2021年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案.pdf

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1、一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分分)1.z=m+3+m-1i 在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是A.-3，1B.-1，3C.1，+D.-，-32.集合 A=1，2，3，B=x|x+1 x-20，xZ，那么 AB=A.1B.1，2C.0，1，2，3D.-1，0，1，2，3=1，m，=3，-2，且+，那么 m=2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的间隔 为 1，那么 a=C.5.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可

2、以选择的最短途径条数为6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为7.假设将函数 y=2sin2x 的图象向左平移A.x=-kZB.x=个单位长度，那么平移后的图象的对称轴为-kZD.x=+kZ+kZC.x=8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，假设输入的x=2，n=2，依次输入的a 为 2，2，5，那么输出的 s=9.假设 cos-=，那么 sin2=A.B.10.从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn构成 n 个数对x1，y1，x2，y2xn，yn，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，

3、那么用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为A.1B.C.D.，F2是双曲线 E：-=1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinMF2F1=，那么 E 的离心率为A.12.函数 fx xR满足 f-x=2-fx，假设函数 y=与 y=fx图象的交点为x1，B.C.y1，x2，y2，xm，ym，那么xi+yi=二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分分)13.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，假设cosA=，cosC=，a=1，那么b=_ 14.，是两个平面，m，n 是两条直线，有以下四个命题：假如 mn，

4、m，n，那么假如 m，n，那么mn假如，m，那么 m假如 mn，那么m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题是 _ 填序号15.有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上一样的数字不是 1，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5，那么甲的卡片上的数字是 _ 16.假设直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=lnx+1的切线，那么 b=_ 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 8 8 小题，共小题，共 94.094.0 分分)n

5、为等差数列an的前 n 项和，且 a1=1，S7=28，记 bn=lgan，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0，lg99=1求 b1，b11，b101；求数列bn的前 1000 项和18.某保险的根本保费为a单位：元，继续购置该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险0次数保费1a23452a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险0次数概率12345求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比根本保费高出60%的概率；求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值19.如图，菱形 A

6、BCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF=，EF 交于 BD 于点 M，将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置，OD=证明：DH平面ABCD；求二面角 B-DA-C 的正弦值20.椭圆 E：+=1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 kk0的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA当 t=4，|AM|=|AN|时，求AMN 的面积；当 2|AM|=|AN|时，求 k 的取值范围21.讨论函数 fx=e 的单调性，并证明当 x0 时，x-2e+x+20；x0有最小值设 gx的最小值xx证明：当

7、 a0，1时，函数 gx=为 ha，求函数 ha的值域22.如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上不与端点重合，且DE=DG，过 D 点作 DFCE，垂足为 F证明：B，C，G，F 四点共圆；假设 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积23.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为x+62+y2=25以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；直线 l 的参数方程是斜率t 为参数，l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|=，求 l 的24.函数 fx=|x-|+|x+|，M 为不等式 fx2 的解集求 M；证明：当 a，b

8、M 时，|a+b|1+ab|20212021 年全国统一高考数学试卷新课标年全国统一高考数学试卷新课标 理科理科答案和解析答案和解析【答案】【答案】1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B13.14.15.1 和 316.1-ln217.解：Sn为等差数列an的前 n 项和，且 a1=1，S7=28，7a4=28可得 a4=4，那么公差 d=1an=n，bn=lgn，那么 b1=lg1=0，b11=lg11=1，b101=lg101=2由可知：b1=b2=b3=b9=0，b10=b11=b12=b99=1b100=b101=b102=

9、b103=b999=2，b10，00=3数列bn的前 1000 项和为：90+901+9002+3=189318.解：某保险的根本保费为a单位：元，上年度出险次数大于等于2 时，续保人本年度的保费高于根本保费，由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于根本保费的概率：p1=1-0.30-0.15=0.55设事件 A 表示“一续保人本年度的保费高于根本保费，事件 B 表示“一续保人本年度的保费比根本保费高出 60%，由题意 PA=0.55，PAB=0.10+0.05=0.15，由题意得假设一续保人本年度的保费高于根本保费，那么其保费比根本保费高出60%的概率：p2

10、=PB|A=由题意，续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为：=1.23，续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为1.2319.证明：ABCD是菱形，AD=DC，又 AE=CF=，那么 EFAC，又由 ABCD 是菱形，得 ACBD，那么 EFBD，EFDH，那么 EFDH，AC=6，AO=3，又 AB=5，AOOB，OB=4，OH=22，那么 DH=DH=3，2|OD|=|OH|+|DH|，那么 DHOH，又 OHEF=H，DH平面 ABCD；解：以 H 为坐标原点，建立如下图空间直角坐标系，AB=5，AC=6，B5，0，0，C1，3，0，D0，0，3，A1，-3，0，设平面 ABD的一个法

11、向量为，由，得，取 x=3，得 y=-4，z=5同理可求得平面 ADC 的一个法向量设二面角二面角 B-DA-C 的平面角为，那么|cos|=二面角 B-DA-C 的正弦值为 sin=20.解：t=4 时，椭圆 E 的方程为+=1，A-2，0，2222直线 AM 的方程为 y=kx+2，代入椭圆方程，整理可得3+4k x+16k x+16k-12=0，解得 x=-2 或 x=-，那么|AM|=|2-|=，由 ANAM，可得|AN|=，由|AM|=|AN|，k0，可得22=，整理可得k-1 4k-k+4=0，由 4k-k+4=0 无实根，可得 k=1，即有AMN 的面积为|AM|=直线 AM 的

12、方程为 y=kx+可得3+tk x+2t222222=2；，代入椭圆方程，k x+t k-3t=0，解得 x=-即有|AM|=或 x=-|，-|=，|AN|=，由 2|AM|=|AN|，可得 2=，整理得 t=，3，即有0，由椭圆的焦点在 x 轴上，那么 t3，即有可得k2，即 k 的取值范围是，2 21.解：1证明：fx=fx=e x=当 x-，-2-2，+时，fx0fx在-，-2和-2，+上单调递增x0 时，xf0=-1即x-2e+x+202gx=a0，1由 1 知，当 x0 时，f x=的值域为-1，+，只有一解使得，t0，2当 x0，t时，gx0，gx单调减；当 xt，+，gx0，gx

13、单调增；ha=记 kt=，在 t0，2时，kt=0，故 kt单调递增，所以 ha=kt，22.证明：DFCE，RtDFCRtEDC，=，DE=DG，CD=BC，=，又GDF=DEF=BCF，GDFBCF，CFB=DFG，GFB=GFC+CFB=GFC+DFG=DFC=90，GFB+GCB=180，B，C，G，F 四点共圆E 为 AD 中点，AB=1，DG=CG=DE=，在 RtDFC 中，GF=CD=GC，连接 GB，RtBCGRtBFG，S四边形 BCGF=2SBCG=2 1=23.解：圆 C 的方程为x+62+y2=25，x2+y2+12x+11=0，2=x2+y2，x=cos，y=sin

14、，C 的极坐标方程为 2+12cos+11=0直线 l 的参数方程是t 为参数，直线 l 的一般方程 y=tanx，l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|=，圆 C 的圆心 C-6，0，半径 r=5，圆心 C-6，0到直线间隔 d=，解得 tan2=，tan=l 的斜率 k=24.解：I当 x解得：x-1，-1x当，时，不等式 fx2 可化为：-x-x-2，x 时，不等式 fx2 可化为：-x+x+=12，此时不等式恒成立，x，当 x 时，不等式 fx2 可化为：-+x+x+2，解得：x1，x1，综上可得：M=-1，1；证明：当 a，bM 时，22a-1 b-10，2222即 a b+1a+

15、b，2222即 a b+1+2aba+b+2ab，22即ab+1 a+b，即|a+b|1+ab|【解析】1.解：z=m+3+m-1i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得-3m1应选：A利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可此题考察复数的几何意义，考察计算才能2.解：集合 A=1，2，3，B=x|x+1 x-20，xZ=0，1，AB=0，1，2，3应选：C先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出AB 的值此题考察并集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用3.解：向量=1，m，=3，-2，+=4，m-2，又+，12-2m-2=0，解得：m=8，应选：D求出向量

16、+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得答案此题考察的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于根底题224.解：圆 x+y-2x-8y+13=0 的圆心坐标为：1，4，故圆心到直线 ax+y-1=0 的间隔 d=1，解得：a=，应选：A求出圆心坐标，代入点到直线间隔 方程，解得答案此题考察的知识点是圆的一般方程，点到直线的间隔 公式，难度中档5.解：从 E 到 F，每条东西向的街道被分成2 段，每条南北向的街道被分成2 段，从 E 到 F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4 段，其中 2 段方向一样，另2 段方向一样，2每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选

17、出 2 段走北向的，故共有 C4=6 种走法1同理从 F 到 G，最短的走法，有 C3=3 种走法小明到老年公寓可以选择的最短途径条数为63=18 种走法应选：B从 E 到 F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4 段，其中2 段方向一样，另2 段方向一样，每种最短走法，即是从4 段中选出 2 段走东向的，选出2 段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从1F 到 G，最短的走法，有 C3=3 种走法，利用乘法原理可得结论此题考察排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属根底题6.解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是 2

18、在轴截面中圆锥的母线长是=4，圆锥的侧面积是 24=8，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是 4，2圆柱表现出来的外表积是2+224=20空间组合体的外表积是28，应选：C空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出外表积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是 4，做出圆柱的外表积，注意不包括重合的平面此题考察由三视图求外表积，此题的图形构造比拟简单，易错点可能是两个几何体重叠的局部忘记去掉，求外表积就有这样的弊端7.解：将函数 y=2sin2x 的图象向左平移个单位长度，得到 y=2sin2x+=

19、2sin2x+，由 2x+=k+kZ得：x=即平移后的图象的对称轴方程为x=+kZ，+kZ，应选：B利用函数 y=Asinx+A0，0的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案此题考察函数 yy=Asinx+A0，0的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题8.解：输入的 x=2，n=2，当输入的 a 为 2 时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的 a 为 2 时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的 a 为 5 时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的 S 值为 17，应选：C根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S 的值，模

20、拟程序的运行过程，可得答案此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进展解答9.解：cos-=，sin2=cos-2=cos2-=2cos-1=2应选：D利用诱导公式化 sin2=cos-2，再利用二倍角的余弦可得答案此题考察三角函数的恒等变换及化简求值，纯熟掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题10.解：由题意，=应选：C以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率 的近似值古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求可以列举出所有事件和发惹事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到11.解：设|MF1

21、|=x，那么|MF2|=2a+x，MF1与 x 轴垂直，2222a+x=x+4c，x=2-1=-，sinMF2F1=，3x=2a+x，x=a，=a，a=b，c=e=a，应选：A设|MF1|=x，那么|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出 x=，利用 sinMF2F1=，求得 x=a，可得=a，求出 a=b，即可得出结论此题考察双曲线的定义与方程，考察双曲线的性质，考察学生分析解决问题的才能，比拟根底12.解：函数 fx xR满足 f-x=2-fx，即为 fx+f-x=2，可得 fx关于点0，1对称，函数 y=，即 y=1+的图象关于点0，1对称，即有x1，y1为交点，即有-x1，2-y1也为

22、交点，x2，y2为交点，即有-x2，2-y2也为交点，那么有xi+yi=x1+y1+x2+y2+xm+ym=x1+y1+-x1+2-y1+x2+y2+-x2+2-y2+xm+ym+-xm+2-ym=m应选 B由条件可得 fx+f-x=2，即有 fx关于点0，1对称，又函数 y=，即 y=1+的图象关于点0，1对称，即有x1，y1为交点，即有-x1，2-y1也为交点，计算即可得到所求和此题考察抽象函数的运用：求和，考察函数的对称性的运用，以及化简整理的运算才能，属于中档题13.解：由 cosA=，cosC=，可得sinA=，sinC=，+=，sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsi

23、nC=由正弦定理可得 b=故答案为：运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得 b=，代入计算即可得到所求值此题考察正弦定理的运用，同时考察两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考察运算才能，属于中档题14.解：假如 mn，m，n，那么，故错误；假如 n，那么存在直线 l，使 nl，由 m，可得 ml，那么 mn故正确；假如，m，那么 m 与 无公共点，那么 m故正确假如 mn，那么m，n 与 所成的角和 m，n 与 所成的角均相等故正确；故答案为：根据空间直线与平面的位置关系的断定方法及几何特征，分析判断各个结论的

24、真假，可得答案此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了空间直线与平面的位置关系，难度中档15.解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1 和 2，或 1 和 3；1假设丙的卡片上写着1 和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和 3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和 3；2假设丙的卡片上写着1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和 3；又甲说，“我与乙的卡片上一样的数字不是2；甲的卡片上写的数字不是1 和 2，这与矛盾；甲的卡片上的数字是 1 和 3故答案为：1 和 3可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片

25、上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少考察进展简单的合情推理的才能，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的打破口16.解：设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=lnx+1的切点分别为x1，kx1+b、x2，kx2+b；由导数的几何意义可得 k=，得 x1=x2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而 kx1+b=lnx1+2 得出 b=1-ln2先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联络，以及对应的函数值，综合联立求解即可此题考察了导数的几何意义，表达了方程思想，对学生综合计算才能有一定要求，中档题17.利用条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求

26、解b1，b11，b101；找出数列的规律，然后求数列bn的前 1000 项和此题考察数列的性质，数列求和，考察分析问题解决问题的才能，以及计算才能18.上年度出险次数大于等于2 时，续保人本年度的保费高于根本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于根本保费的概率设事件 A 表示“一续保人本年度的保费高于根本保费，事件 B 表示“一续保人本年度的保费比根本保费高出 60%，由题意求出 PA，PAB，由此利用条件概率能求出假设一续保人本年度的保费高于根本保费，那么其保费比根本保费高出60%的概率由题意，能求出续保人本年度的平均

27、保费与根本保费的比值此题考察概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用19.由底面 ABCD 为菱形，可得 AD=CD，结合 AE=CF 可得 EFAC，再由 ABCD 是菱形，得 ACBD，进一步得到 EFBD，由EFDH，可得EFDH，然后求解直角三角形得DHOH，再由线面垂直的断定得 DH平面 ABCD；以H 为坐标原点，建立如下图空间直角坐标系，由求得所用点的坐标，得到坐标，分别求出平面ABD与平面 ADC 的一个法向量的，设二面角二面角B-DA-C 的平面角为，求出|cos|那么二面角B-DA-C 的正弦值可求此题考察线面垂直的断定，

28、考察了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，表达了数学转化思想方法，是中档题20.求出t=4 时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM 的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得 k=1，运用三角形的面积公式可得AMN 的面积；直线 AM 的方程为 y=k x+，代入椭圆方程，求得交点 M，可得|AM|，|AN|，再由 2|AM|=|AN|，求得 t，再由椭圆的性质可得 t3，解不等式即可得到所求范围此题考察椭圆的方程的运用，考察直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考察化简整理的运算才能，属于

29、中档题21.从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进展求导，然后逐步分析即可该题考察了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题22.证明B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由条件可知BCD=90，因此问题可转化为证明GFB=90；在 RtDFC 中，GF=CD=GC，因此可得GFBGCB，那么S四边形 BCGF=2SBCG，据此解答此题考察四点共圆的判断，主要根据对角互补进展判断，注意三角形相似和全等性质的应用23.222把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用=x+y，x=cos，y=sin，能求出圆C的极坐标方程由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程，再求出圆心到直线间隔，由此能求出直线 l的斜率此题考察圆的极坐标方程的求法，考察直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用24.I分当 x时，当2x 时，当 x 时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；22222当 a，bM 时，a-1 b-10，即 a b+1a+b，配方后，可证得结论此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档