第二章极限习题及答案：极限的四则运算.pdf

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1、分类讨论求极限分类讨论求极限例例已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p q，且p 1，q 1，设cn an bn，Sn为数列Cn的前n项和，求lim（1997 年全国高考试题，理科难度 0.33）解：解：SnSnSn1SnSn1.n a1p1p 1nbq1n1q 1na1q 1p1 b1p 1q1na1q 1pn11 bp 1q1n11.分两种情况讨论；（1）当p 1时，p q 0，故0 qp 1，limSnSn1n 1npa1q 11nplim1pn1a1q 11n1p qn1 b1p 1pnpn qn1 b1p 1pn11n1p p a1q 11 0 b1p

2、1 0a1q 11 0 b1p 1 0a1q 1a1q 1 p p（2）当p 1时，0 q p 1，SnSn1limn lima1q 1p1 b1p 1q1nnn a1q 1pn11 bp 1q1n11a1q 10 1 b1p 10 1a1q 10 1 b1p 10 1 a1q 1 b1p 1 a1q 1 b1p 1 1.说明：说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限自变量趋向无穷时函数的极限例例 求下列极限：（1）limx 5x11 x 2x2442x 2x3x（2）lim 2x 2x12x 1分析：分析：第（1）题中

3、，当x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“的一般方法是分子、分母同除以 x 的最高次幂，再应用极限的运算法则第（2）题中，当x 时，分式x23”型，变形2x1与x22x 100都趋向于，这种形式叫“”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“51x2”型，再求极限解：解：（1）limx 5x11 x 2x5x224421 limx 1x4x2x 1x4 2lim 1 limx x lim11x4x lim1x41 0 00 0 2 12.x limx x2 lim 2x 2322x3xx(2x 1)x(2x1)lim（2）lim 22x 2x1x 2x 1(2x1)(2x 1)limx x23

4、21 limx 1x1x)x(2x1)(2x 1)(2 1x2)(2 lim(1x x 1x)1x)1 0(2 0)(2 0)lim(2 1x214)lim(2 x 说明：说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法无穷减无穷型极限求解无穷减无穷型极限求解例例求极限：（1）lim(1 x x1 x x)x 22（2）lim(1 x x1 x x)x 22分析：分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：解：（1）原式 lim2x1 x x222x 1 x x2 lim 2x2x 1 x x1 x x 21x2 limx 1x 1 1x21x2x 1.1（2）原

5、式 limx 1 x x21 x x2 lim21x2x 1x 1 1x21x 1.1说说明明2x：当x 0时2，x x2，因此1 x x21 x x21x21x 1 1x21x 2 1利用运算法则求极限利用运算法则求极限例例计算下列极限：（1）lim n 21n 14n 127n 12 3n 2；2n 1（2）lim111n11.1nn 39273（1992 年全国高考试题，文科难度 0.63）1解解：（1）原式 lim2n n3n 1n 12 lim3n n2 n12n 2 limn n3.222 2n3 1n11 1 33（2）原式 limn 113n111 1 lim11 0.n 44

6、34说明：说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式 lim（2）原式1 lim13n 1n 12n lim4n 12n lim3n 2n 12n lim19n lim127n lim1n n113n1319127 0 131 413用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限1 1n*例例设p N，求limn 1n1 分析：分析：把1 np 1p11用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可

7、求得1 解：解：1np1 1 Cp111122p11p1 Cp1()Cp1()nnn1 1n1np11 Cp1111232p11pCp1()Cp1 Cp1()nnn1 1n limn 1np11 Cp1 p 11或：逆用等比数列求和公式：2p1 1 1 原式 lim111 1 n nnn 11 1 p 1p1个p 11 说明：说明：要注意 p 是与 n 无关的正整数，1 n不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型零乘无穷型转化为无穷除无穷型例例求lim(n

8、1 n n)n.分析：分析：当n 时，所求极限相当于0 型，需要设法化为我们熟悉的解：解：lim(n 1 n 型n)n lim(n 1 n)(n 1 n)n)nn(n 1 nn 1 111n1n12.lim limn n 说明：说明：对于这种含有根号的0 型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现如本题是通过分子有理化，从而化为nn 1 n，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n，完成极限的计算根据极限确定字母的范围根据极限确定字母的范围例例已知lim44n2nnn (m 2)116，求实数 m 的取值范围分析：分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决

9、解：解：lim44n 2nnn (m 2)lim1 m 2 16 4nn 116于是m 24 1，即 4 m 2 4,6 m 2n m 2 说明：说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim可知，的nn 416 m 2 16 411极限必为 0，而qn 0的充要条件是q 1，于是解不等式m 24 1零比零型的极限零比零型的极限10例例求lim1 x 1x00 x 010分析：分析：这是一个型的极限，显然当x 0时，直接从函数1 x 1x分子、分母中10约去 x 有困难，但是101 x 1当x 0时也趋近于 0，此时 x 化为(101 x)1，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设y 解：解：

10、设y 10101 x，则x y1011 x，则x y101，于是，当x 0时，y 1原式 limy 1y10y11 lim1y y y 198y1110说明：说明：本题采用的换元法是把x 0化为y 1 0，这是一种变量代换灵活地运用这种代换，可以解决一些x1x 1200型的极限问题例如对于lim，我们一般采用因式分解，然后约去x 1，得到lim(x 1)2 其x1x1实也可以采用这种代换，即设t x 1，则当x 1时，t 0，这样就有limx 1x 12x1 lim(t 1)1t2t 0 lim(t 2)2.t 0组合与极限的综合题组合与极限的综合题例例limn C2nC2n 2n1n()12

11、14A0B2CD分析分析：将组合项展开后化简再求极限解：解：limC2nCn12n2nn(2n)!(n 1)!(n 1)!limn(2n 2)!n!n!lim(n 1)22n(2n 1)(2n 2)n 2n 12.4n 6n 2故应选 Dn lim14说明：说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题高考填空题1计算lim(n nn 2)_.n2若数列an的通项公式是ann 3n 1n1n(n 1)*(n N)，则lim(a1 n an)_.2n 3计算：lim(n)_.22n1解析lim lim 11 n n 2n n 2n 2nnn 222nn 2 e21 说明：利用数列极限公式li

12、m1 e，把原题的代数式稍加变形即可获解本题n nn主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析 an1n(n 1),a112.112 lim n n 2n(n 1)3 lim()1.n 21221n111说明：本题的思考障碍点是如何求a1？只要懂得在通项公式中令n 1，可立得a1的具体值，本题考查数列极限的基本知识3解析lim(n n 3n 1n1)2nnn1222 lim(1)en n 1说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限根据已知极限和四则运算求其它极限例例若lim 2nan 1，且lim an存在，则lim(1 n)an _.n n n A0B12C12D不存在

13、分析：分析：根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论解：解：lim 2nan 1,lim nan存在,n n lim ann lim 2nann lim12nn 0 lim an 0n 又lim 2nan 1,lim nann n 12lim(1 n)an lim(an nan)lim an lim nan 0 n n n n 1212即lim(1 n)an n 12.选 C说明：说明：lim an是关键，不能错误地认为lim an 0，lim(1 n)an 0n n n a 两个数列an、差、积存在极限的充分条件 但nbn的极限存在是两个数列的和bn的极

14、限不一定存在化简表达式再求数列的极限化简表达式再求数列的极限例例求下列极限（1）lim n 23n 15n 127n 12 2n 1 2n 1113121914 1312nn（2）limn 1（3）limn1 n 1 1 1 111 1 345n 2分析：分析：先运用等差数列、等比数列的前 n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算解：解：（1）原式 lim3 5 7 (2n 1)n 12n limn(n 2)n121 limn 2n 11n2n 1nn3 1 11 12343lim（2）原式 limnnn n 3 1 1 121 22n 1 lim 1 limn 34

15、n 4 1 03n33 1 04 1 lim 1 limn n 2（3）原式 lim n n 234n 1 2n lim 2.n 345n 2n 2说说 明明：先 化 简，再 求 极 限 是 求 极 限 经 常 用 到 的 方 法，不 能 认 为2n 135lim 2 0而得到（1）的结果是 0 0,lim 2 0,lim2n n 1n n 1n n 1无穷比无穷和字母讨论的数列极限无穷比无穷和字母讨论的数列极限例例求下列极限：（1）lim2n1 5 3nn1nn 32 4 3（2）lim1 a1 annn(a 0)分析：分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式

16、子 第（2）题中当 a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论 2 2 153 2 3 43nn解：解：（1）原式 lim2 215 332 4 3nnnn n limn 2 2 lim lim 15n 3n 2 3 lim lim 4n 3n nn2 0 153 0 4 154.（2）当0 a 1时，lim1 a1 annn limn1 11 1n 0，n当a 1时，lim1 a1 annn lim 1 1a 1 1ann 1 lim lim 1n an 1 lim lim 1n an n0 10 1 1.说说明明：含参数的式子 求极 限，经常 要

17、进 行讨 论，容易 出现 的问 题是 错误 地认为lim an 0n 根据极限确定等比数列首项的取值范围根据极限确定等比数列首项的取值范围例例已知等比数列an的首项为a1，公比为 q，且有lim 值范围1n，求a1的取 q n 1 q2a1分析：分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知lim q存在，因此可得 q 的取值范围，n n从而确定出a1的取值范围解：解：由lim 1nnlim q，得存在 q n n 1 q2a1q 1且q 0或q 1 a11 q12当q 1时，有，q 2a11，2a 1 1解得0 a1 1，又q 0，因此a112 a1当q 1时，这时有lim 11，a1 3n 2

18、212综上可得：0 a1 1，且a1或a1 3说明：说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑 q 的特点，容易将q 0这一条件忽视，从而导致错误求函数在某一点处的极限求函数在某一点处的极限例例求下列极限：3 3x 22x3（1）lim 2x 2x 4x 2（2）lim2x17 x 35x13 x 40sin222x5（3）limx3x 01 cosx（4）lim x 31x 32x 96分析：分析：第（1）题中，x 2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“00”型，必须先对函数变形，然后施行

19、四则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算33 3x 22x3x 22x lim23 lim3解：解：（1）lim 2x 2x 4x 2x 2x 2x 4x 2lim(3x 2)x 2lim 2xx 23x 23lim(x 4)x 22lim(x 2)33lim x lim 2x 2x 22 lim xx 23x 2lim x lim 4x 2x 23lim x lim 2x 23 2 22 422 2322 22 185135.（2）lim2x17 x 35x13 x 40sin22x 5 lim(x 5)(2x 7)(x 5)(x 8)1 cosx2x 5 lim

20、2x 7x 8x 52 (5)7(5)81 cos 1.（3）lim1 1x3x 01 cosx23.limx 0(1 cos x)(1 cos x cosx)2 limx 01 cos x cosx21 1 1（4）limx 31x 3(x 3)6111 lim lim.22x 3x 3x 9x 9x 33 361x 36说明：说明：不能错误地认为，由于limx 3不存在，lim6x 92也不存在，因此（4）式的00 x 3极限不存在（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“型，再求极限”型或“”函数在某一点处零比零型的极限函数在某一点处零比零型的极限例例求下列极限：（1）lim1

21、1 3xxx1（2）limtan x sin xsin3x 2x分析：分析：第（1）题中，当x 1时，分子、分母的极限都是 0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：对多项式进行因式分解；对无理式分子或分母有理化；对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分解：解：（1）原式 lim(1(13x)(1 3x)(1332x 3x)x)2x1x)(1 3x 3x)(1 lim(1 x)(1 x x)2x1(1 x)(1(1 3x)1 1 11 132.limx 3x)2x11 xsin x（2）原式 limcos xx 2sin lim1 cossin2 sin x3x limsin x sin x cossin3x 2x cos xx 2x cos12.lim1(1 cos x)cos xx 21(11)1说明：说明：如果分子、分母同乘以1 3x，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是(13x 3x2)