2022届新高考数学专题突破必刷题：专题4.pdf

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1、专题专题 4.14.1等差数列与等比数列等差数列与等比数列一、单选题1、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a112,S5 90，则等差数列an公差d（）A2【答案】C54d=90，【解析】a1=12，S5=90，512+2B32C3D4解得 d=3故选 C2、已知公差不为 0 的等差数列an，前n项和为Sn，满足S3 S110，且a1,a2,a4成等比数列，则a3（）A2【答案】B3a13d a110，【解析】设等差数列的公差为d，则2a d aa 3d111B6C5或6D12a1 2a15解得或（舍），故a3 22316，d 2d 0故选：B.3、

2、设数列an是等差数列，若 a3+a4+a512，则 a1+a2+a7（）A14【答案】C【解析】数列an是等差数列，则a3a4a53a412a4 4；B21C28D35a1a2 a7 7a4 28故选：C4、（2019 年高考全国 III 卷理数）已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且a5 3a34a1，则a3（）A16C4【答案】Ca1a1qa1q2a1q315【解析】设正数的等比数列an的公比为q，则4，2a q 3a q 4a111a11,2解得，a3 a1q 4，故选 Cq 2B8D25、等差数列an的前n项和为Sn，若a7 0，a8 0，则下列结论正确的是（）AS7

3、 S8【答案】C【解析】由等差数列的性质及求和公式得，S13S1515(a1a15)15a8 0，故选 C.213(a1a13)13a7 0,2BS15 S16CS13 0DS15 06、（2018 年高考全国 I 卷理数）设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3 S2S4，a1 2，则a5（）A12C10【答案】BB10D12【解析】设等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3243332d 22 d 42d，22整理解得d 3，所以a5 a14d 212 10，故选 B7、（2019湖南衡阳市八中高三月考（理）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯

4、前面1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个100 米时，乌龟仍然前于他10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为102米时，乌龟爬行的总距离为（）1041A901051B9001059C901049D900【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为102米时，乌龟爬行的总距离为1 1001551010 121001

5、0.101900110110故选B8、（2020 届山东师范大学附中高三月考）已知数列an满足an1 an2且a a2 2 a a4 4 a a6 6 9 9，则log3(a5a7a9)（）A-3【答案】BB3C13D13【解析】an1 an2an1an 2,数列an是以 2 为公差的等差数列，a5a7a9a23da43da63da2a4a69d，a2a4ab9，a5a7a9 992 27，log3a5a7a9 log3273，故选：B.9、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列an的前 n 项和为Sn，且a31A25，S99，则a7（）21C2B1D2【答案】C519(a

6、7)9(a a)9(a a)a 【解析】由已知S 19372，得7，929222故选：C.9、（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）各项都是正数的等比a3 a41q 1数列an的公比，且a2,a3,a1成等差数列，则a a的值为（）245AC1525 12BD5 125 15 1或22【答案】C1a a 2a3，即q2q1 0，因为数列各项都是【解析】根据题意有212正数，所以q 152，而a3a4125 1，故选 C.a4a5q15210、（2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）设等差数列an的公差为 d，若数列21 n为递减数列，则（）Ad 0【答案】C【解析】a a因为

7、an是等差数列，则an a1(n1)d2a1an 2a1a1(n1)d，又由于21 n为2aaBd 0Ca1d 0Da1d02a1an递减数列，所以a1an1 2-a1d1 20a1d 0，故选 C.211、（2020 届山东实验中学高三上期中）古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2 倍，己知她 5天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要（）A6 天【答案】C【解析】设该女子第一天织布x尺，x(125)5，则12B7 天C8 天D

8、9 天解得x 5，315n2 1，31前n天织布的尺数为：由31(2n1)530，得2n187，解得n的最小值为 8故选：C12、（2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知an是公差为d的等差数列，前n项和是Sn，若S9 S8 S10，则（）Ad 0，S17 0Cd 0，S18 0【答案】D【解析】S9 S8 S10，a9 0，a9a10 0，a10 0，d 0.S1717a9 0，S18 9a9 a10 0.Bd 0，S17 0Dd 0，S18 0故选：D二、多选题13、若 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn2an+1，（nN N*），则下列说法正确的是（）Aa516C数列an是

9、等比数列【答案】AC【解析】：Sn2an+1，（nN N*），当 n1 时，a1S12a1+1，a11，当 n2 时，anSnSn12an+12an11，2an1an，2，数列an是首项为1，公比为 2 的等比数列，故选项 C 正确，BS563D数列Sn+1是等比数列1=21，=(12)12=1 2=31，故选项 A 正确，选项 B5=2=16，5=错误，4(125)12又+1=2 2，数列Sn+1不是等比数列，故选项D错误，故选：AC14、（2019 秋潍坊期末）设数列an是等差数列，Sn是其前 n 项和，a10 且 S6S9，则（）Ad0CS7或 S8为 Sn的最大值【答案】BC【解析】：

10、a10 且 S6S9，6a1+可得 a80，d0S7或 S8为 Sn的最大值，S5S6故选：BC15、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列an的公比2q ，等差数列bn的首项b112，若a9b9且a10b10，则以下结论3652Ba80DS5S6d9a1+982d，化为：a1+7d0，正确的有（）Aa9a10 0【答案】AD【解析】等比数列an的公比q ，a9和a10异号，a9a10 0，故 A 正确；23Ba9 a10Cb100Db9b10但不能确定a9和a10的大小关系；故 B 不正确；a9和a10异号，且a9b9且a10b10，b9和b10中至少有一个数是负数，又b112

11、0，d 0b9 b10，故 D 正确，b10一定是负数，即b100，故 C 不正确；故选：AD16、（2020 届山东省济宁市高三上期末）设等比数列an的公比为 q,其前 n 项和为Sn,前 n 项积为Tn,并满足条件a11,a2019a20201,下列结论正确的是（）AS2019S2020CT2020是数列Tn中的最大值【答案】AB2【解析】当q0时，a2019a2020 a2019q 0，不成立；a20191 0,a20201Ba2019a20211 0D数列Tn无最大值当q 1时，a20191,a2020a20191 0不成立；1，a20201故0 q 1，且a20191,0 a2020

12、1，故S2020 S2019，A正确；a2019a20211 a202021 0，故B正确；T2019是数列Tn中的最大值，CD错误；故选：AB三、填空题17、（2020 届江苏省七市第二次调研考试）在等差数列an（nN）中，若a1 a2a4，a8 3，则a20的值是_.【答案】-15a1a5 a2a4，a5 0，【解析】数列an是等差数列，又a1 a2a4，d a8a53 1，故a20 a515d 15.853故答案为：1518、（2020 届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知等比数列的前项和为，若28=236,5=62，则1的值是【答案】-2【解析】28=236 52=254 5

13、=24 =2，5=62 1(125)12=62 1=219、（2019 年高考全国 I 卷理数）记 Sn为等比数列an的前 n 项和 若12a1，a4 a6，则 S5=_3121【答案】31213 215qa,a a(【解析】设等比数列的公比为，由已知1所以q)q,46，333又q 0，51(135)121所以q 3,所以S a1(1q)351q13318、（2020 届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）已知等差数列an的公差 d 不为 0，且 a1，a2，a4成等比数列，则值为_.【答案】1【解析】由d 0的等差数列an,22因为a1,a2,a4成等比数列,则a2 a1a4,即a

14、1d a1a13d,a1的d可得a1 d,则故答案为：1a11,d19、（2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）设等差数列an的前n项和为Sn，若a1 0,a3 3a2，则【答案】16.3S10的值为_.S5【解析】由a33a2得a12d 3a1d，即d 2a1，109dS1010a190a1162，54S55a120a135a1d216故答案为：.310a120、（2019 年高考北京卷理数）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若a2=3，S5=10，Sn的最小值为_则 a5=_，【答案】0，10.【解析】等差数列an中,S55a3 10,得a3 2,又a2 3,所以公差

15、d a3a21,a5 a32d 0,由等差数列an的性质得n5时,an 0,n6时,an大于 0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为10.21、（2020 届江苏省如皋中徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）如图，将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列a1,a2,a5,构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3 5,a86 524，则d _.a1a2a3a5a6a4a7a8a9【答案】3【解析】从第 2 行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，a2 a3d 5d，第n行的个数为2n1，从第 1 行到第n行的所有数的个数

16、总和为86 925，a86是第10行第5个数，n(12n1)n2，2a86 a82 4d a228 4d 528(28 4)d 524，整理得252d 756,d 3.故答案为:3.四、解答题22、（2018 年高考全国 II 卷理数）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 7，S3 15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9；（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】（1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn

17、取得最小值，最小值为1623、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知数列an,bn满足：an11 2ann,bnan n,b1 2.（1）证明数列bn是等比数列，并求数列bn的通项；（2）求数列an的前n项和Sn.【答案】（1）见证明；（2）Sn 2n1n2n22【解析】（1）证明：因为bnan n，所以bn ann因为an1 2ann1所以an1n1 2ann所以bn1 2bn又b1 2，所以bn是首项为b1 2，公比为 2 的等比数列，所以bn 22n1 2nn（2）解：由（1）可得an bn n 2 n，123n所以Sn2 2 2 2123n2 12n12n1n1n2 2n2n2

18、224、已知等差数列an满足a1a38,a4a2 4.（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）记数列1的前n项和为Tn，若Tn99，求n的最小值.Sn100【解析】（1）设等差数列an的公差为d.依题意有a1a38,a1 2,解得a a 4.d 2.422所以an 2n,Sn n n.1111（2）因为Sn2nnn1，n所以Tn因为Tn11S1S21111(1)()Sn223111()1.nn 1n 1991991，即，100n1100所以n99.所以n的最小值为10025、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为0 的等差数列an的前 n 项和为Sn，且S5 25，

19、a2是a1和a5的等比中项.（1）求数列an的通项公式；a（2）设数列bn满足bn 2，证明数列bn是等比数列，并求bn的n前 n 项和Tn.2【解析】因为a2是a1和a5的等比中项，所以a2 a1a5设数列an的首项为a1，公差为d，则a1d a1a14d，2即2a1d d，d 0，2a1 dS5 5a154d 25，整理得a1 2d 522（或S5 5a3 25，a3 5 a1 2d）a11由解得d 2所以an a1(n1)d 2n1a2n1（2）bn 2 2nbn122n12n1 4因为bn2所以数列bn是以b1 2为首项，4 为公比的等比数列所以数列bn的前 n 项和为Tn 2 2 2

20、 135 22n1214n142n4 13a2 3，26、（2020浙江镇海中学高三 3 月模拟）在数列an中，a11，且对任意的nN*，都有an23an12an.（）证明数列an+1an是等比数列，并求数列an的通项公式；2n（）设bn，记数列bn的前n项和为Sn，若对任意的nN*都anan1有Sn1 m，求实数m的取值范围.an【解析】（）由an23an12an可得an2an1 2(an1an)an2an1a 1a 3a a 2 0又1，2，所以21，故aa 2.n1nn所以an1an是首项为 2，公比为 2 的等比数列.所以an1 an 2.所以an a1(a2a1)(anan1)122

21、22n 2n1.2n(2n11)(2n1)11.（）因为bnn(2 1)(2n11)(2n1)(2n11)2n12n11所以Sn b1b2=112n+111 11 1223bn212 1 2 12 111nn+12 121.又因为对任意的nN都有Sn*11 m，所以m 1n1n+1恒成立，an2 121111m 1m n 1,.即即当时，nn132 121min27、（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）已知数列an的前n项和为Sn2nn，且Sn2公比大于0的等比数列bn的首项为b11，且b2b3 20（1）求an和bn的通项公式；（2）若cn(an)2b，求证：c71c2c3.c，(n

22、Nn)n2【解析】（1）数列an2 nn的前n项和为Sn，且Sn2，当n 1时，a111 S121，当n 2时，22aSnnn1n1nnSn122 n，经检验，a11满足an n，所以，数列an的通项公式为an n；设bn的公比为qq 0，b2b3 20即b1q b21q 20，将b 1代入b q b2111q 20，得q2q20 0q 0，解得q 4，所以，数列bbn1n的通项公式为n 4.(a2（2）cn)n2nbn1，n41(n1)212ncn1(n1)n9，42当n 2时，ncn4n24164n12即cn19cn，169，16n2c1 c21，c39 当n 2时，cn16，c1c2c3

23、 cn9 9 9 11161616 9 11619116n12n216 9 11716n11162377727c1c2c3 cn,nN*.228、（2020 届山东实验中学高三上期中）设正项数列an的前 n 项和2为Sn，已知4Sn=an+2annN(1)求证：数列an是等差数列，并求其通项公式(2)设数列bn的前 n 项和为Tn，且bn4nTn n12对任，若anan1意nN都成立，求实数的取值范围.【解析】（1）证明:4Sn an 2an，且an 0，22当n 1时，4a1 a1 2a1，解得a1 2当n 2时，有4Sn1 an1 2an1即4Sn 4Sn1 an an1 2an 2an1

24、，即22224an an an1 2an 2an1于是an an1 2an 2an1，222即(anan1)(anan1)2(anan1)anan1 0，anan1 2(n 2)为常数数列an是2为首项，2为公差的等差数列，an 2n（2）由（1）可得：bnTn(12)(23)n111，n(n1)nn1111111n()1nn 1n 1n 1Tn n12，即nn n12对任意nN都成立n1nn11n2(n1)2(6 2)BD PD 6，n2min(n2)(n1)n当 为偶数时，恒成立，n(n2)(n1)2f n n3，令nnfn1 fnn(n1)2 0，n(n1)fn在nN上为增函数，fnmin f26当n为奇数时，(n2)(n1)(n2)(n1)2 n1，恒成立，又nnn2易知：fn n在nN为增函数，fnmin f1 2n由可知：2综上所述的取值范围为:,2