高中数学《《双曲线及其标准方程》》.pdf

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1、中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家教师授课教案教师授课教案学生姓名学生姓名授课教师姓名授课教师姓名所授科目所授科目数学数学学生年级学生年级高中二年级高中二年级上课时间：上课时间：年年 月月 日日 时时 分至分至 时时 分分教学标题：教学标题：双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程教学目的与要求：教学目的与要求：1 使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4 使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5培养学生发散思维的能力教学重点：教学重

2、点：教学难点：教学难点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组上次作业检查结果：上次作业检查结果：学生能够及时完成的要求，质量已经达标。学生能够及时完成的要求，质量已经达标。教学过程：教学过程：一、复习引导：一、复习引导：二、导入新课：二、导入新课：双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习1 椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，中学习的重要的内容之一，它在社会生这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距 产、日常生活和科学技术止

3、有着广泛的应离叫做椭圆的焦距用，大纲明确要求学生必须熟练掌握在同样的绳长下，两定点间距离较长，则本节教材仍是继续训练学生用坐标法所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距解决方程与曲线有关问题的重要内容，对离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭 它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握圆的形状与两定点间距离、绳长有关求曲线方程的一般方法2.椭圆标准方程：双曲线的定义和标准方程是本节的x2y2y2x2基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲（1）221（2）221其中abab线标准方程的推导过程又是理解和记忆a c b222标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环

4、节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例 1；第二课时主要是课本中的例 2、例 3 及几个变式例题授课内容：授课内容：1双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1 M

5、F2 2a这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y

6、轴设 P（x,y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c 0）则F1(c,0),F2(c,0)，又设M 与F1(c,0),F2(c,0)距离之差的绝对值等于 2a（常数），2a 2cP P PF1 PF2 2a又PF1(x c)y，22yPF1A1O(x c)2 y2(x c)2 y2 2a，化简，得：(c2a2)x2a2y2 a2(c2a2)，A2F2x由定义2a 2cc2 a2 0令c2 a2 b2代入，得：b2x2a2y2 a2b2，x2y2两边同除a b得：221，ab22此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0),F2(c,0)，其中c2 a2b

7、2若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不点在y轴上，则焦点是F1(0,c),F2(0,c)，将OyF2A2xA1F1同的方程，如焦x,y互换，得到yx1，此也是双曲线的标准方程22ab223双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种：x2y2焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a 0,b 0)；aby2x2焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a 0,b 0)ab(2)a,b,c有关系式c2 a2b2成立，且a 0,b 0,c 0其中 a 与 b 的大小关系:可以为a b,a b,a b4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由

8、方程中含字母x2、y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上三、讲解范例：三、讲解范例：例例1 1 判断下列方程是否表示双曲线判断下列方程是否表示双曲线.方程方程x 42 y2x 4 y22 6 方程方程y 42 x2y 4 x22 8表示以（，）为端点，沿着轴表示以（，）为端点，沿着轴正方向一条射线。正方向一条射线。例例 2:2:已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上，双

9、曲线上一点一点 P P 到到 F1F1、F2F2 的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于 6 6，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程.变题变题 1:1:将条件改为双曲线上一点将条件改为双曲线上一点 P P 到到 F1,F2F1,F2 的距离的差等于的距离的差等于 6,6,如何如何?差等于差等于 0,0,如何如何?变题变题 2 2:将条件改为双曲线上一点将条件改为双曲线上一点 P P 到到 F1,F2F1,F2 的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于 10,10,如何如何?例例 3 3 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值x2y2x2y2114222x2y2y

10、2x222 14y 9x 36（221）4232分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2解：是双曲线，a 2,b 2,c 6；是双曲线，a 2,b 2,c 2；是双曲线，a 2,b 2,c 6；是双曲线，a 3,b 2,c 13例例4 4 已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1(5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值等于 6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2y21(a 0,b 0)a2b22a 6,2c

11、10a 3,c 5b2 523216x2y2所求双曲线标准方程为1916例例 5 5一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知 A、B 两地相距 800m，并且此时声速为 340 ms，求曲线的方程分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在 A 处听到爆炸声的时间比 B 处晚 2s,这里声速取同一个值解：解：(1)由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，可知 A、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远，所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上(2

12、)如图，建立直角坐标系xoy，使 A、B 两点在x轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合yPAOBx设爆炸点 P 的坐标为(x,y)，则|PA|PB|=3402=680，即 2a680，a340又|AB|=800，2c=800，c=400，b2 c2 a244400|PA|PB|6800，x0所求双曲线的方程为x2y21（x0）11560044400例 2 说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点 C，利用 B、C(或 A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成

13、的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用想一想，如果 A、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上（爆炸点应在线段 AB 的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力四、课堂练习四、课堂练习：练练 1 1：a=4,b=3,a=4,b=3,焦点在焦点在 x x 轴上轴上;x2y2 1上一点上一点P P到到F1F1的距离为的距离为15,15,求一点求一点P P到到F2F2的距离的距离?练练2 2：双曲线：双曲

14、线916练练3 3求与圆求与圆A Ax 52 y2 4922x 5 y 49都外切的圆的圆心都外切的圆的圆心P P的轨迹方程。的轨迹方程。和圆和圆 B B4求a=4，b=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程5求a=25，经过点（2，-5），焦点在y轴上的双曲线的标准方程6证明：椭圆9x2 25y2 225与双曲线x215y215的焦点相同7若方程x2sin y2cos1表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限x2y28设双曲线1上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(5,0)的距离是（）169A7 B.23 C.5 或 2

15、3 D.7 或 23x2y2y2x21;61;练习答案：5.1692016x2y21 F(4,0),7.9x 25y 22525922x2y21 F(4,0);x 15y 15151228.D.x2sin y2cos1表示焦点在y轴上的双曲线sin 0,所以选 D.5.D.|d 15|2a 8 d 7 或 23cos 0课后练习答案x2y21所表示的曲线。1判断方程9 kk 3 9 k 0解：当k 3 0时，即当k 3时，是椭圆；9 k k 3当(9 k)(k 3)0时，即当3 k 9时，是双曲线；2求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点 A（-5，2）的双曲线的标准方程。x2y2

16、答案：1c 6,2a 5 5 5 4 5 b2 3620 162016y2x23 求经过点P(3,2 7)和Q(6 2,7)，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程答案：12575x2y2x2y24椭圆21和双曲线21有相同的焦点，则实数n的值是（）34n16nA 5B 3C5D 9答案：Bx2y25已知F1,F2是双曲线1的焦点，PQ 是过焦点F1的弦，且 PQ 的倾斜角为 600，169那么PF2 QF2 PQ的值为_（答案：4a16）x26设F1,F2是双曲线 y21的焦点，点 P 在双曲线上,且F1PF2 900,则点 P 到x轴的4距离为()A1B5C 2D512555答案：BRtF1P

17、F2的面积为b2，从而有2c|y|b2|y|x2y27P 为双曲线221(a 0,b 0)上一点，若 F 是一个焦点，以 PF 为直径的圆与圆abx2 y2 a2的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交答案：Cx2y2y2x2小结小结：双曲线的两类标准方程是221(a 0,b 0)焦点在x轴上，221(a 0,b 0)abab焦点在y轴上a,b,c有关系式c2 a2b2成立，且a 0,b 0,c 0其中 a 与 b 的大小关系:可以为a b,a b,a b板书设计板书设计（略）课后记：课后记：教学及学生作业反馈：教学及学生作业反馈：（多的部分写在背面或者另加纸张）多的部

18、分写在背面或者另加纸张）学生课堂表现：学生课堂表现：在班里上课期间注意力集中，在班里上课期间注意力集中，作业及时完成，表现良好。作业及时完成，表现良好。作业设置：作业设置：1、课本练习P4345 习题 1、3、4、5、8、9、11、13、15 题，2、知识探究测试题单元题 P5557，1、5、7、9、11、14、15 题备注说明：备注说明：1 1、老师在上课期间必须提前备课写教案。、老师在上课期间必须提前备课写教案。2 2，上课必须带教案上课。，上课必须带教案上课。3 3、在写教案的同时符合教学大纲和学生的学习情况。、在写教案的同时符合教学大纲和学生的学习情况。3 3、上课必须提前、上课必须提前 1010 分钟到班级。分钟到班级。4 4 不准迟到或早退。不准迟到或早退。5 5、讲课结束的同时必须签字确认。、讲课结束的同时必须签字确认。学生签字学生签字教师签字教师签字班主任签字班主任签字校领导审核签字校领导审核签字