2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)解析(精品).pdf

《2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)解析(精品).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)解析(精品).pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20192019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（新课标）一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分）21.已知集合 A1，0，1，2，Bx|x 1，则 AB（）A.0，B.C.D.1，2.若 z（1i）2i，则 z（）A.B.C.D.3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有 80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值

2、的估计值为（）A.B.C.D.2434.（1+2x）（1+x）的展开式中 x 的系数为（）A.12B.16C.20D.245.已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34a1，则 a3（）A.16B.8C.4D.26.已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则（）A.，B.，C.，D.，7.函数 y=在-6，6的图象大致为（）A.B.C.D.8.如图，点 N为正方形 ABCD的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则（）A.，且直线 BM，EN是相交直线B.，且直线 BM，EN是相交直线C.，且直线 BM，EN是

3、异面直线D.，且直线 BM，EN是异面直线第 1 页，共 22 页9.执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（）A.B.C.D.10.双曲线的右焦点为 F，为点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为（）A.B.C.D.11.设 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）A.C.B.D.12.设函数 f（x）=sin（x+）（0），已知f（x）在0，2有且仅有 5 个零点下述四个结论：f（x）在（0，2）有且仅有 3 个极大值点f（x）在（0，2）有且仅有 2 个极小值点f（x）在（0，）单调递增的取值范

4、围是，）其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分）13.已知，为单位向量，且=0，若，则 cos，=_第 2 页，共 22 页14.记 Sn为等差数列an的前 n 项和，a10，a23a1，则F2为椭圆 C：的两个焦点，M为 C 上一点且在第一象限 若MF1F215.设 F1，为等腰三角形，则 M 的坐标为_16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3

5、D打印所用原料密3度为 0.9 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g三、解答题（本大题共7 7 小题，共 84.084.0分）17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 A、B两组，每组 100只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；（2）

6、分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）第 3 页，共 22 页18.ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知（1）求 B；（2）若ABC为锐角三角形，且 c=1，求ABC面积的取值范围19.图 1是由矩形 ADEB、RtABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图2.（1）证明：图 2中的 A，C，G，D四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2中的二面角 B-CG-A的大小.20.已知函数 f(x)2x3ax2b（1）讨论

7、 f(x)的单调性；（2）是否存在 a，b，使得 f(x)在区间0,1的最小为1且最大值为 1？若存在，求出 a，b的所有值；若不存在，说明理由第 4 页，共 22 页21.已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线 AB过定点：（2）若以 E(0，)为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形 ADBE的面积.22.如图，在极坐标系 Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，），所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，），弧，曲线 M2是弧，曲线 M3是弧曲线 M1是弧（1）分别写出 M1，M2，M

8、3的极坐标方程；（2）曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP|=，求 P 的极坐标23.设 x，y，zR，且 x+y+z=1222（1）求（x-1）+（y+1）+（z+1）的最小值；222（2）若（x-2）+（y-1）+（z-a）成立，证明：a-3或 a-1第 5 页，共 22 页第 6 页，共 22 页答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题解求出 B中的不等式，找出 A与 B的交集即可【解答】解：2因为 A=-1，0，1，2，B=x|x 1=x|-1x1，所以 AB=-1，0，1，故选 A2.【答案】D【解

9、析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题利用复数的运算法则求解即可【解答】解：由 z（1+i）=2i，得:z=1+i故选 D3.【答案】C【解析】【分析】本题考查该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查韦恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题第 7 页，共 22 页作出韦恩图，得到该学校阅读过西游记的学生人数为 70 人，由此能求出该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的

10、学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，作出韦恩图，得：该学校阅读过西游记的学生人数为 70 人，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：=0.7故选 C4.【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解3本题考查展开式中 x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题【解答】243解：（1+2x）（1+x）的展开式中 x 的系数为：第 8 页，共 22 页1故选：A+2=125.【答案】C【解析】【分析】设等比数列an的公比为 q（q0），根据条件

11、可得，解方程即可本题考查了等比数列的性质和前 n 项和公式，考查了方程思想，属基础题【解答】解：设等比数列an的公比为 q（q0），则由前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，有，故选 C6.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0=2，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得 b 的值【解答】xx解：y=ae+xlnx 的导数为=ae+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，可得 ae+0+1=2，解得 a=e，-1第 9 页，共

12、22 页故切点为（1，1），可得 1=2+b，即 b=-1故答案为 D7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的图象与奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题由 y=的解析式知该函数为奇函数可排除 C，然后计算 x=4 时的函数值，根据其值即可排除 A，D【解答】解：由 y=f（x）=f（-x）=在-6，6，知，f（x）是-6，6上的奇函数，因此排除 C，又 f（4）=故选 B8.【答案】B【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属中档题推导出BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，从而

13、直线 BM，EN是相交直线，设 DE=a，则 BD=而 BMEN【解答】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M 是线段 ED的中点，BM平面 BDE，EN平面 BDE，第 10 页，共 22 页，因此排除 A，D，BE=，从BM是BDE中 DE边上的中线，EN是BDE中 BD边上的中线，直线 BM，EN 是相交直线，设 DE=a，则 BD=，设 DC 的中点为 P,连接 EP,BP,因为平面 ECD平面 ABCD，且平面 ECD平面 ABCD=DC，因为，所以 EP平面 ABCD,BE=同理,EN=BM=BMEN.故选 B9.【答案】C【解析】【分析】本题

14、考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中等题由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，s=1，x=，不满足退出循环的条件 x0.01；再次执行循环体后，s=1+，x=再次执行循环体后，s=1+由于0.01，而+0.01，可得：，x=，此时，满足退出循环的条件 x0.01，不满足退出循环的条件 x0.01；，x=，不满足退出循环的条件 x0.01；=，=a，a，,当 s=1+第 11 页，共 22 页输出 s=1+故选 C10.【

15、答案】A【解析】【分析】+=2-本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查求出双曲线的渐近线方程，求出三角形 POF的顶点 P 的坐标，然后求解面积即可【解答】解：双曲线 C：-=1的右焦点为 F（，0），渐近线方程为：y=x，不妨设 P 在第一象限，可得 tanPOF=，P（，），=所以PFO的面积为：故选 A11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题根据 log34log33=1，判断【解答】解：f（x）是定义域为 R的偶函数，log34log33=1，0,，结合 f（x）的奇偶和单调性即可第 12 页，共 22 页又

16、f（x）在（0，+）上单调递减，故选 C12.【答案】D【解析】解：当 x0，2时，f（x）在0，2有且仅有 5 个零点，故正确，因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，下面判断是否正确，当 x（0，）时，若 f（x）在（0，则故选：D）单调递增，即 3，故正确根据f（x）在0，2有且仅有5个零点，可得断是否正确即可得到答案，解出，然后判本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题13.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键第 13 页，共 2

17、2 页【解答】解：|故答案为.14.【答案】4【解析】【分析】本题考查等差数列前 n 项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题根据 a2=3a1，可得公差 d=2a1，然后利用等差数列的前 n项和公式将表示，化简即可【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则由 a10，a2=3a1可得 a1+d=3a1，d=2a1，=故答案为 415.【答案】（3，）【解析】【分析】本题主要考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题设 M（m，n），m，n0，求得椭圆的a，b，c，由于 M为，用 a1|=3，=2-=2，第 14 页，共 22 页C 上一点且在第一

18、象限，可得|MF1|MF2|，MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c分类讨论即可得出 M的坐标.【解答】解：设 M（m，n），(m，n0)，椭圆 C：,+=1的 a=6，b=2，c=4，由于 M 为 C 上一点且在第一象限，可得|MF1|MF2|，MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，所以解得所以 M（3，故答案为：（3，16.【答案】118.8【解析】【分析】）本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题该模型体积为-VO-EFGH=664-=132（cm3）

19、，再由3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量【解答】解：该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱锥 O-EFGH后所得的几何体，其中 O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，该模型体积为：第 15 页，共 22 页-VO-EFGH=664-=144-12=132（cm3），33D打印所用原料密度为 0.9g/cm，不考虑打印损耗，0.9=118.8（g）制作该模型所需原料的质量为：132故答案为 118.817.【答案】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据

20、直方图得到 P（C）的估计值为 0.70则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中a=0.35，b=0.10（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：甲=20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值为：乙=30.05+40.1+50.15+60.35+70.2+80.15=6【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中 a，b（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分

21、比的平均值18.【答案】解：（1）asin=bsinA，即为 asin=acos=bsinA，可得 sinAcos=sinBsinA=2sin cos sinA，sinA0，cos=2sin cos，若 cos=0，可得 B=（2k+1），kZ不成立，第 16 页，共 22 页sin=，由 0B，可得 B=；（2）若ABC为锐角三角形，且 c=1，由余弦定理可得 b=，2222由三角形 ABC为锐角三角形，可得 a+a-a+11且 1+a-a+1a，解得 a2，可得ABC面积 S=asin=a（，）【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算

22、能力，属于中档题（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；22（2）运用余弦定理可得 b，由三角形 ABC为锐角三角形，可得 a+a-a+11且1+a2-a+1a2，求得 a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围19.【答案】证明：（1）由已知得 ADBE，CGBE，ADCG，AD，CG确定一个平面，A，C，G，D四点共面，由已知得 ABBE，ABBC，AB面 BCGE，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE解：（2）作 EHBC，垂足为 H，EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，EH平面 ABC，由已知，菱形 BCGE的边长为 2，EBC=60

23、，BH=1，EH=，的方向为 x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H-xyz，以 H 为坐标原点，则 A（-1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，-1，0），=（x，y，z），设平面 ACGD的法向量=（3，6，-），则，取 x=3，得=（0，1，0），又平面 BCGE的法向量为=cos，=二面角 B-CG-A的大小为 30【解析】第 17 页，共 22 页（1）推导出 ADBE，CGBE，从而 ADCG，由此能证明 A，C，G，D 四点共面，推导出 ABBE，ABBC，从而 AB面 BCGE，由此能证明平面 ABC平面BCGE（2）取 CG 的中点 M，

24、连结 EM，DM，推导出 DE平面 BCGE，DECG，由四边形 BCGE是菱形，且EBC=60，得 EMCG，从而 CG平面 DEM，DMCG，由此能求出四边形 ACGD的面积本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题20.【答案】解：（1）f（x）=6x2-2ax=6x（x-）令 f（x）=6x（x-）=0，解得 x=0，或2a=0时，f（x）=6x 0，函数 f（x）在 R上单调递增a0 时，函数 f（x）在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减a0 时，函数 f（x）在（-，），（0

25、，+）上单调递增，在（，0）上单调递减（2）由（1）可得：=b=-1，f（1）=2-a+b=1，解得 b=-1，a=0时，函数 f（x）在0，1上单调递增 则 f（0）a=0，满足条件a0 时，函数 f（x）在0，上单调递减1，即 a 时，函数 f（x）在0，1上单调递减则 f（0）=b=1，f（1）=2-a+b=-1，解得 b=1，a=4，满足条件01，即 0a 时，函数 f（x）在0，）上单调递减，在（，1上单调递增则f（）=-a+b=-1，而 f（0）=b，f（1）=2-a+bb，f（1）=2-a+b=1，联立解得：无解，舍去a0 时，函数 f（x）在0，1上单调递增，则 f（0）=b=

26、-1，f（1）=2-a+b=1，解得b=-1，a=0，不满足条件，舍去综上可得：存在 a，b，使得 f（x）在区间0，1的最小值为-1且最大值为 1a，b的所有值为：，或【解析】第 18 页，共 22 页2（1）f（x）=6x-2ax=6x（x-）令 f（x）=6x（x-）=0，解得 x=0，或对 a分类讨论，即可得出单调性（2）对 a分类讨论，利用（1）的结论即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.【答案】解：（1）证明：y=的导数为 y=x，设切点 A（x1，y1），B（x2，y2），即有 y1=，

27、y2=，切线 DA 的方程为 y-y1=x1（x-x1），即为 y=x1x-，切线 DB 的方程为 y=x2x-，联立两切线方程可得 x=（x1+x2），可得 y=x1x2=-，即 x1x2=-1，直线 AB的方程为 y-=（x-x1），即为 y-=（x1+x2）（x-x1），可化为 y=（x1+x2）x+，可得 AB恒过定点（0，）；（2）法一：设直线 AB的方程为 y=kx+，由（1）可得 x1+x2=2k，x1x2=-1，AB中点 H（k，k2+），由 H 为切点可得 E到直线 AB的距离即为|EH|，可得=，1，解得 k=0或 k=x+，即有直线 AB的方程为 y=或 y=2由 y=可

28、得|AB|=2，四边形 ADBE的面积为 SABE+SABD=（1+2）=3；x+，可得|AB|=4，由 y=第 19 页，共 22 页1，-）到直线 AB的距离为此时 D（E（0，）到直线 AB的距离为=；=，4则四边形 ADBE的面积为 SABE+SABD=（+）=4；法二：（2）由（1）得直线 AB的方程为 y=tx+2x-2tx-1=0由，可得2于是 x1+x2=2t，x1x2=-1，y1+y2=t（x1+x2）+1=2t+1，2|AB|=2（t+1）设 d1，d2分别为点 D，E到直线 AB的距离，则 d1=，d2=2因此，四边形 ADBE的面积 S=|AB|（d1+d2）=（t+3

29、）2设 M为线段 AB的中点，则 M（t，t+）2由于，而与向量（1，t）平行，所以 t+（t-2）t=0解1得 t=0或 t=1时，S=4当 t=0时，S=3；当 t=综上，四边形 ADBE的面积为 3 或 4【解析】（1）求得 y=的导数，可得切线的斜率，可得切线 DA，DB 的方程，求得交点D的坐标，可得 AB 的方程，化简可得 AB恒过定点；（2）设直线 AB的方程为 y=kx+，由（1）可得 x1+x2=2k，x1x2=-1，求得 AB中2点 H（k，k+），由 H为切点可得 E到直线 AB 的距离即为|EH|，求得 k，再由四边形ADBE的面积为SABE+SABD，运用点到直线的距

30、离公式和弦长公式，计算可得所求值本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于难题22.【答案】【解答】，所在圆的极坐标方程分别为=2cos，=2sin，=-2cos，解：（1）由题设得，弧则 M1的极坐标方程为=2cos，（0），第 20 页，共 22 页M2的极坐标方程为=2sin，（），M3的极坐标方程为=-2cos，（），（2）设 P（，），由题设及（1）值，若 0，由 2cos=得 cos=，得=，若，由 2sin=得 sin=，得=或，若，由-2cos=得 cos=-，得=，综上 P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【

31、解析】【分析】本题主要考查极坐标方程的应用，结合极坐标过程公式求出对应点的极坐标方程是解决本题的关键（1）根据弧，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，），结合极坐标方程进行求解即可；（2）讨论角的范围，由极坐标过程|OP|=23.【答案】解：（1）x，y，zR，且 x+y+z=1，由柯西不等式可得:2222222（1+1+1）（x-1）+（y+1）+（z+1）（x-1+y+1+z+1）=4，222可得（x-1）+（y+1）+（z+1），222即有（x-1）+（y+1）+（z+1）的最小值为；，进行求解即可得 P 的极坐标；（2）证明：由 x+y+z=1，柯西不等式可得:2222222

32、2（1+1+1）（x-2）+（y-1）+（z-a）（x-2+y-1+z-a）=（a+2），222可得（x-2）+（y-1）+（z-a），222即有（x-2）+（y-1）+（z-a）的最小值为，由题意可得，解得 a-1或 a-3【解析】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题第 21 页，共 22 页222222（1）运用柯西不等式可得（1+1+1）（x-1）+（y+1）+（z+1）（x-1+y+1+z+1）2=4，可得所求最小值；222（2）运用柯西不等式求得（x-2）+（y-1）+（z-a）的最小值，由题意可得不大于最小值，解不等式可得所求范围第 22 页，共 22 页