2021年新高考数学模拟试卷(30).pdf

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1、20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（3030）一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D2020+32（5 分）若=，则 z 的虚部是（）1+AiB2iC1D13（5 分）已知向量，均为非零向量，（2），|，则，的夹角为（）A6B3C23D564（5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思

2、是“有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”请问第一天走了（）A192 里B68 里C48 里D220 里5（5 分）在ABC 中 角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，若 acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角 C 的大小为（）A6B4C3D26（5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 交抛物线于 A，B两点，且|AF|BF|，则A3|的值为（）C23B2D347（5 分）第28 届金鸡百花电影节将于11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南

3、方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为（）A21B53C710D548（5 分）已知四棱锥PABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面 PAB平面 ABCD，则四棱锥 PABCD 外接球体积为（）第1 1页（共2020页）A2821B99211C6327D1083二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查

4、看自己某时间段的运动情况，某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9 月C月跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳10（5 分）若函数 f（x）满足（1）对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0（2）对于定义域上的任意 x1，x2当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：()=；（f x）x3；()

5、=2，0，则被称为“理想函数”的有（）2，0ABCD121；()=2+111（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动（无滑动滚动），点 D 恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是yf（x），则对函数 yf（x）的判断正确的是（）第2 2页（共2020页）A函数 yf（x）是奇函数B对任意的 xR R，都有 f（x+4）f（x4）C函数 yf（x）的值域为0，22D函数 yf（x）在区间6，8上单调递增12（5 分）如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点将ADE，CDF，BEF分别沿 DE、DF、EF 折起

6、，使 A、B、C 重合于点 P则下列结论正确的是（）APDEF13B平面 PDE平面 PDFC二面角 PEFD 的余弦值为D点 P 在平面 DEF 上的投影是DEF 的外心三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）定义在 R R 上的偶函数 f（x），对任意 xR R，均有 f（x+4）f（x）成立，当 x0，2时，f（x）2x+1，则直线 y4 与 yf（x）的图象交点中最近两点的距离为14（5 分）若(3+1)展开式中的各项系数之和为1024，则 n，常数项为22215（5 分）已知双曲线C：22=1（a0，b0）

7、的左右焦点为F1，F2过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF290，则双曲线 C 的离心率为16（5 分）已知函数 f（x）x2cos2，数列an中，anf（n）+f（n+1）（nN N*），则数列an的前 100 项之和 S100四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）第3 3页（共2020页）17（10 分）在各项均不相等的等差数列an中，a11，且 a1，a2，a5成等比数列，数列bn的前 n 项和 Sn2n+12（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设 cn2+log2bn，求数

8、列cn的前 n 项和 Tn18（12 分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A=3，b=2，求ABC 的面积19（12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下：甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工 B：360，420，

9、370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超出 350 件的部分每件 0.9 元（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为（单位：元），求 的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费20（12 分）已知ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC

10、 上的点，且满足=，21D 为 AB 的三等分点（靠近点 A），（如图（1），将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1DEB 的平面角为 90，连接 A1B，A1C（如图（2）（1）求证：A1D平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在，第4 4页（共2020页）求出 PB 的长；若不存在，请说明理由12221（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：2+2=1(0)的离心率为，点2(3，2)在椭圆 C 上，R（x0，y0）是椭圆C 上的一点，从原点O 向圆：(0)2+(0)2=7作两条切线，分别交椭圆于P，

11、Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求 k1k2的值；（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22（12 分）设函数 f（x）lnxpx+1，其中 p 为常数（）求函数 f（x）的极值点；（）当 p0 时，若对任意的 x0，恒有在 f（x）0，求 p 的取值范围；（）求证：2222123+3232+222212(+1)(，2)第5 5页（共2020页）20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（3030）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满

12、分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2，AB（2，3）故选：A2020+32（5 分）若=1+，则 z 的虚部是（）AiB2iC1D12020+31+3(1+3)(1)【解答】解：=2+，1+1+(1+)(1)z 的虚部是 1故选：D3（5 分）已知向量，均为非零向量，（2），|，则，的夹角为（）A6B3C23D56【解答】解：由（2），得 2=0，=22=2|2，211cos=|=|212|=2，1又 0，则，的夹角为=故选：B4（

13、5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”请问第一天走了（）第6 6页（共2020页）3A192 里B68 里C48 里D220 里12【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列an，且公比为，11(12)11266 天后共走了 378 里，S6=第一天走了 192 里，故选：A=378，解得 a1192，5（5 分）在ABC 中 角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c

14、，若 acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角 C 的大小为（）A6B4C3D2【解答】解：由 acosAsinC（2ba）sinAcosC，得 asinB2bsinAcosC，由正弦定理得：ab2abcosC，cosC=2，又C（0，），C=3，故选：C6（5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 交抛物线于 A，B两点，且|AF|BF|，则A3|1的值为（）C223B2D34【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（，0），直线 l 倾斜角为 60，直线 l 的方程为：y0=3（x）设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2

15、），|AF|x1+2，|BF|x2+2，联立方程组，消去 y 并整理，得 12x220px+3p20，解得 x1=2，x2=6，|AF|x1+2=2p，|BF|x2+2=3，第7 7页（共2020页）232|AF|：|BF|3：1，|的值为 3故选：A7（5 分）第28 届金鸡百花电影节将于11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为（）A21B53C710D54【解答】解：从这五部作品中随机选择两

16、部放在展映的前两位的所有情况为：（南方车站的聚会，春江水暖），（南方车站的聚会，第一次的离别），（南方车站的聚会，春潮），（南方车站的聚会，抵达之谜），（春江水暖，第一次的离别），（春江水暖，春潮，（春江水暖，抵达之谜），（第一次的离别，春潮）（第一次的离别，抵达之谜），（春潮，抵达之谜），共 10 种情况，其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的有7 种，故春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为p=10故选：C8（5 分）已知四棱锥PABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面 PAB平面 ABCD，则四棱锥 PABCD 外接球体积为（）A2821B992711C

17、6327D1083【解答】解：四棱锥 PABCD 的体积是363，底面 ABCD 是正方形，如图所示：第8 8页（共2020页）则：设正方形 ABCD 的边长为 2x，在等边三角形 PAB 中，过 P 点作 PEAB，由于平面 PAB平面 ABCD，所以 PE平面 ABCD由于PAB 是等边三角形，解得 PE=3所以=1 2 2 3=363，3解得 x3设外接球的半径为 R，所以=(32)2+(3)2=21所以=3 (21)3=故选：A二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通

18、过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）48421=28213A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9 月C月跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳【解答】解：根据题意，依次分析选项：在 A 中，2 月跑步里程比 1 月的小，7 月跑步里程比 6 月的小，10 月跑步里程比 9 月的小，故 A 错误；第9 9页（共2020页）在 B 中，月跑步里程 9 月最大，故

19、 B 正确；在 C 中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9 月，10 月，11 月，6 月，5 月，8月，1 月8 月恰好在中间位置，故其中位数为8 月份对应的里程数，故C 正确；在 D 中，1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确故选：BCD10（5 分）若函数 f（x）满足（1）对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0（2）对于定义域上的任意 x1，x2当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：()=；（f x）x3；()=2，0，则被称为“理想函数”的有（）2，0

20、ABCD121；()=2+1【解答】解：函数 f（x）同时满足（1）对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0；（2）对于定义域上的任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x）为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，f（x）=是奇函数，但不是减函数，故不是“理想函数”；，f（x）x3是奇函数，在（，+）内是减函数，故是“理想函数”；f（x）=2+1，是非奇非偶函数，故不是“理想函数”；()=2，02，0，是奇函数且是减函数，故是“理想函数”211故选：BD11（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD

21、 沿 x 轴滚动（无滑动滚动），点 D 恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是yf（x），则对函数 yf（x）的判断正确的是（）第1010页（共2020页）A函数 yf（x）是奇函数B对任意的 xR R，都有 f（x+4）f（x4）C函数 yf（x）的值域为0，22D函数 yf（x）在区间6，8上单调递增【解答】解：当4x2，B 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 2 的圆，41当2x2 时，B 的轨迹是以 D 为圆心，半径为 22的 圆，41当 2x4 时，B 的轨迹是以 C 为圆心，半径为 2 的 圆，41当 4x6 时，B 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 2 的 圆，41作出函数的

22、图象如图，函数为偶函数，故 A 错误；函数的周期是 8，故 B 正确；函数值域为0，22，故 C 正确；由图可知，函数在6，8上单调递增；故选：BCD12（5 分）如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点将ADE，CDF，BEF分别沿 DE、DF、EF 折起，使 A、B、C 重合于点 P则下列结论正确的是（）第1111页（共2020页）APDEF13B平面 PDE平面 PDFC二面角 PEFD 的余弦值为D点 P 在平面 DEF 上的投影是DEF 的外心【解答】解：如图，由已知可得 PE、PF、PD 三条侧棱两两互相垂直，则 PD平面 PEF，PDEF，故 A 正确；PE

23、平面 PDF，而 PE平面 PDE，平面 PDE平面 PDF，故 B 正确；取 EF 中点 G，连接 PG，DG，可得 PGEF，DGEF，得PGD 为二面角 PEFD的平面角，设正方形 ABCD 的边长为 2，则 PD2，PG=cos=232221222，DG=1332，2=，即二面角 PEFD 的余弦值为，故 C 正确；13过 P 作 PODG，则O 为 P 在底面 DEF 上的射影，PEPD，OEOD，则O 不是DEF 的外心，故 D 错误故选：ABC三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）定义在 R R 上的

24、偶函数 f（x），对任意 xR R，均有 f（x+4）f（x）成立，当 x0，2时，f（x）2x+1，则直线 y4 与 yf（x）的图象交点中最近两点的距离为1第1212页（共2020页）【解答】解：对任意的 xR R 均有 f（x+4）f（x）成立，yf（x）的周期为 4，而 yf（x）为偶函数，图象关于y 轴对称画出函数的图象，将 y4 代入 f（x）2x+1 解得 x=，根据图形可知图象关于 x2 对称，则在2，4上的交点横坐标为2532直线 y4 与函数 yf（x）的图象交点中最近两点的距离等于1故答案为：114（5 分）若(3+1)展开式中的各项系数之和为1024，则 n5，常数项为

25、40521)中，令 x1 得到展开式的各项系数和为4n10242【解答】解：(3+解得 n5，5 r其通项公式为：Tr+1=（5（3）1r5 r）35x2552；令552=0r1；其常数项为：34 15=405故答案为：5，40515（5 分）已知双曲线C：2222=1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF290，则双曲线 C 的离心率为102【解答】解：设|AF1|m，|BF1|n，由双曲线的定义可得|AF2|2a+m，|BF2|2a+n，由BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，第1

26、313页（共2020页）可得（2a+m）（m+n）m（2a+m）3（2a+m）m，221121化简可得 n3m，由直角三角形 ABF1可得（m+n）2+（2a+m）2（2a+n）2，代入 n3m，化简可得 ma，在直角三角形 AF1F2中，可得 m2+（2a+m）24c2，即为 a2+9a24c2，即 c=则 e=10=，2102102a，故答案为：16（5 分）已知函数 f（x）x2cos2，数列an中，anf（n）+f（n+1）（nN N*），则数列an的前 100 项之和 S10010200【解答】解：f（x）x2cos2，anf（n）+f（n+1）=2a4n3=(4 3)2(+1)+(

27、+1)2，2243422+（4n2）=（4n2）2，22同理可得：a4n2（4n2）2，a4n1（4n）2，a4n（4n）2a4n3+a4n2+a4n1+a4n2（4n2）2+2（4n）28（4n1）数列an的前 100 项之和 S1008（3+7+99）10200故答案为：10200四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）在各项均不相等的等差数列an中，a11，且 a1，a2，a5成等比数列，数列bn的前 n 项和 Sn2n+12第1414页（共2020页）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设 cn2+log2bn，求数列cn的前 n

28、项和 Tn【解答】解：（1）在各项均不相等的等差数列an的公差设为 d，d0，a11，且 a1，a2，a5成等比数列，可得 a1a5a22即 1（1+4d）（1+d）2，解得 d2，则 an1+2（n1）2n1；数列bn的前 n 项和 Sn2n+12，可得 b1S12；n2 时，bnSnSn12n+122n+22n，对 n1 也成立，则 bn2n，nN N*；（2）cn2+log2bn22n 1+n，则前 n 项和 Tn（2+8+22n 1）+（1+2+n）2(14)121=14+2n（n+1）=3（4n1）+2（n2+n）18（12 分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sin

29、B+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A=3，b=2，求ABC 的面积【解答】解：（1）若选择2+2=2+2，222+2由余弦定理=，（4 分）2222因为 B（0，），所以=；（5 分）2由正弦定理=，得=23=3，（7 分）42因为=，=，所以=53435=，（8 分）4126+2所以=12=(4+6)=46+46=所以=2=2 3 2 116+24（10 分）4=3+3（12 分）4（2）若选择acosBbsinA，则 sinAcosBsinBsinA，（3 分）因为 sinA0，所以 si

30、nBcosB，（4 分）因为 B（0，），所以=4；（5 分）2由正弦定理=，得=23=3，（7 分）2第1515页（共2020页）因为=，=，所以=53435=，（8 分）4126+2所以=12=(4+6)=46+46=所以=124，（10 分）6+213+3 3 2=（12 分）244（3）若选择+=2，则2(+)=2，所以(+)=1，（3 分）因为 B（0，），所以+4(4，4)，所以+=，所以=；（5 分）4245442由正弦定理=，得=23=3，（7 分）2因为=3，=4，所以=34=12，（8 分）所以=12=(4+6)=46+46=56+254，（10 分）19（12 分）为了解

31、甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下：甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超出 350 件的部分每件 0.9 元（1）根据题中数据写出甲公司员工A

32、在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为（单位：元），求 的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费【解答】解：（1）由题意知：甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为：110(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360，众数为 330第1616页（共2020页）（2）设乙公司员工 B1 天的投递件数为 X，则 X 的可能取值为 340，360，370，420，440，当 X340 时，=340

33、0.6=204，(=204)=10，当 X360 时，=350 0.6+(360 350)0.9=219，(=219)=3，1011当 X370 时，=350 0.6+(370 350)0.9=228，(=228)=5，当 X420 时，=350 0.6+(420 350)0.9=273，(=273)=3，101当 X440 时，=350 0.6+(440 350)0.9=291，(=291)=10，的分布列为P()=204 2041219322851273329111010101013131+219+228+273+291=242.7101051010（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月

34、所得的劳务费为360300.657020（元）由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为：242.70.6304368.6（元）20（12 分）已知ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足=，21D 为 AB 的三等分点（靠近点 A），（如图（1），将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1DEB 的平面角为 90，连接 A1B，A1C（如图（2）（1）求证：A1D平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在，求出 PB 的长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）正ABC 的

35、边长为 3，且=，AD1，AE2，21ADE 中，DAE60，由余弦定理，得 DE=12+22 2 1 2 60=3，第1717页（共2020页）AD2+DE24AE2，ADDE折叠后，仍有 A1DDE二面角 A1DEB 成直二面角，平面 A1DE平面 BCDE，又平面 A1DE平面 BCDEDE，A1D平面 A1DE，A1DDE，A1D平面 BCED；（2）假设在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60如图，作 PHBD 于点 H，连接 A1H、A1P，由（1）得 A1D平面 BCED，而 PH平面 BCED，A1DPHA1D、BD 是平面 A1BD 内的相

36、交直线，PH平面 A1BD由此可得PA1H 是直线 PA1与平面 A1BD 所成的角，即PA1H60设 PBx（0 x3），则 BHPBcos60=2，PHPBsin60=2x，在 RtPA1H 中，PA1H60，A1H=2，在 RtDA1H 中，A1D1，DH2，112由 A1D+DH A1H，得 1+（2）（x）2，222222312解得 x=2，满足 0 x3 符合题意在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60，此时 PB=52521（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：3122+=1(0)的离心率为，点222(3，2)在椭圆 C 上，R（x0，y0

37、）是椭圆C 上的一点，从原点O 向圆：(0)2+(0)2=7作两条切线，分别交椭圆于P，Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求 k1k2的值；第1818页（共2020页）12（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【解答】解：（1）因为离心率为，所以2122=2223=，所以2=42，413椭圆方程可化为2224+32=1，代入点(3，)得 a 4，2242所以椭圆方程为+23=1（2）因为直线 OP：yk1x 和 OQ：yk2x 都与圆 R 相切，所以|100|21+1=84|200|84，=，7721+2

38、12122)200+0=0的两根，772所以 k1，k2是方程2(0所以1 2=1220712207，3422因为点 R（x0，y0）在椭圆上所以0=30，所以1 2=1220712207=21234(07)12207=43（3）当直线 OP、OQ 不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2）2=1211222联立2得=，1=2，3+42=1213+423+4112所以1+21=12(1+1)3+41322，同理222+2=12(1+2)3+4222因为1 2=42所以2+22=12(1+2)3+4222122=161+93+412+222，22所以|+|=2+21+=7(3+41)

39、23+4122=7，当直线 OP、OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP|+|OQ|27综上，|OP|2+|OQ|2722（12 分）设函数 f（x）lnxpx+1，其中 p 为常数（）求函数 f（x）的极值点；（）当 p0 时，若对任意的 x0，恒有在 f（x）0，求 p 的取值范围；（）求证：2222+3232+222212(+1)(，2)【解答】解：（）f（x）lnxpx+1 定义域为（0，+），第1919页（共2020页）()=11 =，当 p0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上无极值点当 p0 时，令 f（x）0，x=（0，+），f（x）、f（x）随 x 的变化情况如下表：xf（x）f（x）（0，）111（，+）1+0极大值1从上表可以看出：当 p0 时，f（x）有唯一的极大值点=（）当 p0 时，在=处取得极大值()=，此极大值也是最大值，要使 f（x）0 恒成立，只需()=0，p1p 的取值范围为1，+）（）令 p1，由（）知，lnxx+10，lnxx1，nN N，n2lnn2n21，13222222211111+212323211=1 122(1 123121+2)+(1 2+13)+(1 211)=(1)(2121312214+1)(1)(2)+34(+1)=(1)(+13+1=(1)(结论成立121221)=+12(+1)第2020页（共2020页）