高三数学数列复习教案.pdf

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1、1 1、等差、等比数列的概念等差、等比数列的概念一、一、考纲要求考纲要求1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。了解通项公式的意义，了解通项公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。二、知识梳理二、知识梳理1 1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数 f(n)数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an，其中 an是数列an的第项2 2数列的通项公式一个数列an的

2、与之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式(n 1)S13、数列an的前n项和Sn与通项an的关系：anS S(n2)n1n二、等差数列与等比数列文字定义符号定义等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。an1an danan1an12an1 q(q 0)anan2 an1an1(an 0)递增数列：a1 0，q 1或a1 0，0 q

3、 1分类递增数列：d 0递减数列：d 0常数数列：d 0递减数列：a1 0，q 1或a1 0，0 q 1摆动数列：q 0常数数列：q 1通an a1(n1)d pnq am(nm)dan a1qn1 amqnm（q 0）项前n项和中项其中p d,q a1dSnn(a1an)n(n1)d na1 pn2qn22dd其中p,q a122a1(1qn)(q 1)Sn1qna(q 1)1a,b,c成等差的充要条件:2b ac等和性：等和性：等差数列an若m n p q则aman apaqa,b,c成等比的必要不充分条件：b2 ac等积性：等积性：等比数列an若m n p q则aman apaq推论：若

4、mn 2p则aman(ap)2主要性质推论：若mn 2p则aman 2apankank 2ana1an a2an1 a3an2即：首尾颠倒相加，则和相等ankank(an)2a1an a2an1 a3an2即：首尾颠倒相乘，则积相等1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等比，1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等差，公差为m2d则公比为qm。2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）3、an,bn等比，则a2n，a2n1，kan也等比

5、。其中k 04、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：an cqn，其中c 其有s3m3(s2msm)它数项的n的二次函数，即：an dnc(d 0)等差数列an的前n项和公式是一个没有常2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）3、an,bn等差，则a2n，a2n1，kanb，panqbn也等差。4、等差数列an的通项公式是n的一次函数，a1q等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：sn cqnc(q 1)5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。性即：Sn An2 Bn(d 0)5、项数为奇数2

6、n1的等差数列有：s奇ns奇s偶 an a中s偶n1s2n1(2n1)an项数为偶数2n的等差数列有：s奇an，s偶s奇 nds偶an1s2n n(anan1)6、an m,am n则amn 0质sn sm则smn 0(n m)sn m,sm n则smn(mn)证明方法设元技巧三、1、课前小题训练在等差数列an中，（1）若a1 2,d 3，则a10_，（2）若证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：an1an d(常数)2、中项法：an1an1 2an(n 2)证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：an1 q(常数)an22、中项法：an1an1（an）(n 2,an 0)三数等差：ad

7、,a,ad四数等差：a3d,ad,ad,a3d三数等比：a,a,aq或a,aq,aq2q23四数等比：a,aq,aq,aq1d ,a78,则a1 _。32、数列an为等比数列，a218,a48,则a5 _。3、等差数列an中，已知a11,a2a5 4,an 33,则n _。34、在等差数列an中，若a3a4a5a6a7 50,则a2a8 _。5、在等比数列an中，若a1a230,a3a4120,则a5a6 _。6、已知an是等比数列且a1,a5是方程x 5x4 0的两个根，则a3 _。2四、例题分析题型一、等差、等比数列的判定1、已知数列an满足下列条件，问数列an能否构成等差数列。（1）an

8、 knb（k,b 为常数）（2）sn为数列an的前 n 项和，sn an2bn（a,b 是常数）。2、已知an、bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列。3、（1）已知数列an的前n项和an2SnSn1 0n 2,又a112求证：1 s是等差数列；n2数列an的前 项和为n，已知nsa11n21,nanns 1求证：数列snn是等比数列。练习：1、已知数列an满足当 n1 时，aan1n114a，且a1n15，为sn，,2,3且n（1）求证：数列 1（2）试问a1,a2是否是数列an中的项，如果是，是为等差数列。an12第几项；如果不是，说明理由。n12、(09 湖北卷理)已知数列an

9、的前 n 项和Sn an()2（n 为正整数）。令bn 2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；解题回顾：判断或证明数列是等差数列的方法有：1定义法：an1an d常数nNan是等差数列2中项公式法：2an1 anan2nNan是等差数列3通向公式法：an knbk,b是常数nNan是等差数列4前n项和公式：sn An2 BnA,B是常数nNan是等差数列判断或证明数列是等比数列的方法a1定义法：n+1 qq是不为0的常数，nNan是等比数列an2通向公式法：an cqnc,q均是不为0的常数，nNan是等比数列3中项公式法：a2n+1 an an+2an an+1 an+2

10、 0，nNan是等比数列4前n项和公式：sna1naq 1 kqnk,q1q1a1k 是不为零的常数，且q 0,q 1an是等比数列q1题型二：等差、等比数列中基本量的计算1、2、（1）在等差数列an中，已知a510,a1231,求数列an的通项公式。已知一个等比数列an中，a1a310,a4a55,求其通项公式及第 4 项。4（2）设各项均为正数的数列an，bn满足5n,5n,5n1成等比数列，lgbn,lg an1,lg bn1成等差数列且a11,b1 2,a23,求证：数列abab为等差数列；求a和b。nnn练习：1、（09 辽宁文）已知an为等差数列，且a72a41,a30,则公差 d

11、_2、（09 安徽文）已知_。为等差数列，则等于3、(09 广东文)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a5，a2=1，则a1=_。4、（09 全国理）设等差数列an的前n项和为Sn，若S9 72,则a2a4a9=。n15.(09 湖北卷理)已知数列an的前 n 项和Sn an()2（n 为正整数）。212（）令bn 2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；6、（09 全国卷理）设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn1 4an2（I）设bn an12an，证明数列bn是等比数列（II）求数列an的通项公式。题型三、等差、等比数列的综合运用题3、有四个数，前三个数

12、成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为21，中间两数的和为 18，求这四个数。xd22xd 21xd解：法 1、可设所求的四个数为,xd,x,xd.由题意，xxd x 18x27x x 1275 45 27 94,或解得：所以所求的四个数为 3，6，12，18；或d 694444d 227x x=3y x18 y4.得或法 2、可设四个数为x,y,18 y,21 x,则218 y y21 xy=6y 4542所以所求的四个数为：3，6，12，18；或75 45 27 9,44442 2、等差、等比数列的求和公式、等差、等比数列的求和公式一、考纲要求：一、考纲要求：掌握等差、等比数列前

13、n 项和的公式。二、知识梳理：见前一节三。、课前小题训练1、（09 湖南卷文）设Sn是等差数列an的前 n 项和，已知a23，a611，则S7等于_。2、（09 江西卷文）公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S832,则S10等于_。3、（09 宁夏海南卷理）等比数列an的前 n 项和为sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=_。4、（09全 国 卷 理）设 等 差 数 列an的 前n项 和 为Sn，若S9 72,则a2a4a9=。5、（09 浙江文）设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类

14、比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，6、（09 宁夏海南卷文）等比数列an的公比q 0,已知a2=1，an2an1 6an，则an的前 4 项和S4=三、例题分析题型一、已知等差、等比数列的前n 项的和，求其基本量1、已知数列an中，an an1m 的值。2、等比数列an中，a1an34,a2an1 64,前 n 项和sn 62，求项数 n 及公比 q 的值。练习：1、（2009 福建卷理）等差数列an的前 n 项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差 d 等于_。2、等差数列an中，若a4a141,则前 17 项的和s17 _。3、已知等差数列共有 40 项，其奇数项的和为

15、 15，偶数项的和为 30，则它的公差 d=_。4、若等比数列an中a11,an 512,前 n 项的和为sn 341，则公比 q=_,项数 n=_。5、（2009 北京文）若数列an满足：a11,an1 2an(nN)，则a5；前 81315n 2,nN,am，前m 项和sm，求a1和222项的和S8_。题型二、已知等差、等比数列的前n 项和，求通项。1、设等比数列an的前 n 项和为sn，s41,s817,求通项公式an2、已知数列an的前 n 项和为sn是关于正整数 n 的二次函数，其图像上三个点 A,B,C 如图所示。（1）求数列an的通项公式，并指出an是否为等差数列，并说明理由。（

16、2）求a3a6a9a33的值。3、已知正项数列an，其前 n 和sn满足10sn an25an6,且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an。练习：1、（2009 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn,若a6 s312,则an.2、（08 宁夏）已知数列an是一个等差数列，且a21，a5 5。（1）求an的通项an；（2）求an前 n 项和Sn的最大值。3、（07 福建）等差数列an的前n项和为Sn，a112，S393 2。（I）求数列an的通项an与前n项和为Sn；Sn（nN*），求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。n4.（2009 江 苏 卷）设an是 公

17、 差 不 为 零 的 等 差 数 列，Sn为 其 前n项 和，满 足（II）设bn（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；a22a32 a42a52,S7 7。（2）试求所有的正整数m，使得amam1为数列an中的项。am2题型三、等差、等比数列和式的混合运用1、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为21，中间两数的和为 18，求这四个数。2、三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的积等于 8，求此三数。3 3、等差、等比数列的求和公式、等差、等比数列的求和公式一、考纲要求一、考纲要求掌握等差、等比数列前掌握等差、等比数列前

18、 n n 项和的公式。项和的公式。二、知识梳理二、知识梳理见前一节见前一节三、课前小题训练三、课前小题训练1、已知数列an是等差数列，a1 4,a3 8,则s8 _。2、在等比数列an中，a1 1,a3 16,则s4 _。3、已知数列an的前 n 项和sn n2n2,则an _。4、在等差数列an中，已知第一项到第十项的和为310,第 11 项到第 20 项的和为 910，则第 21 项到第 30 项的和为_。5、（2009 宁夏海南卷理）等比数列an的前 n 项和为sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=_。6、an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=9

19、9，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是_。三、例题分析题型一、已知等差、等比数列的前n 项和，求其基本量1、已知数列an中，an an11315n 2,nN，am，前 m 项和sm，求a1和222m 的值。2、等比数列an中，a1an34,a2an1 64,前 n 项的和sn，求项数 n 及公比 q 的值。练习：1、（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S832,则S10等于_。.2、（2009 湖南卷文）设Sn是等差数列an的前 n 项和，已知a23，a611，则S7等于_。3、（09 辽宁卷理）设等比数列an的前 n

20、 项和为Sn，若S6S=3，则9=S3S64、一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和奇数项和之比为 32:27,则公差d=_5、在 等差 数列an中，已知s8100,s16392,试求s24（在等 差数列an中，已知sp q,sq pp q,则spq的值为_。6、（2009 辽宁卷文）等比数列an的前 n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列（1）求an的公比 q；（2）求a1a33，求sn题型二、已知等差数列、等比数列的前n 项和，求通项。1、设等比数列an的前 n 项和为sn,s41,s817，求通项公式。2、（2009 福建卷文）等比数列an中，已知a1

21、2,a416（I）求数列an的通项公式；（）若a3,a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn。练习：1、已知等差数列an的前 n 项和sn5n23n，写出它的前 3 项，并求出这个数列的通项公式。2、在等比数列an中，（1）已知a13,q 2，求a6(2)已知a3 20,a6160，求an题型三、等差、等比数列的和式的混合运用1、设数列an是首项为a1，公比为 q 的等比数列，它的前 n 项的和为sn，数列sn能否成等差数列，若能，求出数列sn的前 n 项和Tn，若不能，说明理由。2 2：已知an是等差数列，其中a1 31，公差d 8。（1）求数列a

22、n的通项公式；（2）数列an从哪一项开始小于 0？（3）求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值变变 1 1、已知、已知an是各项不为零的等差数列，其中a1 0，公差d 0，若S10 0,求数列an前n项和的最大值变变 2 2、在等差数列an中，a1 25，S17 S9，求Sn的最大值变变 3 3、在等差数列an中，a1 3,11a55a8，求前 n 项和sn的最小值3、设sn是首项为 4，公差 d0 的等差数列an的前 n 项的和，若s3和问 n 为何值时sn最大。课后练习;1、在等差数列an中，（1）已知a4a141，求此数列前 17 项的和（2）已知1311s4的等比中项为s5，45

23、a11 20，求此数列前 21 项的和(3)已知该数列前 11 项的和s11 66，求第 6 项2、（江西卷 19）数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且a13,b11，数列ban是公比为 64 的等比数列，b2S2 64.（1）求an,bn；4 4、数列的通项、数列的通项(n 1)S1题型 1、利用an求通项S S(n 2)n1n1：、设数列an的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列an的通项公式；2、（2005 北京卷）数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an1a2，a3，a4的值及数列an的通项公式3 3、（2005 山东卷）已知数列an的首

24、项a15,前n项和为Sn，且Sn1 2Snn5(nN)*，证明数列an1是等比数列练习：（2009 浙江文）（本题满分 14 分）设Sn为数列an的前n项和，Sn kn2n，nN，其中k是常数（I）求a1及an；（II）若对于任意的mN，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值题型 2、an1 an fn方法：利用叠加法，*1Sn，n=1，2，3，求3a2 a1 f1,a3 a2 f2,an an1 fn1,an a1fk.k1n1例1、已知数列an中a11,an1 an3n1,求an1a 1,a aa n 2，求数列an的通项。nn12例2、数列n满足1n n数列an求数列anna n1an

25、1,且a11，例 3、满足n1的通项。练习：1、已知数列an中a11,an1 an 2n nN求通项公式。2、在数列an中，a1 2,an1 anln11，则an _。n题型2、an1 anfn方法：利用迭代法a2 a1f1,a3 a2f2,an an1fn1,an a1fk.k1n11、已知数列an中a11,an1nannN求通项公式。n12、已知数列an中a1 2,前 n 项和为sn，若sn n2an,求an1 例3、数列an中，a1 2，且an an112,求数列an的通项。nn练习：1、已知数列an中a11,an1 2 annN求通项公式。2、已知数列an中a11,an1 nannN求

26、通项公式。题型3、an1 panq,其中p,q为常数，且p 1，q 0方法：待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an1 panp1 q,qp1q 从而an是一个公比为p的等比数列。p1例4、数列an满足a11，an1解：因为11an1，求an。21 2，所以an2是一个公比为 的等比数列，1212n1n1 1 1则an2 a12,则an2 a12,22 1故an 2。2练习、已知数列an中a11,an1 2an1 n N求通项公式。n1题型 4、形如an1an的数列求通项问题，一般用取倒数的方法求解an2annN求通项公式。an21、已知数列an中a11,an12、已知数列an中a11,

27、an1annN求通项公式。nan1an1anfnnn1。n1ppp题型5、an1 pan fn，这里p为常数，且p 1方法：上式两边同时除以pn1,则令fnan b，有b b，既为类型1，用叠加法解决。nn1nnn1pp例7、数列an中，a11,an1 3an2n2,求an。an1an2n2n1，3n13n3an2n2令bnn,bn1 bnn1,利用叠加法及错位相减法的数列求和易得333n1ann.22解：两边同除以3n1,得（2009 四川卷文）（本小题满分 14 分）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn4an(nN*)。1an（I）求数列an与数列bn

28、的通项公式；5 5、数列的求和、数列的求和一、考纲要求1能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；2熟记一些常用的数列的和的公式二、知识梳理（1）直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1 和 q1 的讨论。（2）倒序相加法：如果一个数列an与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。（3）错位相减法：如果一个数列的各组是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部

29、分，使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法。（5）裂项相消法：把数列的通项拆分成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆分成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法（6）公式法求和：所给数列的通项是关于n 的多项式，此时求和可采用公式法求和。三、课前小题训练1、写出等差数列an前 n 项和的公式Sn推导的过程：sn a1a2a3an a1a1d a1n1d,sn anan1a1 anandan2d ann1d,两式相加，得2sn na1an,故sn这种求和的方法称为倒序相加法。2、写出等比数列an的前n项和的公式sn的

30、推导过程：sn a1a2a3an a1a1qa1q2a1qn1,两边同时乘以q,则qsn a1qa1q2a1q3a1qn,两式相减，得1-qsn a1a1qn。当q 1,sna11qn1qna1an.2这种求和的方法称为错位相减法。13、求数列的前n项和sn可用下述方法：n n11111sn122334nn11 1n111111 11n1n1122334nn1这种求和的方法叫做裂项求和法，请你再写出几个能用这种方法求和的数列，并求出它的和。1111111111113352n12n12n12n12133511n1;22n12n12an是非常数等差数列，求和111a1a2a2a3anan+11 1

31、11111 da1a2a2a3anan11 11 nda1an1a1an+14、已知数列an的通项公式an 2n1n N,其前 n 项的和为sn，则数列sn的前 10n项的和为_。5、已知数列an是首项为 a,公比为 q 的等比数列，则数列anan1的前 n 项和Tn_。6、在数列an中，a11,a2 23,a3 456,a4 78910，则a10 _。7、数列1,12,1222,122223,1222232n1,的前 n 项的和是_。2n2242 _。8、sn1 3352n12n1四、例题分析题型一、分组求和法例 1求下列数列的前n项和Sn：（1）5，55，555，5555，(10 1)，；

32、259n6n5(n为奇数)（2）已知数列an的通项ann，求其前n项和Sn(n为偶数)2n（3）在数列an中，an 2n1，求s10和s99练习：1、等比数列的首项为a，公比为 q，Sn为前 n 项和，求Tn S1S2S3Sn。2、求数列1,4,7题型二、错位相减法13161,前 10 项和。121、设数列an是一个公差不为 0 的等差数列，它的前10 项的和s10110,且a1,a2,a4成等比数列。（1）求数列an的通项公式。（2）设bn n2n，求数列bn的前 n 项的和Tn。a2、(2009 山东卷文)等比数列an的前 n 项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)，均在函数y bx

33、r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记bn练习：1、求和:sn12x3x2nxn12、（2009 全国卷理）在数列an中，a11,an1(1)an（I）设bn题型三、裂项相消法1、n1(nN)求数列bn的前n项和Tn4an1nn1n2an，求数列bn的通项公式（II）求数列an的前n项和Snn1111,；13 24 35n(n2)2 a 12、设正项数列an的前 n 项和Sn满足snn（1）求出通项公式。，2（2）设bn1,记数列bn的前n项和为Tn求Tnanan1练习、（1）已知数列an的通项公式为an1，求数列前 n 项和。nn11n n1，求数列前 n 项和。（2）已知数列an的通项公式为an题型四、倒序相加法求和1、设函数y fx的定义域为 R,其图像关于点常数且 n2，nN）k 1,2,3,n1,1 1 k（n 是,成中心对称，令ak f，2 2n求数列ak的前n1项的和。2、设fx1利用推导等差数列前 n 项和公式的方法，求x2 2f5 f4 f0 f5 f6的值。