2020年北京市高考数学试卷-解析版.pdf

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1、20202020 年北京市高考数学试卷年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共 1010小题，共 40.040.0分）1.已知集合=1,0，1，2，=|0 0的解集是()A.(1,1)C.(0,1)B.(,1)(1,+)D.(,0)(1,+)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为.是抛物线上异于O的一点，过 P作 于 Q，则线段 FQ的垂直平分线()A.经过点 OB.经过点 PC.平行于直线 OPD.垂直于直线 OP8.在等差数列中，1=9，5=1.记=12(=1,2，)，则数列()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知，则“存在 使

2、得=+(1)”是“=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年 3 月 14日是全球首个国际圆周率日().历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正 6n边形(各边均与圆相切的正 6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是()A.3(sinC.3(sin3060+tan+tan3060)B.6(sinD.6(sin3060+tan+tan30)60二、填空题（本大题共5 5 小题，

3、共 25.025.0分）第 1 页，共 15 页11.函数()=1的定义域是_12.已知双曲线 C：26123=1，则 C 的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_=1()，|=_；13.已知正方形 ABCD的边长为 2，点 P满足则|2=_14.若函数()=sin()的最大值为 2，则常数的一个取值为_15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间 t的关系为=()，用()()的大小评价在,这段时间内企业污水治理能力的强弱 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在1,2这段

4、时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0,1，1,2，2,3这三段时间中，在0,1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_三、解答题（本大题共6 6 小题，共 85.085.0分）16.如图，在正方体 1111中，E为1的中点()求证：1/平面1；()求直线1与平面1所成角的正弦值第 2 页，共 15 页17.在 中，+=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：()的值；()和 的面积条件：=7，=7；条件：=8，=16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18.某校为举办

5、甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：191男生女生支持不支持支持不支持方案一200人 400人 300人 100人方案二350人 250人 150人 250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立()分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；()从该校全体男生中随机抽取2 人，全体女生中随机抽取1人，估计这 3 人中恰有 2人支持方案一的概率；()将该校学生支持方案二的概率估计值记为0.假设该校一年级有 500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为

6、1.试比较0与1的大小(结论不要求证明)19.已知函数()=12 2(1)求曲线=()的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线=()在点(,()处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()，求()的最小值第 3 页，共 15 页20.已知椭圆 C：22+22=1过点(2,1)，且=2()求椭圆 C的方程；N，NA分别交直线=4于()过点(4,0)的直线 l交椭圆 C于点 M，直线 MA，点 P，.求|的值21.已知是无穷数列给出两个性质：对于中任意两项，()，在中都存在一项，使得=；|2()，在中都存在两项，使得=对于中任意一项(3)，2()若=(=1,2，)，判断数列是否满足性质，说明理由；()若=

7、21(=1,2，)，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；()若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列第 4 页，共 15 页答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义写出 即可本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目【解答】解：集合=1,0，1，2，=|0 +1.由于函数=2和直线=+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论【解答】解：不等式()0，即2+1由于函数=2和直线=+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：不等式()0的解集是(,0)(1,+)，故选：D7.【答案】B【解析】解：不妨设抛物线的方程为2=4，则(1,0)，准线

8、为 l为=1，不妨设(1,2)，(1,2)，第 6 页，共 15 页设准线为 l与 x轴交点为 A，则(1,0)，可得四边形 QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段 FQ的垂直平分线，经过点P，故选：B本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为2=4，不妨设(1,2)，可得可得四边形 QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题8.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前5项

9、为负值，自第 6 项开始为正值，进一步分析得答案【解答】解：设等差数列的首项为 d，由1=9，5=1，得=9+2(1)=2 11由=2 11=0，得=1125151=1(9)4=2，而 ，可知数列是单调递增数列，且前 5项为负值，自第 6 项开始为正值可知1=9 0，3=315 0为最大项，自5起均小于 0，且逐渐减小数列有最大项，无最小项故选：B9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键难度不大根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k 为偶数和奇数时，是否成立即可【解答】解：当=2，为偶数时，=2+，此时

10、=sin(2+)=，当=2+1，为奇数时，=2+，此时=sin()=，即充分性成立，或=2+，当=，则=2+，即=+(1)，即必要性成立，则“存在 使得=+(1)”是“=”的充要条件，故选：C10.【答案】A【解析】第 7 页，共 15 页【分析】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题设内接正 6n 边形的边长为a，外切正 6n 边形的边长为 b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值【解答】解：如图，设内接正 6n边形的边长为 a，外切正 6n边形的边长为 b，可得=212=2=2则2 3601236030，=230，306

11、62=6(sintan30tan30)，即 3(sin30)，故选：A11.【答案】|0【解析】【分析】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可【解答】1 0解：要使函数有意义，则，0 1得，0即 0，即函数的定义域为|0，故答案为：|012.【答案】(3,0)；3【解析】解：双曲线C：6焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为=3，即63223=1，则2=22=63=9，则=3，则C的右 2=0，则点(3,0)到渐近线的距离=12=3，故答案为：(3,0)，3根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离

12、可得本题考查了双曲线的方程和其性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题第 8 页，共 15 页13.【答案】5；1【解析】【分析】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题根据向量的几何意义可得P为 BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出【解答】=1(+)，可得 P为 BC的中点，解：由2则|=1，|=22+12=5，+(+=()=)=1，故答案为：5，1214.【答案】2(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题由两角和差公式，及辅助角公式化简得()=cos2+(1+)2sin(+)，其中=，c

13、os2+(1+)2，cos2+(1+)21+结合题意可得cos2+(1+)2=2，解得，即可得出答案【解答】解：()=sin(+)+=+=+(1+)=cos2+(1+)2sin(+)，其中=cos2+(1+)2，=cos2+(1+)2，所以()最大值为cos2+(1+)2=2，所以cos2+(1+)2=4，即2+2=4，所以=1，所以=2+2，当=0时，=2故答案为：2(答案不唯一)1+15.【答案】【解析】解：设甲企业的污水排放量W与时间 t的关系为=()，乙企业的污水排放量 W与时间 t的关系为=()第 9 页，共 15 页对于，在1,2这段时间内，甲企业的污水治理能力为乙企业的污水治理能

14、力为(2)(1)21(2)(1)21，(2)(1)21由图可知，(1)(2)(1)(2)，(2)(1)21，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，由图可知，()在2时刻的切线的斜率小于()在2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，在3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，在3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故正确；对于，由图可知，甲企业在0,1，1,2，2,3这三段时间中，在1,2的污水治理能力最强，故错误正确结论的序号是故答案为：由两个企业污水排放量W与时间t的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个

15、命题得答案本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题16.【答案】解：()由正方体的性质可知，/11中，且=11，四边形11是平行四边形，1/1，又1平面1，1平面1，1/平面1E.()以 A为原点，AD、AB、1分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 a，则(0,0，0)，1(0,0，)，1(,0，)，(0,a，2)，1=(0,)，1=(0,0,)，1=(,0,)，21(+)=0 1=0=(,)，则设平面1的法向量为，即1，(+)=0 =02=(2,1,2)，令=2，则=2，=1，1|=|设直线1与平面1所成角为，则=|cos 故直线

16、1与平面1所成角的正弦值为3()根据正方体的性质可证得1/1，【解析】再利用线面平行的判定定理即可得证；()以 A为原点，AD、AB、1分别为 x、y和 z轴建立空间直角坐标系，设直线1与第 10 页，共 15 页21|1|=3=3，22，平面1所成角为，先求出平面1的法向量 再利用=|cos|=|1|以及空间向量数量积的坐标运算即可得解|1|本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题【答案】解：选择条件()由余弦定理得2=2+2 2，即2 2=49 17.14 ()=49+2，71(+

17、)()=49+2，+=11，11 11=49+2，即11 13=49，+=11联立，解得=8，=3，11 13=49故=8()在 中，0，=1 cos2=43，7由正弦定理可得=，=12=74378=123，232=8 3=63选择条件()在 中，0，0，=(+)，=8，=16，=1 cos2=37，819=1 cos2=57，16由正弦定理可得=，=5，+=11，=6，=5，故=6；()在 中，=(+)，=sin(+)=+=378616+957168=17，4117157=6 5=2244【解析】选择条件()由余弦定理求出(+)()=49+2，再结合+=11，即可求出 a 的值，()由正弦定

18、理可得 sinC，再根据三角形的面积公式即可求出，选择条件()根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得=5，再结合+第 11 页，共 15 页6=11，即可求出 a的值，()由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的面积公式即可求出本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题18.【答案】解：()设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件 B，则()=200400=3,()=300100=4；()由()知，()=3,()=4，设“这 3人中恰有 2人支持方案一”为事件C，21()2

19、(1 )2(1 )=；则()=2343343613113131320013003()0 1【解析】()根据古典概型的概率公式直接求解即可；()结合()及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；()直接写出结论即可本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题19.【答案】解：(1)()=12 2的导函数()=2，令切点为(,)，可得切线的斜率为2=2，=1，=12 1=11，切线的方程为=213；(2)曲线=()在点(,()处的切线的斜率为=2，切线方程为 (12 2)=2()，令=0，可得=122，令=0，可得=2，()=|(122)，2211616由(

20、)=()，可知()为偶函数，不妨设 0，则()=4()=4(3241214421122)(12)，)=43(24)(212)2，由()=0，得=2，当 2时，()0，()单调递增；当0 2时，()0的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出()的最小值()椭圆 C：2+2=1【答案】解：20.22过点(2,1)，且=2，42则=22+1=1，解得2=2，2=8，+22椭圆方程为28=1，()由题意可得直线 l的斜率存在，设直线方程为=(+4)，=(+4)由22，+=182消 y整理可得(1+42)2+322+642 8=0，=32(42 1)0，解得2 ，理由：对于任意的 i和 j，满足=22

21、1，因为 ，所以2 ，2则必存在=2，此时，21 且满足=221=，性质成立，22对于任意的 n，欲满足=21=，且 ，=221，满足=2即可，因为 ，所以2可表示所有正整数，所以必有一组k，l使=2，即满足=成立()首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项绝对值最小或者有与1同时取得绝对值最小，如仅有一项绝对值最小，此时必有一项=与前提矛盾，如有两项与1同时取得绝对值最小值，那么必有=此时|，与前提条件矛盾，所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由知，存在 k，l使得=3，22122，性质，此时|，即3 ，所以2=3，此时1，2，3成等比数列，12数学

22、归纳法：2(1)已证=3时，满足是等比数列，公比=，12(2)假设=时，也满足是等比数列，公比=，121那么由知反证法：=等于数列的某一项，证明这一项为1即可，假设这一项不是1，因为是递增数列，所以该项=2221=1，那么 1，由等比数列得11 1 1，由性质得11 ，所以1 ，所以，分别是等比数列中两项，即=11，=11，原式变为11 121 1，所以1 21 ，又因为 ，不存在这组解，所以矛盾，第 14 页，共 15 页所以知21=1，前1为等比数列，由数学归纳法知，是等比数列得证，同理，数列恒负，也是等比数列【解析】()由=2 ，即可知道不满足性质2239()对于任意的 i和 j，满足=221，2 ，必存在=2，可得满2足性质；对于任意的 n，欲满足=21=2=221，=2即可，必存在有一组 k，l使使得它成立，故满足性质()先用反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明也是等比数列，即可本题属于新定义题，考查等比数列的性质，数学归纳法等，考查逻辑思维能力，属于难题第 15 页，共 15 页