合运用 若 x0，则不论a取何值，fx0 显然成立；当 x0 即x1,1时，fx ax33x10 可化为，a 31x2x3312x3111设gx23，则gx，所以在区间上单调递增，在区间0,1上单调递减，g x xxx422因此gxmax g 4，从而a4；12当 x0 即1,0时，fx ax 3x10 可化为a 3312x31 0gx，234xxxgx在区间1,0上单调递增，因此gxman g1 4，从而a4，综上a4【答案】4点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函

45、数单调性与函数图象个关系；例 2（2009 广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图 2 所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面答案A解析由图像可知，曲线v甲比v乙在 0t0、0t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选 A.exex（2）.(2009 山东卷理)函数y x的图像大致为xe eyy().y1O1x11O 1xO 1xA答案A解析 函数有

46、意义,需使e exBCy1O1xDxexexe2x12 0,其定义域为x|x 0,排除C,D,又因为y xx2x12x,e ee1e1所以当x 0时函数为减函数,故选 A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.2例 3已知函数y f(x)(x R)满足f(x 1)f(x 1)，且当x1,1时，f(x)x，则y f(x)与y log5x的图象的交点个数为（）A、2B、3C、4D、5解析：由f(x 1)f(x 1)知函数y f(x)的周期为 2，作出其图象如右，当 x=5 时，f

47、(x)=1,log5x=1;当 x5 时，f(x)=10，1，log5x1,y f(x)与y log5x的图象不再有交点，故选 C巩固设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)=-f(x)，若当 x0,1时，f(x)=2-1,则 f(log16)=.xy1x-1O152例 4（2009 江西卷文）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V V(t)的图象大致为()V(t)V(t)V(t)V(t)O答案BOA B C DA B C DtOOttt解析由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(

48、x,0)的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.题型 3：函数的图象变换例 5（2008 全国文，21）21（本小题满分 12 分）设aR R，函数f(x)ax 3x（）若x 2是函数y f(x)的极值点，求a的值；322，在x 0处取得最大值，求a的取值范围（）若函数g(x)f(x)f(x)，x0，解：（）f(x)3ax 6x 3x(ax2)因为x 2是函数y f(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a 1经验证，

49、当a 1时，x 2是函数y f(x)的极值点 4 分（）由题设，g(x)ax 3x 3ax 6x ax(x3)3x(x2)322222上的最大值为g(0)时，当g(x)在区间0，g(0)g(2)，即020a246 9 分562，反之，当a时，对任意x0，53x3x6g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2 x10)(2x5)(x2)0，555故得a2上的最大值为g(0)而g(0)0，故g(x)在区间0，综上，a的取值范围为，12 分点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例 6（2009 四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x 1)(1

50、 x)f(x)，则f()的值是A.0B.答案A解析若x0，则有f(x 1)6552()15C.1D.221 x1f(x)，取x ，则有：2x1112f(1)f(1)f(1)（f(x)是偶函数，则f()f(1)1222222111f()f()）由此得f()0于是2223111532f(3)5f(3)5f(11)52f(1)5f(1)0f()f(1)322232323122221题型 4：函数图象应用例 7函数y f(x)与y g(x)的图像如下图：则函数y f(x)g(x)的图像可能是（）yy=f(x)oxoyy=g(x)xyyxyxyxoxoooABCD解析：函数y f(x)g(x)的定义域是