2021-2022年收藏的精品资料中考数学必考34个考点专题24：相似三角形判定与性质.pdf

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1、专题专题 2424相似三角形判定与性质相似三角形判定与性质1相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。2三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹

2、角相等，两三角形相似。（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。3直角三角形相似判定定理:以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。专题

3、知识回顾专题知识回顾专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析【例题【例题 1 1】（20192019海南省）海南省）如图，在RtABC 中，C90，AB5，BC4点P 是边 AC 上一动点，过点P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（）A.BCD【答案】B【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到 QBQD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可C90，AB5，BC4，ACPQAB，ABDBDQ，又AB

4、DQBD，QBDBDQ，QBQD，QP2QB，PQAB，CPQCAB，即，3，解得，CPAPCACP【例题【例题 2 2】（20192019四川省凉山州）四川省凉山州）在ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2：3 的两部分，连接BE、AC 相交于 F，则 SAEF：SCBF是【答案】4：25 或 9：25【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键分 AE：ED2：3、AE：ED3：2 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可当 AE：ED2：3 时，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AE：BC

5、2：5，AEFCBF，SAEF：SCBF（）24：25；当 AE：ED3：2 时，同理可得，SAEF：SCBF（）29：25。【例题【例题 3 3】（20192019湖北省荆门市）湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE【答案】楼的高度 OE 为 32 米【解析】设 E 关于 O 的对称点为 M，

6、由光的反射定律知，延长GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点 H，GFAC，MACMFG，即：OE32，【例题【例题 4 4】（20192019 年广西梧州市）年广西梧州市）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，AF 平分DAC，分别交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AHDF，分别交 BD，BF 于点 G，H（1）求 DE 的长；（2）求证：1DFC【答案】见解析。【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键（1）由 ADCF，AF 平分DAC，可得FACAFC，得

7、出 ACCF5，可证出ADEFCE，则可求出 DE 长；，矩形 ABCD 中，ADCF，DAFACF，AF 平分DAC，DAFCAF，FACAFC，ACCF，AB4，BC3，CF5，ADCF，ADEFCE，5，设 DEx，则解得 x；（2）由ADGHBG，可求出 DG，则AHCDFC，结论得证ADFH，AFDH，四边形 ADFH 是平行四边形，ADFH3，CH2，BH5，ADBH，ADGHBG，DG，可得 EGBC，则1AHC，根据 DFAH，可得DE，EGBC，1AHC，又DFAH，AHCDFC，1DFC【例题【例题 5 5】（20192019 年湖南省张家界市）年湖南省张家界市）如图，在平

8、行四边形ABCD 中，连接对角线AC，延长AB 至点 E，使BEAB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G（1）求证：BFCF；（2）若 BC6，DG4，求 FG 的长【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到 ADCD，ADBC，得到EBFEAD，根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCD，ADBC，EBFEAD，BFADBC，BFCF；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，ADCD，FGCDGA，即，解得，FG2专题典型训练题专题典型训练题一、选择题一、选择题1.1.（20192019 年广西玉林市）年

9、广西玉林市）如图，ABEFDC，ADBC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（）A3 对【答案】C【解析】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，ABEFDC，ADBCAEGADCCFGCBA共有 6 个组合分别为：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA2.2.（20192019 年内蒙古赤峰市）年内蒙古赤峰市）如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则 AE 的长是（）B5 对C6 对D8 对A1【答案】C【解析】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可ADEA

10、CB，AA，B2C3D4ADEACB，即，解得，AE33.3.（20192019广西贺州）广西贺州）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则 BC 等于（）A5【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键由平行线得出ADEABC，得出对应边成比例DEBC，ADEABC，即可得出结果B6C7D8即解得：BC64.4.（20192019广西贵港）广西贵港）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DEBC，ACDB，若 AD2BD，BC6，则线段 CD 的长为（）A2B3C2D

11、5【答案】C【解析】设 AD2x，BDx，所以 AB3x，易证ADEABC，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及出 CD 的长度，再证明ADEACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求设 AD2x，BDx，AB3x，DEBC，ADEABC，DE4，ACDB，ADEB，ADEACD，AA，ADEACD，设 AE2y，AC3y，y，ADCD25.5.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，在 ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EMAD，交 AB 于点 M，ENAB，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是（）ABCD【答案】D【解析】根据平行四边形的性质以及

12、相似三角形的性质在 ABCD 中，EMAD易证四边形 AMEN 为平行四边形易证BEMBADEND，A 项错误，B 项错误，C 项错误，D 项正确。6.6.（20192019江苏苏州）江苏苏州）如图，在ABC中，点D为BC边上的一点，且AD AB 2，AD AB，过点D作DE AD，DE交AC于点E，若DE 1，则ABC的面积为（）A AE EB BA4 2【答案】B【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型AB AD，DE ADD DB4C CC2 5D8BAD ADE 90AB/DE易证CDECBADCDE1BCBA2DC1BD DC2即由题得BD 2 2解得DC 2

13、 2ABC的高易得：2SABC11BC2 4 22 4227.7.（20192019 山东枣庄）山东枣庄）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积9若 AA1，则 AD 等于（）A2【答案】B【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点由 SABC16.SAEF9且 AD 为BC 边的中线知SADESAEF，SABDSABC8，根据DA）2B3C4DEDAB 知（，据此求解可得SABC16.SAEF9，且 AD 为 BC 边的中线，SADESAEF，SABD

14、SABC8，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，）2）2则（，即（，解得 AD3 或 AD（舍）。8.8.（20192019 四川巴中）四川巴中）如图 ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点G，则 SDEG：SCFG（）A2：3【答案】D【解析】先设出DEx，进而得出AD3x，再用平行四边形的性质得出BC3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论设 DEx，DE：AD1：3，AD3x，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BCAD3x，点 F 是 BC 的中点，CFBCx，AD

15、BC，DEGCFG，（）2（）2B3：2C9：4D4：99.9.（20192019 年四川省遂宁市）年四川省遂宁市）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，BPC 是等边三角形，连接 DP 并延长交 CB 的延长线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q，下列结论：BPD135；BDPHDB；DQ：BQ1：2；SBDP其中正确的有（）ABCD【答案】D【解析】由等边三角形及正方形的性质求出CPDCDP75、PCBCPB60，从而判断；证DBPDPB135可判断；作 QECD，设 QEDEx，则 QDx，CQ2QE2x，CE，根据 SBDPx，由 CE+DECD 求出 x，从而求得 DQ

16、、BQ 的长，据此可判断，证 DPDQBDPDsinBDP 求解可判断PBC 是等边三角形，四边形ABCD 是正方形，PCBCPB60，PCD30，BCPCCD，CPDCDP75，则BPDBPC+CPD135，故正确；CBDCDB45，DBPDPB135，又PDBBDH，BDPHDB，故正确；如图，过点 Q 作 QECD 于 E，设 QEDEx，则 QDCEx，x1，x，CQ2QE2x，由 CE+DECD 知 x+解得 xQDBDx，BQBDDQ则 DQ：BQ，1：2，故错误；：CDP75，CDQ45，PDQ30，又CPD75，DPQDQP75，DPDQ，故 正确。SBDPBDPDsinBDP

17、二、填空题二、填空题10.10.（20192019浙江宁波）浙江宁波）如图所示，RtABC 中，C90，AC12，点 D 在边 BC 上，CD5，BD13点P 是线段 AD 上一动点，当半径为6 的P 与ABC 的一边相切时，AP 的长为【答案】6.5 或 3【解析】在 RtABC 中，C90，AC12，BD+CD18，AB6，在 RtADC 中，C90，AC12，CD5，AD13，当P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离6，过 P 作 PHBC 于 H，则 PH6，C90，ACBC，PHAC，DPHDAC，PD6.5，AP6.5；当P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离6，过

18、 P 作 PGAB 于 G，则 PG6，ADBD13，PAGB，AGPC90，AGPBCA，AP3，CD56，半径为 6 的P 不与ABC 的 AC 边相切，综上所述，AP 的长为 6.5 或 3故答案为：6.5 或 3，11.11.20192019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的任一点，沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当BDE 是直角三角形时，则 CD 的长为_【答案】3 或24.7【解析】在BDE 中，B 是锐角，有两种可能，DEB 或EDB 是直角，由此画出示意图

19、，逐步求解即可.如图 1，DEB 是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC=102 62=8,设 CD=x，则BD=8-x，由折叠知 CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，如图 2，EDB 是直角时，EDAC，BEDBAC，的长为 3 或ACDE6x，即，解得 x=3;ABDB108 x24ACED6x,即，解得 x=，综上，CD7CBDB88 x24.7AAEFECDBC图 1DB图 21212（20192019山东泰安山东泰安）如图，矩形ABCD 中，AB3，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将AEF沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处

20、，则折痕 EF 的长是【答案】2【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接 CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FECEDC，利用相似的性质即可求出EF 的长度如图，连接 EC，四边形 ABCD 为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3E 为 AD 中点，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE，EC 平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，

21、FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，ECFE2，3，13.13.（20192019 江苏常州）江苏常州）如图，在矩形 ABCD 中，AD3AB310点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE2BE，点 M、N 在线段 BD 上若PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，则 MN_APDBEC【答案】6【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB310点 P 是 AD 的中点，点 E 在BC 上，CE2BE”，求得 PD3 10DC1，C

22、E210，这样由 tanDEC；第四步过点 P 作 PH2EC2BD 于点 H，在 BD 上依次取点 M、N，使 MHNH2PH，于是因此PMN 是所求符合条件的图形；第五310PH2PHPD3步由DPHDBA，得，即，得 PH，于是 MN4PH6，本题答案为 610BABD210APHMBECND14.14.（20192019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分BCD 交 AB 于点 E，交BD 于点 F，且ABC60，AB2BC，连接 OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有（填写所有正确

23、结论的序号）【答案】【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题正确只要证明 ECEABC，推出ACB90，再利用三角形中位线定理即可判断错误想办法证明BF2OF，推出 SBOC3SOCF即可判断正确设 BCBEECa，求出 AC，BD 即可判断正确求出 BF，OF，DF（用 a 表示），通过计算证明即可四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，ODOB，OAOC，DCB+ABC180，ABC60，DCB120，EC 平分DCB，ECBDCB60，EBCBCECEB60，ECB 是等边三

24、角形，EBBC，AB2BC，EAEBEC，ACB90，OAOC，EAEB，OEBC，AOEACB90，EOAC，故正确，OEBC，OEFBCF，OFOB，SAODSBOC3SOCF，故错误，设 BCBEECa，则 AB2a，ACBDa，a：a：7，故正确，a，ODOBa，AC：BDOFOBBFa，a，BF2a2，OFDFa（a+a）a2，BF2OFDF，故正确，故答案为15.15.（20192019 四川泸州）四川泸州）如图，在等腰RtABC 中，C90，AC15，点 E 在边 CB 上，CE2EB，点 D在边 AB 上，CDAE，垂足为 F，则 AD 的长为【答案】【答案】92【解析】【解析

25、】过 D 作 DHAC 于 H，在等腰 RtABC 中，C90，AC15，ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH，CFAE，DHADFA90，HAFHDF，ACEDHC，=，CE2EB，CE10，15=1510，DH9，AD92，故答案为：92三、解答题三、解答题16.16.（20192019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，ABDBCD90，DB 平分ADC，过点B 作 BMCD 交 AD 于 M连接 CM 交 DB 于 N（1）求证：BD2ADCD；（2）若 CD6，AD8，求 MN 的长【答案】见解析。【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 M

26、C 的长度是本题的关键证明：（1）通过证明ABDBCD，可得DB 平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCD，可得结论；BD2ADCD（2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证 AMMDMB4，由 BD2ADCD 和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNBCND，可得MBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且 CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212，即可求 MN 的长BMCDMC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCNDMN，且 MC21717（20192019山东泰安山东泰安）在矩形 ABCD 中，AEBD 于

27、点 E，点 P 是边 AD 上一点（1）若 BP 平分ABD，交 AE 于点 G，PFBD 于点 F，如图，证明四边形 AGFP 是菱形；（2）若 PEEC，如图，求证：AEABDEAP；（3）在（2）的条件下，若 AB1，BC2，求 AP 的长【答案】见解析。【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型（1）想办法证明 AGPF，AGPF，推出四边形 AGFP 是平行四边形，再证明 PAPF 即可解决问题证明：如图中，四边形 ABCD 是矩形，BAD90，AEBD，AED90，BAE+EA

28、D90，EAD+ADE90，BAEADE，AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD，AGPAPG，APAG，PAAB，PFBD，BP 平分ABD，PAPF，PFAG，AEBD，PFBD，PFAG，四边形 AGFP 是平行四边形，PAPF，四边形 AGFP 是菱形（2）证明AEPDEC，可得证明：如图中，由此即可解决问题AEBD，PEEC，AEDPEC90，AEPDEC，EAD+ADE90，ADE+CDE90，EAPEDC，AEPDEC，ABCD，AEABDEAP；（3）利用（2）中结论求出 DE，AE 即可解：四边形 ABCD 是矩形，BCAD2，BAD90，BDAEBD，SA

29、BDBDAEABAD，AEDE，AEABDEAP；AP1818(2019(2019 安徽安徽)如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，P 为ABC 内部一点，且APBBPC135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12h2h3【答案】见解析。【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出 EAPPCD 是解本题的关键（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PABPBC（2）PABPB

30、C在 RtABC 中，ABAC，PA2PC（3）如图，过点 P 作 PDBC，PEAC 交 BC.AC 于点 D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，h32h2PABPBC，即：h12h2h3，即，19.19.（20192019 年湖南省株洲市）年湖南省株洲市）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，连接 CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD 的边长为 2，线段AD 与线段 OG 相交于

31、点 M，AM，求正方形OEFG的边长【答案】见解析。【解析】由正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BD，可得DOADOC90，GOE90，即可证得GODCOE，因 DOOC，GOEO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等；过点M 作MHDO 交 DO 于点 H，由于MDB45，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得 MO，再通过MHDG，易证得OHMODG，则有，求得 GO 即为正方形 OEFG 的边长（1）正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG 和COE 中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 HAM，DA2DMMDB45MHDHsin45DMHODODH，DOcos45DA在 RtMHO 中，由勾股定理得MODGBD，MHDOMHDG易证OHMODG，得 GO2则正方形 OEFG 的边长为 2