春季高考数学试题.pdf

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1、一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分）分）1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算_【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解

2、，属于基础题.4.函数【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.【详解】当又，时，即的反函数为_反函数为：【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设 为虚数单位，【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由【详解】由，得本题正确结果：，结合复数模的计算公式求解即可，即，则的值为_【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题6.已知【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又，当方程有无穷多解时，的值为_.本题正确结

3、果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.的二项展开式中，常数项的值为_【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出，又.中，且，则_【详解】由正弦定理可知：由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1

4、 天，则不同的安排方法有_种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续 天的情况共有 种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在 天里，连续 天的情况，一共有 种剩下的 人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形点，当，其中，函数交于点，函数交于最小时，则 的值为_【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到到取最值时的条件【详解】依题意得：则当且仅当本题正确结果：即两点坐标，从而表示出，求解得到结果.，时取等号，故，利用基本不等式得到最值，从而得【点睛】本题

5、考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与 关于 轴对称，若有，则与的夹角范围为_【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和为：【详解】由题意：设与，因为结合，得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值的范围，从而得到角的范围.；利用的范围得到，则，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合的值是_【答案】1 或【解析】【分析】根据 所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集

6、合 的上，存在正数，使得对任意，都有，则下限，得到 与 的等量关系，从而构造出方程，求得 的值.【详解】，则只需考虑下列三种情况：当时，又且可得：当当即即时，与构造方程相同，即时，不合题意，舍去可得：且综上所述：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过 的不同取值范围，得到 与 所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于 的等量关系，从而构造出关于 的方程；难点在于能够准确地对 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.下列函

7、数中，值域为A.B.的是（）C.D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：选项：值域为值域为，正确，错误选项：选项：值域为，错误值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件A.充分非必要条件C.充要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数【详解】设的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当当可知“时，可得”是“，即，即时，”的充要条件本题正确

8、选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A.两两垂直【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得 与交线相交或异面，由此不可能存在B.两两平行C.两两相交D.两两异面，可得正确结果.【详解】设假设：又又，由，可知，可得：，且 与均不重合，可得：，因为两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面若 与 或 重合，同理可得 与 相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之

9、间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，则点A.直线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到理出【详解】因为同理：又因为则，所以，即，从而得到点的轨迹.和；根据整，与 轴正半轴分别交于，且满足的轨迹是（）B.圆C.椭圆D.双曲线设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分）分）17.如图，在正三棱锥（1）若（2）求的中点为，中，

10、的中点为，求与的夹角；的体积.【答案】（1）【解析】【分析】（1）由中位线可知得到；（2），从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而，再根据棱锥体积公的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高式求得结果.【详解】（1）与在分别为与中点，可知：夹角夹角即为中，由余弦定理可得：即与的夹角为面，连接，如下图所示：（2）作三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列（1）若（2）若，前 项和为.，求；，求公比 的取值范围.；为等差数列

11、，且为等比数列，且；（2）【答案】（1）【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据从而得到不等式【详解】（1）由，解不等式得到结果.且（2）由题意可知则又或且可得且，【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等式得到结果.19.已知抛物线方程义：（1）当.时，求；，判断与的关系.为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定（2）证明：存在常数，使得（3）为抛物线准线上三点，且【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出

12、 点坐标，然后得到方程，与抛物线联立后得到和，从而求得；（2）通过假设 点坐标得到直线可知为，代入，整理得到结果；（3）由中点，假设三点坐标，代入通过平方运算可得到【详解】由题意可知：（1）因为，准线方程为：，将式子整理为和的形式，然后，从而得到结论：.联立方程则（2）当设联立，时，易得，直线，则由对称性可知综上所述，存在亦成立，使得（3）由设可知为中点，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：三角形两边之和大于第三边，可知生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列（1）若（

13、2）若的公差，求集合；，求 使得集合 恰好有两个元素；，是不超过 7 的正整数，求 的所有可能的值.或；（3），数列满足，集合.为的中线，则由；明确本质之后即明确了证明方向，对于学（3）若集合 恰好有三个元素：【答案】（1）【解析】【分析】；（2）（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列可知或者周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，的情况，当时，求解得到 的取值；（3）依次讨论时，对于均可得到符合题意的集合；当过讨论可知【详解】（1），.，均无法得到符合题意的集合，从而通，由周期性可知，以 为周期进行循环（2），恰好有两个元素即或或，符合题意；的等差数列，故，符合条件或（3）由 恰好有 个元

14、素可知：当当时，时，或因为又当为公差，故，集合，时，如图取当时，或，的等差数列，故，因为又当为公差，故时，如图取，符合条件当时，或，的等差数列，故时，因为又当为公差，故时，如图取，符合条件当时，或，的等差数列，故因为又当即当即为公差，故时，因为对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，,不符合条件；，时，因为对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，不是整数，故不符合条件；，当或若若故综上：时，因为对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即不符合条件；，不是整数，不是整数，【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到 的取值，再根据集合 的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.