人教版高中数学必修四知识点归纳总结.docx.pdf

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1、人教版高中数学必修四知识点归纳总结1.1 1 任意角1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：始边B终边角的分类：O顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角A注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“”可以简化成“”；零角的终边与始边重合，如果 是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角1.1.2 弧度制（一）1定义我们规定,长

2、度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下,1 弧度记做 1rad 在实际运算中，常常将 rad 单位省略弧度制的性质：半圆所对的圆心角为rr;整圆所对的圆心角为2rr2 .正角的弧度数是一个正数零角的弧度数是零4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：360负角的弧度数是一个负数角 的弧度数的绝对值|=.lr2；180；10.01745rad；nnrad 18018057.30 57 18；n将弧度化为角度：2360；180；1rad(180)180n()5常规写法：用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角0304

3、56090的形式,不必写成小数120135150180270 360度弧2350度64323467弧长公式lrlr322弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积4-1.2.1任意角的三角函数（三）1.三角函数的定义2.诱导公式sin(2kcos(2ktan(2k)sin(kZ)cos(k)tan(kZ)Z)当角的终边上一点的坐标满足x2y21时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点

4、 O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P(x,y)，过 P 作x轴的垂线，垂足为 M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点 T.P(x,y)yPMyPTAAoxoMxTy（）TMy（）AoMAxoPxP T由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段sin（）（）OM x,MPxOM，tanyry1y MP，cosxrx1y，于是有yMPxOMATOAAT我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。说明：轴的垂直线段；余弦线在（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到xx轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上

5、，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与 的终边的交点。x（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向yxy的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4-1.2.1任意角的三角函数（1三角函数定义在直角坐标系中，设 是一个任意角，终边上任意一点它与原点的距离为 r(r|x|21）P（除了原点）的坐标为(x,y)，（1）比值叫做 的正弦，记作 sin，即 sin（2）比值叫做 的余弦，记作cos，即 cos（3）比值叫

6、做 的正切，记作 tan，即 tan（4）比值叫做 的余切，记作 cot，即 cotyyxyx|y|2x2y20)，那么y；rx；rrxry；xx；y说明：的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明 一定是正角或负角，以及 的大小，只表明与 的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点 P(x,y)在 的终边上的位置的改变而改变大小；当k(k2Z)时，的终边y 轴上，终边上任意一点的横坐标在所以tany无意义；同理当x，x都等于0k(kZ)时，cotx无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值y、xr、yyx分别是一个确定的实数，rxy正弦、余弦、正切、余切是

7、以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域函数定 义域值域ysinRR|2 1,1 1,1yycostank ,k ZR注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)是任意角，射线 OP 是角 的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样 .(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的

8、性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐x 轴的非负半轴重合，利用我们熟标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与悉的锐角三角函数类比记忆 .3例题分析例 1求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）0；解：（1）因为当（2）；0 时，x（3）32r，y0，所以sin00，（

9、2）因为当sin0，（3）因为当3cos01，时，xr，y，cos1tan0 0，0，所以tan0，cot0 不存在。cot不存在，时，x0，yr，所以21，sin 32cos 320，tan 3不存在，2cot320，P(2,3)，求 的四个函数例 2已知角 的终边经过点 值。解：因为 x 2,ysin3，所以 r22(3)213，于是yryx3133；313；13cosxrxyx213213；13tancot223a,y2a例 3已知角 的终边过点(a,2 a)(a0)，求 的四个三角函数值。解：因为过点(a,2 a)(a0)，所以 r当5|a|，cosa0 时，sinyryr2a5|a|

10、2a5|a|2a2 5xra5a5a5；tan2;cot1；;sec5;csc5a2a5a552当a时，0sin2 5；5a；;secxatan2;cot5a52r4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：cos15;csc52正弦值对于第一、二象限为正（yryx0,r0），对于第三、四象限为负（y0,r0）；余弦值对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、三象限为负（xr0,r 0）；正切值yx对于第一、三象限为正（x,y 同号），对于第二、四象限为负（x,y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：

11、终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(cos(tan(2k2k2k)sin，)cos，其中 k Z)tan，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02 间角的三角函数值问题4-1.2.2同角三角函数的基本关系（一）同角三角函数的基本关系式：1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：tansincon（2）平方关系：sin2con21说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如 sin2 4 cos2 4注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot1(1等；k,kZ)；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）2，如：cos

12、1 sin2，sin21cos2，cossintan等。总结：1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2.解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，1 3 诱导公式1

13、、诱导公式（五）2、诱导公式（六）sin(2)coscos(2)sinsin()cos2总结为一句话：函数正变余，符号看象限小结：三角函数的简化过程图：任意负角的三角函数公式一或三cos(2)sin任意正角的三角函数公式一或二或四003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值三角函数的 化 程口：化正，正化小，化到 角就行了.1.4.1 正弦、余弦函数的图象1、用 位 中的正弦、余弦 作正弦函数、余弦函数的 象（几何法）：了作三角函数的 象，三角函数的自 量要用弧度制来度量，使自 量与函数 都 数（1）函数 y=sinx 的 象第一步：在直角坐 系的 x 上任取一点O1，以O1心作

14、 位，从 个 与 x 的交点 A 起把 分成n(里 n=12)等份.把 x 上从 0 到 2 一段分成 n(里 n=12)等份（.：取自 量 x 弧度制下角与 数的）.，,，2 的正弦 正弦（等价于“列632第二步：在 位 中画出 于角0,表”）.把角 x 的正弦 向右平行移，使得正弦 的起点与x 上相 的点 x 重合，正弦 的 点就是正弦函数 象上的点（等价于“描点”）.第三步：.用光滑曲 把 些正弦 的 点 起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2 的 象根据 相同的同名三角函数 相等，把上述 象沿着 x 向右和向左 地平行移，每次移 的距离2，就得到 y=sinx，xR 的 象.把角

15、x(x R)的正弦 平行移，使得正弦 的起点与 x 上相 的点 x 重合，正弦 的 点的 迹就是正弦函数 y=sinx 的 象.（2）余弦函数 y=cosx 的 象根据 公式 cos x sin(x),可以把正弦函数 y=sinx 的 象向左平移22位即得余弦函数 y=cosx 的 象.y1y=sinx23456x-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2-1y=cosx23456 x正弦函数 y=sinx 的 象和余弦函数y=cosx 的 象分 叫做正弦曲 和余弦曲 2用五点法作正弦函数和余弦函数的（描点法）：正弦函数 y=sinx，x0，2 的 象中，五个关 点是：(0,0)(2

16、,1)(,0)(3,-1)(2,0)余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关 是哪几个？(0,1)(2,0)(,-1)(322,0)(2,1)1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)1周期函数定：于函数 f(x)个，都有：f(x+T)=f(x)的周期。：（1）于函数yT，使得当 x 取定 域内的每一，如果存在一个非零常数那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做 个函数R 有sin x，xsin(26)sin，能否362是它的周期？3（2）正弦函数y sin x，xR 是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，k Z 且 k0）Z*也是 f(x)的周期？什么？（3）若函数f(x)

17、的周期 T，kT，k（是，其原因：f(x)kT)）f(xT)f(x2T)Lf(x2、明：1 周期函数 x 定 域 M，必有 x+TM,且若 T0 定 域无上界；T0 定 域无下界；2“每一个”只要有一个反例，f(x)就不 周期函数（如 f(x0+t)f(x0)）3 T 往往是多 的（如 y=sinx 2,4,-2,-4,都是周期）周期 T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx,y=cosx 的最小正周期 2（一般称 周期）从 象上可以看出 y sin x，x判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？明：（1）一般：函数y A sin(常数，且 A 0，

18、（2）若R；ycos x，x R 的最小正周期 2（f(x)c没有最小正周期）)，x R（其中A,；x)及函数 yA cos(x20）的周期T3cos(x)；y；0，如：ysin(2x)；y2sin(x21)，x R 62|三个函数的周期又是什么？一般：函数 y Asin(x)及函数 yAcos(x)，xR 的周期T1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)1.奇偶性(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。(2)正弦函数的图形2.单调性从 ysinx，x,的图象上可看出：223当 x2，时，曲线逐渐上升，sinx 的值由 1 增大到 1.2时，曲线逐渐下降，sinx 的

19、值由 1 减小到 1.当 x322结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间22k，2k(k Z)上都是增函数，其值从 1 增大2到 1；在每一个闭区间22k，2k(k Z)上都是减函数，其值从1 减小到 1.23余弦函数在每一个闭区间(2k 1)，2k(k Z)上都是增函数，其值从 1 增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k 1)(k Z)上都是减函数，其值从 1 减小到 1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为 x=kkZ2y=cosx的对称轴为 x=kk Z1.4.3 正切函数的性质与图象1正切函数 ytan x 的定义域x|x2k,kz2正切函数是周期函

20、数Q tan xtan xxR,且 xk2,kz，是 ytan xxR,且 xk2,kz的一个周期。是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。3作 ytan x，x,22的图象说明：（1）正切函数的最小正周期能比小，正切函数的最小正周期；不是（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytan xxR，且 x2kkz的图象，称“正切曲线”。y3O203xx222（3）正切曲线是由被相互平行的直线x k2k ,k2kz，xkZ所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质（1）定义域：x|xz；（2）值域：R 观察：当x从小于kk2时，tan xk时，tan x2

21、2k k2当 x从大于z，x。（3）周期性：T（4）奇偶性：由；tanxtan xk ,2知，正切函数是奇函数；kk（5）单调性：在开区间z内，函数单调递增。21.5 函数 y=Asin(x+)的图象（二）二、函数 yA sin(x)，x 0,)(其中 A0,0)的物理意义：函数表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T：Tf：f2.往复振动一次所需的时间，称为“周期”.次数，称为“频率”.y1单位时间内往返振动的2T2x:称为“相位”.1:x=0 时的相位，称为“初相”.o83887x2.1.12向量的物理背景与概念及向量的几何表示（一）向量的概念：我们把既有大

22、小又有方向的量叫向量。1、数量与向量的区别：aB（终点）数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 .2.向量的表示方法：用有向线段表示；A(起点)用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量 AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向

23、量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写区别.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小5、平行向量定义：.方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义（2）向量、平行，记作.2.1.21、相等向量定义：相等向量与共线向量.长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量

24、就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.2.2.1向量的加法运算及其几何意义.、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点 A，作 AB a，BC，则向量AC叫做 a与的和，记作 a，即 a AB BCAC，a规定：a+0-=0+aaCbaba+bAaa+bB（1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量a与 b不共线时：当向量a与 b不共线时，a+b的方向

25、不同向，且|a+b|b|，则 a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|0，(a)b=|a|b|cos，(a b)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若 0，(a)b =|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(a b)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos .3分配律：(a+b)c=a c+bc在平面内取一点 O，作OA=a，AB=b，OC=c，a+b（即 OB）在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos

26、=|c|a|cos1+|c|b|cos2，c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=a c+bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a bx1 x2y1 y22.平面内两点间的距离公式（1）设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2 .（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式 )3向量垂直的判定设a(x1,y1)，b (x

27、2,y2)，则 a b4两向量夹角的余弦（0）cos=a bx1 x2y1 y2|a|b|x12y12x22y222.5.1 平面几何中的向量方法运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；x1 x2(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系 .3.1.1两角差的余弦公式两角差的余弦公式：cos()cos cossin sin3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式sincos2coscos2cossin22sinsincoscossinsint

28、ansinsincossin cossincoscossincoscoscossinsincossinsincos sintantantantantantan1 tan tancos1 tantan（分式分子、分母同时除以 cos，得到 tantan1 tantantan注意：k,k,22k()2)将 S()、C(、T()称为和角公式，S()、C()、T()称为差角公式。3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式公式推导：sin2sinsincoscoscoscossinsinsin2sincos；cos2cos2cossin2；变形：cos2cos2sin21sin2sin212sin2；cos

29、2cos2sin2cos2tantan(1 cos2 )2cos22 tan1 tan21tan 2tan1 tantan注意：22k ,2kkz3.2 简单的三角恒等变换（一）代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点sincos12sinsin；sinsin2 sin2cos23.2 简单的三角恒等变换（二）(1)二倍角公式：sin 22 sincos ,cos2sin22tan1 tan212cos2,2sin2.cos22cos21 1 sin2 ,tan2(2)二倍角变式：2 cos21cos2(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等