2018年全国统一高考数学试题(理科)(新课标Ⅱ卷)(带解析).pdf

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1、20182018 年全国统一高考数学试题（理科）年全国统一高考数学试题（理科）（新课标卷）（新课标卷）（带解（带解析）析）一、单选题一、单选题112i12i4535Ai2已知集合A A9Bi4535Ci3545Di3545x，yx2 y2 3，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）B8C5D4exex3函数fx的图像大致为()x2ABCD4已知向量a,b满足a 1，ab 1，则a(2a b)A4B3C2D0 x2y25双曲线221(a 0,b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为abAy 2x6在ABC中，cosA4 212By 3xC y 2x2Dy 3x2C5,BC=1,AC=5，则 AB=25

2、B301314C29D2 57为计算S 1入11，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填99100试卷第 1 页，共 4 页Ai i1Bi i 2Ci i3Di i48我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A112B114C115D1189在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为1A5B56C55D2210若fxcosxsinx在a,a是减函数，则a的最大值是A4B2

3、C34D11已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)A50B0abC2D50 x2y2FFC：21(a b 0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在12已知1，2是椭圆2过A且斜率为2A33的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，则C的离心率为6111B2CD34试卷第 2 页，共 4 页二、填空题二、填空题13曲线y 2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_x2y5 0,14若x,y满足约束条件x2y3 0,则z x y的最大值为_x5 0,15已知sincos1，cossin 0，则sin_716已

4、知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成8角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_三、解答题三、解答题17记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 7，S3 15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型 30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值

5、依次为1,2,7）：y 9917.5t建立模型：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19设抛物线C：y2 4x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8（1）求l的方程；试卷第 3 页，共 4 页（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值x221已知函数fxe ax（

6、1）若a 1，证明：当x 0时，fx1；（2）若fx在只有一个零点，求a的值.x 2cos22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数y 4sinx 1tcos方程为（t为参数）.y 2tsin（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2，求l的斜率23设函数f(x)5 xa x2.（1）当a 1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1恒成立，求a的取值范围.试卷第 4 页，共 4 页参考答案参考答案1D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.12i(12i)234i详解：选 D.12i55点睛：本题考查复数除法法则，

7、考查学生基本运算能力.2A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】x2 y2 3x2 3,xZx 1,0,1当x 1时，y 1,0,1；当x 0时，y 1,0,1；当x 1时，y 1,0,1；所以共有 9 个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3B【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.exex f(x)f(x)为奇函数，舍去 A,详解：x 0,f(x)x2f(1)ee1 0舍去 D;(exex)x2(exex)2x(x2)ex(x2)exf(x)x 2,f(x)0，43xx所以舍去 C；因此选 B.答案第 1 页

8、，共 12 页点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复4B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为a(2ab)2a ab 2|a|2(1)21 3,所以选 B.22点睛：向量加减乘：a b (x1 x2,y1 y2),a|a|,ab a b cos a,b25A【详解】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.cb2c2a2b2详解：e 3

9、,2 e 1 31 2,2,aaa2ab因为渐近线方程为y x，所以渐近线方程为y 2x，选 A.ax2y2x2y2b点睛：已知双曲线方程221(a,b0)求渐近线方程：22 0 y x.abaab6A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.C531 2()21,2553222所以c a b 2abcosC 125215()32c 4 2，选 A.5详解：因为cosC 2cos2点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7B【详解】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，

10、最后再相减.因此累加量为隔项.11111详解：由S 1得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相23499100答案第 2 页，共 12 页减.因此在空白框中应填入i i 2，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8C【详解】分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19

11、，23，29，共 10 个，随机选取两2个不同的数，共有C10 45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为31=，选 C.4515点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求

12、向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),所以AD1(1,0,3),DB1(1,1,3),因为cos AD1,DB15，选 C.5AD1DB1AD1DB1135，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为52 5点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10A答案第

13、 3 页，共 12 页【详解】因为f(x)cosxsin x 2cos(x)，4所以由02k x3 2k,(kZ)得2k x 2k,(kZ)444 33因此a,a,a a,a ,a 0 a，从而a的最大值为，故选：444444A.11C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为f(x)是定义域为(,)的奇函数，且f(1x)f(1x)，所以f(1 x)f(x1)f(3 x)f(x1)f(x1)T 4,因此f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1

14、)f(2)f(3)f(4)0，f(2)f(2)f(2)f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解12D【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，所以 PF2=F1F2=2c,由AP斜率为31123,sinPAF2，cosPAF2得，tanPAF2，661313PF2sinPAF2,由正弦定理得AF2sinAPF212c2113=a 4c

15、,e，故选 D.所以acsin(PAF)543121123213213113点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.答案第 4 页，共 12 页13y 2x【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】y 22k 2y 2xx101【点睛】求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲

16、线上，而在点P 处的切线，必以点 P 为切点.149【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当x 5,y 4时，zmax9.【详解】不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y的最大值必在顶点处取得，易知当x 5,y 4时，zmax9.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.1152【详解】因为所以因为所以 得，答案第 5 页，共 12 页，即解得故本题正确答案为1640 2【详解】，分析：先根据三角形面积公式求

17、出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.715详解：因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，88115因为SAB的面积为5 15，设母线长为l,所以l2 5 15l2 80，28因为SA与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为lcos因此圆锥的侧面积为rl 22l 40 2.22l,4217（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【详解】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前 n 项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数

18、最值.详解：（1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18（1）利用模型预测值为 226.1，利用模型预测值为 256.5，（2）利用模型得到的预测值更可靠【详解】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018 时所对应的函数值，就;2）得结果（根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个

19、有明显区别的直线，且 2010答案第 6 页，共 12 页到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型2 更能较好得到 2018 的预测.详解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.5y19=226.1（亿元）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5y9=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016

20、年的数据建立的线性模型不能很好地描2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，y因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到

21、的预测值更可靠点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点(x,y)求参数.19(1)y=x1,(2)x3y 216或x11y6144【详解】分析：(1)根据抛物线定义得AB x1 x2 p，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；（2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）2222答

22、案第 7 页，共 12 页y kx12222由2得k x 2k 4xk 0y 4x2k24 16k 16 0，故x1 x2k224k24所以AB AF BF x11x21k24k24由题设知，k=18，解得 k=1（舍去）k2因此 l 的方程为 y=x1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y2 x3，即y x5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则y0 x05，x03，x011，2解得或y0 x012y 2y 6.16.00 x012因此所求圆的方程为x3y22216或x11y614422点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆

23、心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心a,b和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F 的方程组，进而求出D、E、F 的值20（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，

24、解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向答案第 8 页，共 12 页3.4量夹角互余得结果【详解】（1）因为AP CP AC 4，O为AC的中点，所以OP AC，且OP 2 3连结OB因为AB BC 2AC，2所以ABC为等腰直角三角形，且OB AC,OB 1AC 22由OP2OB2 PB2知POOB由OP OB,OP AC知PO平面ABC（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3),AP (0,2,2 3)

25、取平面PAC的法向量OB(2,0,0)设M(a,2 a,0)(0 a 2)，则AM(a,4 a,0)设平面PAM的法向量为n (x,y,z)2y2 3z 0，由APn 0,AM n 0得ax(4a)y 0可取2n (3(a4),3a,a)所以cosOBn 2 3(a4)2 3(a4)23a2a232由已知得cosOBn 答案第 9 页，共 12 页所以2 3|a 4|2 3(a 4)23a2a234解得a 4(舍去)，a 238 3 4 34所以n 3,3,3又PC (0,2,2 3)，所以cosPC,n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为【点睛】3434利用法向量求解空间线面角的关键在于“

26、四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”e221（1）见解析；（2）a 4【详解】2x分析：(1)先构造函数gx x 1 e1，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递2x减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究fx零点，等价研究hx1ax e的零点，先求hx导数：hx axx2ex，这里产生两个讨论点，一个是 a 与零，一个是 x 与 2，当a 0时，hx 0，hx没有零点；当a 0时，hx先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即

27、得a 的值.2x详解：（1）当a 1时，fx1等价于x 1 e1 02x2xx设函数gx x 1 e1，则gx x 2x1 e x1e2当x 1时，gx0，所以gx在0,单调递减而g00，故当x 0时，gx 0，即fx12x（2）设函数hx1ax efx在0,只有一个零点当且仅当hx在0,只有一个零点（i）当a 0时，hx 0，hx没有零点；（ii）当a 0时，hx axx2ex答案第 10 页，共 12 页当x0,2时，hx0；当x2,时，hx0所以hx在0,2单调递减，在2,单调递增故h214a是hx在0,的最小值e2e2若h20，即a，hx在0,没有零点；4e2若h2 0，即a，hx在0

28、,只有一个零点；4e2若h2 0，即a，由于h01，所以hx在0,2有一个零点，416a316a316a31x2h 4a 1111 0244a由（1）知，当x 0时，e x，所以2aea2ae故hx在2,4a有一个零点，因此hx在0,有两个零点e2综上，fx在0,只有一个零点时，a 4点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.x2y2221，当cos 0时，l的直角坐标方程为y tanx 2 tan，当cos0（1）416时，l的

29、直角坐标方程为x 1；（2）2【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0与cos0两种情况.(2)将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin,cos之间关系，求得tan，即得l的斜率【详解】x2y21详解：（1）曲线C的直角坐标方程为416当cos 0时，l的直角坐标方程为y tanx 2 tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x 1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程答案第 11 页，共 12 页13cost2242cos sint 8

30、0t2，因为曲线C截直线l所得线段的中点1,2在C内，所以有两个解，设为t1，则t1t2 0又由得t1t2 42cos sin13cos2，故2cossin 0，于是直线l的斜率k tan 223(1)2,3；(2),62,.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|x a|x2|4，再根据绝对值三角不等式得|xa|x2|最小值，最后解不等式|a2|4得a的取值范围详解：（1）当a 1时，2x4,x 1,fx2,1 x 2,2x6,x 2.可得fx 0的解集为x|2 x 3（2）fx1等价于xa x2 4而xa x2 a2，且当x 2时等号成立故fx1等价于a2 4由a2 4可得a 6或a 2，所以a的取值范围是,62,点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向答案第 12 页，共 12 页