高中数学不等式归纳讲解.pdf

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1、第三章第三章 不等式不等式定义：定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-13-1 不等式的最基本性质不等式的最基本性质对称性：对称性：如果 xy，那么 yx；如果 yx，那么 xy；传递性：传递性：如果 xy，yz；那么 xz；加法性质；加法性质；如果 xy，而 z 为任意实数，那么 xzyz；乘法性质：乘法性质：如果 xy，z0，那么 xzyz；如果 xy，z0，那么 xzyz;（符号法则）3-23-2不等式的同解原理不等式的同解原理不等式 F（x）G（x）与不等式G（x）F（x）同解。如果不等式 F（x）G（x）的定义域被解析式 H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）G（x）

2、与不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式 F（x）G（x）的定义域被解析式 H（x）的定义域所包含，并且H（x）0，那么不等式 F(x)G（x）与不等式 H（x）F（x）H（x）G（x）同解；如果 H（x）0，那么不等式 F（x）G（x）与不等式 H(x)F（x）H（x）G（x）同解。不等式 F（x）G（x）0 与不等式不等式解集表示方式F(x)0 的解集为 x 大于大的或 x 小于小的F(x)2x；(2)|x22x6|3x形如|f(x)|g(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)3 3、

3、两个绝对值不等式、两个绝对值不等式解不等式（1）|x1|5.形如|f(x)|g(x)|型不等式1 1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|f(x)|g(x)|f2(x)g2(x)f(x)g(x)f(x)g(x)02 2）所谓零点分段法）所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，xn分别使含有|xx1|，|xx2|，|xxn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，xn为相应绝对值的零点，零点x1，x2，xn将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为

4、讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题不等式例题不等式|x+3|-|2x-1|x+3|-|2x-1|x+1+1 的解集为的解集为。2解：解：14 x(x)21|x+3|-|2x-1|=|x+3|-|2x-1|=4x 2(3 x)2x 4(x 3)4 4、含参数绝对值不等式、含参数绝对值不等式解关于x的不等式x24mx4m2 m3解题解题原不等式等价于|x 2m|m 3当m3 0即m 3时，x 2m m 3或x 2m (m 3)x 3m3或

5、x m3当m3 0即m 3时，|x 6|0 x6当m3 0即m 3时，xR方法归纳：方法归纳：形如|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：当a0 时，|f(x)|aaf(x)af(x)a或f(x)a；当a=0 时，|f(x)|af(x)0当a0 时，|f(x)|af(x)有意义。4 4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x4|+|3x|0 时，先求不等式|x4|+|3x|a有解时a的取值范围。令x4=0 得x=4，令 3x=0 得x=3 当x4 时，原不等式化为x4+x3a，即 2x71 4 x

6、22x7 a 当 3x4 时，原不等式化为 4x+x31 当x3 时，原不等式化为 4x+3xa即 72x12272x a综合可知，当a1 时，原不等式有解，从而当 01 时，|x4|+|3x|x4|+|3x|x4+3x|=1当a1 时，|x4|+|3x|a有解从而当a1 时，原不等式解集为空集。方法总结：方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）fx a有解a fxmin；fx a解集为空集 a fxmin；这两者互补。fx a恒成立 a fxmax。fx a有 解a fxmin；fx a解 集 为 空 集 a fxmin；这两者互补。fx a恒成立 a fxmax。fx a有

7、 解 a fxmax；fx a解 集 为 空 集 a fxmax；这两者互补。fx a恒成立 a fxmin。fx a有 解 a fxmax；fx a解 集 为 空 集 a fxmax；这两者互补。fx a恒成立 a fxmin。6 6、绝对值三参数不等式问题、绝对值三参数不等式问题2f(x)ax bx c(a,b,c R)，当x1,1时|f(x)|1，求证：已知函数(1)|b|1；(2)若g(x)bx2 ax c(a,b,c R)，则当x1,1时，求证：|g(x)|2。思路思路本题中所给条件并不足以确定参数 a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是b或g(x)的确定值，而是与条件相对

8、应的“取值范围”，因此，我们可以用f1、f(0)、f1来表示a,b,c。因为由已知条件得|f(1)|1，|f(0)|1，|f(1)|1。解题解题证明：(1)由f1 a bc,f1 a bc b 1f1 f1，2从而有11|b|f(1)f(1)(|f(1)|f(1)|),|f(1)|1,|f(1)|1,221|b|(|f(1)|f(1)|)1.2(2)由f1 a bc,f1 a bc b 1 f1 f1,a c 1f1 f1,c f(0),22从而1a f1 f1 f(0)2将 以 上 三 式 代 入g(x)bx2 ax c(a,b,c R)，并 整 理 得|g(x)|f(0)(x21)11f(

9、1)(x 1)f(1)(1 x)|2211|f(0)(x21)|f(1)(x 1)|f(1)(1 x)|2211|f(0)|x21|f(1)|x 1|f(1)|1 x|221111|x21|x 1|1 x|1 x2(x 1)(1 x)2 x22222 2收获收获1 1）二次函数的一般式y ax2bx c(c 0)中有三个参数a,b,c.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.2）本题变形技巧性强，同时运用公式|ab|a|b|，|ab|a|b|及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。例题 2已知函数 f(x)=|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要证|考察

10、左边，是否能产生|a-b|。1 a21b2|a b|，1 a 1 b|221 x2，a,bR，且a b，求证证明：|f(a)-f(b)|=|（11 a21 b2|a2b2|1 a2 1 b2|a b|a b|a|b|a|b|a b|a b|a|b|其中1 a2a2|a|，同理1b2|b|,1）|a|b|回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数y y2 x2 11 x2是双曲线，的上支，而|y1 y2f(

11、a)f(b)，则表示该图象上任|（即|）x1 x2a b意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a 的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a 有解，求 a 的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为 R）2x 2(x 3)当然可以用|x-3|+|x+1|=4(1 x 3)这种“去绝对值”的方法2 2x(x 1)来解，但我们考虑到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4这样

12、|x-3|+|x+1|4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。3已知 f(x)的定义域为0,1，且 f(0)=f(1)，如果对于任意不同的 x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|12分析：题设中没有给出 f(x)的解析式，这给我们分析 f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有 f(0)=f(1)，与|f(x1)-f(x2)|x1-x2|两

13、个。首先，若|x1-x2|f(x1)-f(x2)|1成立。212，那么必有|f(x1)-f(x2)|1呢？考虑到 0|x1-x2|1，则 1-|x1-x2|1，看来22要证明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|1成立！2证明：不妨设 x1x2，则 0 x1x21（1）当|x1-x2|f(x1)-f(x2)|1成立。212时，则 有|f(x1)-f(x2)|1时，即 x2-x11时，0 x2-x1122必有 1-|x1-x2|1即 1-x2+x1122也可写成|1-x2|+|x1|1(*)2另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f

14、(x2)|+|f(x1)-f(0)|1-x2|+|x1-0|则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|1成立2综上所述，当 x1,x20,1时都有|f(x1)-f(x2)|1成立。2已知二次函数f(x)ax2bx c，当1 x 1时，有1 f(x)1，求证：当2 x 2时，有 7 f(x)7.分析：研究f(x)的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f(1)，f(1)，f(0)，这样做的好处有两个：一是a,b,c的表达较为简洁，二是由于1和0正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制

15、二次函数范围的目的.要考虑fx在区间7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑fx在区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知：f(1)a b c,f(0)c,f(1)a b c，12 x2 x x2 x22f(x)ax bx c f(1).f(1)f(0)1 x22a(f(1)f(1)2 f(0),b(f(1)f(1),c f(0)，12由1 x 1时，有1 f(x)1，可得f(1)1,f11,f01.f(2)3f1 f13f0 3 f1 f(1)3 f(0)7,f(2)f13f13f0 f13 f(1)3 f(0)7.b（1）若2,2，则fx在 2,2上单调，故当x 2,2时，2a

16、f(x)max max(f(2),f(2)此时问题获证.b（2）若2,2，则当2ab f(x)max max(f(2),f(2),f)2ax 2,2时，又b2bbbf(1)f(1)11b f c c f01 2 2 72a4a2a22a44，此时问题获证.综上可知：当2 x 2时，有 7 f(x)7.评析：评析：因为二次函数f(x)ax2bx ca 0在区间(,b和区间2ab,)上分别单调，所以函数fx在闭区间上的最大值、最小值2a必在区间端点或顶点处取得；函数f(x)在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.7 7、绝对值不等式与其它知识的横向联系绝对值不等式与其它知识的横向联系已知c 0

17、.设P:函数y cx在 R R 上单调递减.Q:不等式x|x 2c|1的解集为 R R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.思路思路此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解题解题:函数y cx在 R R 上单调递减 0 c 1，不等式x|x 2c|1的解集为 R R函数y x|x 2c|在 R R 上恒大于 1，x 2c，2x 2c，x|x 2c|2c，x 2c，函数y x|x 2c|在 R R 上的最小值为2c，不等式x|x 2c|1的解集为 R R2c 1，即c，若P正确，且Q不正确，则0 c；若Q正确，且P不正确，则c 1；).所以c的取值范围为(0，1，121212收获收获