高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理.pdf

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1、高中数学高考总复习高中数学高考总复习-排列组合、二项式定理知识讲解排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理及考点梳理【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的

2、计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关

3、的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式mAn排列数公式：nAnn!n(n 1)(n m1)(n m)!(mn)=n!=n(n1)(n2)21.mCn组合数公式：组合数性质：n!n(n 1)(n m 1)m!(n m)!m(m1)21(mn).012nnC C C C 2nnnn(mn).mnmCn Cn02413n1C C C C C 2nnnnn4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意

4、先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；1（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理0(a+b)n=Cn1an+Cnran1b+Cnnanrbr+Cnbn，其中各项系数就是组合数rCn，展开式共有 n+1 项，第 r+1 项是rT

5、r+1=Cnanrbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第 r+1 项rTr+1=Cnanrbr(r=0,1,n)叫做二项展开式的通项公式。3、二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即rCnnr=Cn(r=0,1,2,n).nnn 112若 n 是偶数，则中间项(第2项)的二项公式系数最大，其值为 Cn；若 n 是奇数，则中间两项(第2n1n1n 322nn2项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C=C.所有二项式系数和等于2n，即0Cn1+Cn2Cnn+Cn=2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即0Cn2+Cn1+=Cn3+Cn

6、+=2n1.4、二项式定理解题：四大热点，四条规律：（1）四大热点：通项运用型；系数配对型；系数和差型；综合应用型.（2）四条规律：常规问题通项分析法；系数和差赋值法；近似问题截项法；整除（或余数）问题展开法.【典型例题】类型一、分类计数原理与分步计数原理【例 1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【思路点拨】颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法【解析】如图所示，将 4 个小方格依次编号为1,2,3,

7、4，第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法当第 2、第 3 个小方格涂不同颜色时，有2A412(种)不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种241不同的涂法由分步计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第 2 个、第3 个小方格涂相同颜色时，有4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第43个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步计数原理可知，有54480(种)不同涂法由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法2【总结升华】涂色问题的解决方法(1)涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其

8、难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理”计算(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类，如果使用2 种颜色，则只能是第 1,4 涂一种、第 2,3 涂22C A52一种，方法数是20；若是使用 3 种颜色，若第 1,2,3 方格不同色，第 4 个方格只能和第 1 个方格33C A相同，方法数是5360，如果第 1,2,3 方格只用两种颜色，则第 4 个方格只能用第 3 种颜色，方法数344CC A554是3260；如果使用 4 种颜色，方法数是120.根据加法原理总的涂法种数是260.举一反三：【变式】1某次活动中，有30 个人排成 6 行 5

9、列，现要从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3 人任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)【答案】7 200【解析】其中最先选出的一个有 30 种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5 行 4 列的队形，选第二个人有 20 种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4 行 3 列的队形，此时第三个人的选法有 12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.【例 2】若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种B63 种C65 种D66 种【思路点拨】分情况讨论：四数和为偶数其

10、中奇数的个数只能是偶数个(结论)分类选取，根据分类加法计数原理求之；【答案】D【解析】要使所取出的4 个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，9 这 9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有三类：4 个都是偶数：1 种；22C C460 种；52 个偶数，2 个奇数：4C54 个都是奇数：5 种不同的取法共有66 种【总结升华】两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问题中一般是先根据不同情况进行分类，然后对于每一类的计数问题再分步完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数目，最后使用分类

11、加法计数原理得到结果举一反三：【变式】在小语种提前招生考试中，某学校获得 5 个推荐名额，其中俄语 2 名，日语 2 名，西班牙语 1 名 并且日语和俄语都要求必须有男生参加学校通过选拔定下3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A20 种B22 种C24 种D26 种【答案】C【解析】三个男生每个语种各推荐一人共有22C32A2A232A3A2种推荐方法，三个男生只参加日语和俄语推荐共有24(种)，选 C.种推荐方法，总的推荐方法共有32A3A222C32A2A2【例 3】某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为 3 个单位)的顶点A 处

12、，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i1,2，36)，则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有()A22 种B24 种C25 种D36 种【思路点拨】掷三次骰子，点数最多为 18，因此回到点 A 处只能是一次，而不能是回到点 A 后再次回到点 A.由于正方形的周长为12，即说明三次掷的骰子点数之和为12，设三次点数分别为a，b，c，即方程 abc12 的满足 1a，b，c6 的解的组数即为所求的走法我们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况【答案】C【解析】根

13、据分析，a1，则bc11，只能是(5,6)，(6,5)，2 种情况；a2，则bc10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3 种情况；若 a3，则 bc9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4 种情况；a4，则 bc8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5 种情况；a5，则 bc7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6 种情况；a6，则 bc6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5 种情况故总计23456525 种可能【总结升华】本题的设计极为巧妙，在必修3 的

14、教材中就有投掷骰子求点数之和的例子，这里把这个问题进行变通，问题就相当于在固定第一次投掷结果的情况下，分别求投掷两次骰子其点数之和是6,7,8,9,10,11的情况有多少种举一反三：【变式】某次活动中，有 30 个人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人进行礼仪表演，要求这 3 人任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)【答案】1200【解析】其中最先选出的一个有30 种方法，此时这个人所在的行和列共10 个位置不能再选人，还剩一个5 行 4 列的队形，选第二个人有 20 种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，3020126此时第三个

15、人的选法有12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是1200 种类型二、排列与组合【例 4】(1)从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A12B24C36D48(2)值域为2,5,10，其对应关系为 yx21 的函数的个数为A1B27C39D8【思路点拨】(1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论；(2)根据函数的值域，求出函数定义域中可能包含的元素，分类讨论确定其定义域【答案】(1)D(2)B12A A【解析】(1)若选甲，则有24种排法；12A2A43A4若不选甲，则有 A3 4种排法，则共有48(种)(2)分别由 x212，x215，x2110 解得 x1

16、，x2，x3，由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：取三个元素：有111C2C2C28(种)；11C2C2取四个元素：先从1，2，3 三组中选取一组C1 3，再从剩下的两组中选两个元素12(种)；取五个元素：5C6，故共有111C3C2C26(种)；4取六个元素：1 种由分类计数原理，共有8126127(种)【总结升华】排列、组合问题的解法：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥

17、的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决举一反三：【变式 1】某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有1 名女生，那么不同的选派方案种数为A14B24C28D48【答案】A1322C CC C2424【解析】选 1 名女生的方案有：种；选 2 名女生的方案有：种；1322C CC C2424故至少选 1 名女生共有：14 种方案【变式 2】用 0,1,2,3,4 排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A36B32C24D20【答案】D322A A A

18、【解析】0,1,2,3,4 五个数字，偶数字相邻，奇数字也相邻的排法共有322种排法，其中0 在首位的排223222A AA A AA223222法有种，所以共有20 个五位数【例 5】将 5 名支教志愿者分配到 3 所学校，每所学校至少分1 人，至多分 2 人，且其中甲、乙 2 人不到同一所学校，则不同的分配方法共有()A78 种B36 种C60 种D72 种【思路点拨】先分组、再分配，求出甲乙分到同一学校数目，再根据间接法求解【答案】D22C4C23CA32A2【解析】先不考虑甲、乙 2 人是否分到同一所学校，共有不同的分配方法：种；其中，甲、15223C C A233乙 2 人分到同一所

19、学校，有不同的分配方法：种，故甲、乙 2 人不分到同一所学校，不同的分22C4C23CA32232C C AA2配方法有23372 种故选 D.15【总结升华】本题为分配问题，当元素个数多于分配位置时要先把元素进行分组，组数与分配位置相同，然后再进行分配，在分组时如果有元素个数相等的小组，有几个就要除以几的阶乘举一反三：【变式】(1)某市端午期间安排甲、乙等 6 支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有()A96 种B192 种C216 种D312 种(2)从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且

20、每科竞赛只有1 人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有_种5【答案】(1)D(2)964A4【解析】(1)若甲在第三、四、五道，则乙的安排方法有三种，此时方法数是 33 216；若甲在第六4A4道，则乙的安排方法有四种，此时的方法数是496.故总数为 21696312.43AC44(2)选出的 4 名学生如果不含甲，则方法数为24；选出的5 名学生如果含甲，选法为，甲的参赛方34CA44法数是 3，其余 3 个学生全排列，方法数是3 72.根据分类加法计数原理，总的方法数是247296.例 6（2015朝阳区模拟）如果在一周内安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要

21、求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种【答案】120【思路点拨】本题中甲学校情况特殊，故应先安排甲学校，再安排另两所学样，甲学校的安排方法要用列举法，而其它两个学校用排列数计数即可【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有A52安排方法，故不同的安排种法有 6A52=120，故答案为 120【总结升华】计数问题一般要先求解且有特殊要求的对象，再安排其它举一反三：【变式 1】(2015上海高考)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为.（结果用数

22、值表示）【答案】120【解析】根据题意，报名的有3 名男教师和 6 名女教师，共 9 名教师，5C126种；9在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有5C6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126-6=120种.6其中只有女教师的有【例 7 高清视频：复数 排列组合二项式定理例 6 课程 ID:369691】在直线axbyc0中，a，b，c是取自集合 3,2,1,0,1,2,3中的3个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？【思路点拨】把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。【解析】设直线的倾斜角为，并且为锐角。b则 tan=a0,不妨

23、设 ab,那么 b0当 c0 时,则 a 有 3 种取法,b有 3 种取法,c有 4 种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有334=36 条当 c=0时,a 有 3 种取法,b有 3 种取法,其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有33-2=7条故符合条件的直线有 7+36=43 条类型三、二项式定理【例 8】(1)(x 2)6的展开式中，x3的系数是_(用数字作答)(2)已知(1x)5 a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0 a2a4)(a1 a3a5)的值等于_6【思路点拨】(1)利用二项展开式的通项公式求解；(2)采用赋值法，

24、分别求出a0a2a4 和 a1a3a5.【答案】(1)160(2)256【解析】(1)(x2)6 的展开式中通项公式为rC6Tr1x6r(2)r，3C令 r3，得 T46x3(2)3160 x3，所以 x3 的系数是160.(2)分别令 x1、x1 得a0a1a2a3a4a50.a0a1a2a3a4a532，由此解得 a0a2a416，a1a3a516，(a0a2a4)(a1a3a5)256.【总结升华】五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：(1)特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法

25、；(5)最值问题不等式法在二项式定理问题中，常见的误区有：(1)二项展开式的通项 Tk1 中，项数与 k 的关系搞不清；(2)二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式(ab)n 或求特定项时，忽略中间的“”号举一反三：5【变式】二项式(1sin x)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为2，则 x 在0,2内的值为_5【答案】6或6【解析】(1sin x)n 的展开式中末尾两项的系数和为n1nCnCnn17，n6，则(1sin x)6 的展开式中系数最大的一项为3C6T4(sin x)3，51C(sin x)32，sin x2.365又 x0,2，x6或6(x

26、2 2)(【例 9】(1)151)x2的展开式的常数项是()A3B2C2D37(2)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a()A0B1C11D12151)2【思路点拨】(1)要求展开式中常数项需使用多项式乘法法则，先求x展开式中 x2 的系数和常数(项，再根据多项式乘法法则得结果；(2)要求 a 值需知 512 012 被 13 除所得余数，先变形 514131 后使用二项式定理得之，再根据余数确定 a 值【答案】(1)D(2)D(x2 2)(【解析】(1)因为52C5(1115215551)x(1)2(1)2(1)2222xxx，又x展开式中的常数项为1015

27、2152411425)(1)x(1)x C()(1)(x 2)(1)52x2x2x22，x展开式中的常数项为5，故二项式展开式中的常数项为253.122012CCC201220122012(2)512012aa(1341)2 012a(1134)2012a14(134)2(134)2 012，12CC显然当 a113k，kZ，即a113k，kZ 时，512 012a13k13420122012(134)12012C2012(134)2 011，能被 13 整除因为 aZ，且 0a13,所以 a12.故选 D.【总结升华】两个二项式相乘时求其中某项的系数，需要根据多项式乘法法则进行，此时要注意不

28、要漏掉了其中的项，要把各种可能的情况都考虑进去；二项式定理解决整除性问题时，需要构造二项式，基本原则是根据除数对已知式进行变换举一反三：2x620)2p的展开式中常数项为27，那么正数 p 的值是()【变式】(1)已知x(A1B2C3D4(2)若(x21)5a0a1x2a2x4a5x10，则 a0a1a2a3a4a5_.【答案】（1）C（2）0C64【解析】(1)由题意得：122204p27，整理得 p481，又 p 为正数，解得 p3，选 C.(2)令 xi(i 为虚数单位)，a0a1a2a3a4a5(i21)50.(3 x 例 3 若1x)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

29、_【答案】令 x1 求出各项系数和确定n 值，根据二项式的通项公式求解常数项540(3 x【解析】令 x1 得二项式1x)n展开式的各项系数之和是 2n，由此得 n6.根据二项式的特点，8333C 3(1)其常数项一定是中间项，这个常数项是6540.【总结升华】注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和相等，但很多是不相等的【例 10】在(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)的展开式中，含x的项的系数是4（A）-15（B）85（C）-120（D）274【答案】A【解析】本题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供x，其余 1 个提供常数）的思路来完成。故

30、含x的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.类型四、排列组合综合问题【例 11】某中学高三年级共有12 个班级，在即将进行的月考中，拟安排12 个班主任老师监考数学，每班1 人，要求有且只有8 个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有()A4455 种B495 种C4950 种D7425 种【思路点拨】分两个步骤，第一步，使8 个班的班主任老师监考自己的班级，第二步，剩下的四位班主任老师，都不监考自己的班级8C【解析】A从 12 位老师中选出 8 位，他们各自监考自己的班级，方法数是12；剩下的四位老师都不监4考自己的班级，记四位老师分别为甲，乙，丙，丁，他们各自的班级分

31、别为A，B，C，D，则甲只能在 B，C，D 中选一个，有方法数3，假设甲在B，此时若乙在A，则丙丁只能互换班级，若乙在C，D 之一，有2种方法，如假设乙在C，则只能是丙在D，丁在A，故这时的安排方法数是3(12)9.根据分步乘法计数8C12原理，监考安排方案共有94455 种，故选 A.【总结升华】在元素个数不多的情况下，可以具体地进行操作，以找出其中的方法数目，这也是近年来，高考考查计数问题的一个命题趋势在具体操作中可以在两个原理的指导下，给所安排的元素确定其具体位置，在逐步缩小位置个数的情况下解决问题本题中的第二步是四个班主任都不监考自己的班级，这是问题“一个人写了 n 封信和 n 个对应

32、的信封，所有的信都不装入对应信封”的特例，这是概率论历史上的一n!个有名问题，其方法数有计算公式112!3!(1)n1n!本题就是 n4 的情况，按照这个公式进行4!计算是1112!3!4!12419.举一反三：【变式】五名同学各自写一张卡片集中起来，然后每人任取一张卡片，则仅仅有一个同学取到自己写的卡片的方法各自情况是_种【答案】45【解析】一个同学取到自己写的卡片的方法有5 种，其余四个同学取到的都不是自己写的卡片，类似例题4 的情况，方法数是 9，根据分步乘法计数原理得，共有5945 种情况【例 12】在16 的矩形长条格中，两格涂红色，两格涂黄色，两格涂蓝色，但要求至少有一种颜色涂在了

33、相邻的两格，则不同的涂色方法共有_种【思路点拨】涉及“至少”，从反面考虑问题，即考虑没有任何一种颜色涂在相邻两格的方法，使用间接排除法求解9【答案】60222C C4C290.若没有任何两种颜色涂在相邻两格，可以这样排列颜色，首先在6【解析】没有限制的涂法是两个位置上排列其中一种颜色，只有一种排法，在这个颜色隔出的三个空位上选两个排列其中的第二种颜22CC35色，有方法数3，然后在这四个位置隔出的五个位置中选出两个位置，排列第三种颜色，有方法数10，这样排列颜色的方法数是30，最后把这样颜色排列顺次涂在六个格子内，这样得到的就是没有任何一种颜色涂在相邻两格的方法数故至少有一种颜色涂在了相邻的两格的方法数是903060.【总结升华】涂色问题是一类典型的，以使用两个基本原理为主求解的排列组合应用题，其难点是各种限制条件的处理，如本题中要求至少有一种颜色涂在相邻的两个格子中，基本的解题思路都是根据要求进行具体操作，在操作中寻找解决问题的方法，涂色问题一般涉及的数目不大，具体操作的方法是解决问题的关键10