平行四边形的存在性问题解题策略.pdf

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1、学习必备欢迎下载平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3 个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便例题解析例 如图 1

2、-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 P，如果以点 P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标图 1-1【解析】P、A、C 三点是确定的，过 PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个符合条件的点 D（如图 1-2）由 yx22x3(x1)24，得 A(3,0)，C(0,3)，P(1,4)由于 A(3,0)右3，上3C(0,3)，所以 P(1,4)右3，上3D1(2,7)由于 C(0,3)下3，左3A(3,0)，所以 P(1,4)下3，左3D2(4,1)由于

3、P(1,4)右1，下1C(0,3)，所以 A(3,0)右1，下1D3(2,1)我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了图 1-2例 如图 2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+2x3 与 x 轴交于 A、B 两学习必备欢迎下载点，点 M 在这条抛物线上，点P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标图 2-1【解析】在 P、M、A、B 四个点中，A、B 是确定的，以 AB 为分类标准由 yx2+2x3(x1)(x3)，得 A(1，0)，B(3，0)如图 2-2，当 AB 是平行四边形的对角线时，PM 与 AB 互相平分

4、，因此点 M 与点 P关于 AB 的中点（1,0）对称，所以点 M 的横坐标为 2此时 M(2，3)如图 2-3，图 2-4，当 AB 是平行四边形的边时，PM/AB，PM AB4所以点 M 的横坐标为 4 或4所以 M(4,5)或(4,21)我们看到，因为点 P 的横坐标是确定的，在解图 2-2 时，根据对称性先确定了点 M 的横坐标；在解图 2-3 和图 2-4 时，根据平移先确定了点 M 的横坐标图 2-2图 2-3图 2-4例如图 3-1，在平面直角坐标系中，直线yx4 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点B，点C 在直线 AB 上，在平面直角坐标系中求一点 D，使得以O、A、C、D

5、为顶点的四边形是菱形图 3-1【解析】由 yx4，得 A(4,0)，直线 AB 与坐标轴的夹角为 45在 O、A、C、D 四个点中，O、A 是确定的，以线段 OA 为分类标准如图 3-2，如果 OA 是菱形的对角线，那么点 C 在 OA 的垂直平分线上，点 C(2,2)关于OA 的对称点 D 的坐标为(2,2)如果 OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图 3-3，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与直线 AB 的交点恰好为点 B(0,4)，那么正方形 AOCD 的顶点 D 的坐标为(4,4)学习必备欢迎下载如图 3-4，以 A 为圆心，AO 为半径的圆与直线 AB 有两个交点 C(42 2,

6、2 2)和C(42 2,2 2)，点C 和 C向左平移 4 个单位得到点 D(2 2,2 2)和 D(2 2,2 2)图 3-2图 3-3图 3-4例 如图 4-1，已知抛物线y 4216x x与 x 轴的负半轴33交于点 C，点 E 的坐标为(0,3)，点 N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以 M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由图 4-1【解析】C(4,0)、E(0,3)两点是确定的，点 N 的横坐标2 也是确定的以 CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：如图 4-2，当 CE 为平行四边形的边

7、时，由于C、E 两点间的水平距离为 4，所以 M、N 两点间的水平距离也为4，因此点 M 的横坐标为6 或 2将 x6 和 x2 分别代入抛物线的解析式，得M(6,16)或(2,16)如图 4-3，当 CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M(2,16)3图 4-2图 4-3例如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x 轴交于 A、B两点（点A 在点 B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y轴负半轴交于点 C，且 CD4AC设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，

8、求出点P 的坐标；若不能，请说明理由学习必备欢迎下载图 5-1【解析】由 yax22ax3aa(x1)(x3)，得 A(1,0)由 CD4AC，得 xD4所以 D(4,5a)已知 A(1,0)、D(4,5a)，xP1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：如图 5-2，如果 AD 为矩形的边，我们根据AD/QP，ADQP 来两次平 移坐标由于 A、D 两点间的水平距离为 5，所以点 Q 的横坐标为4所以 Q(4,21a)由于 A、D 两点间的竖直距离为5a，所以点 P 的纵坐标为 26a所以 P(1,26a)根据矩形的对角线相等，得AP2QD2所以 22(26a)282(16a)2整理，得 7

9、a21所以a 726 7此时 P(1，)77如图 5-3，如果 AD 为矩形的对角线，我们根据AP/QD，APQD 来两次平移坐标由于 A、P 两点间的水平距离为2，所以点 Q 的横坐标为 2所以 Q(2,3a)由于 Q、D 两点间的竖直距离为8a，所以点 P 的纵坐标为 8a所以 P(1,8a)再根据 AD2PQ2，得 52(5a)212(11a)2整理，得 4a21所以a 此时 P(1，4)我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一

10、个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程如图 5-2，如果ADP90，那么12MAND；如图 5-3，如果QAP90，那么MDNPGQKAGAKP图 5-2图 5-3例如图 6-1，将抛物线 c1：y 3x23沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2学习必备欢迎下载现将抛物线 c1向左 平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图

11、6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图 6-2），如果您看到了MAB 和NED是边长为 2 的等边三角形，那么平移就简单了如图 6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与 EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心【解法一】如果ANE90，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，可得 AE2EN4而 AEAOOE2AO，所以 AO2已知 AB2，此时 B、O 重合（如图 6-4），所以 mBO1【解法二】如果对角线 MNAE，那么 OMOA，此时MAO

12、是等边三角形所以等边三角形 MAB 与MAO 重合因此 B、O 重合，mBO1【解法三】在平移的过程中，A(1 m,0)、B(1 m,0)，M(m,3)，根据 OA2OM2列方程(1m)2m23解得 m1图 6-2图 6-3图 6-4例如图 7-1，菱形ABCD 的边长为 4，B60，E、H 分别是 AB、CD 的中点，E、G 分别在 AD、BC 上，且 AECG（1）求证四边形 EFGH 是平行四边形；（2）当四边形 EFGH 是矩形时，求 AE 的长；（3）当四边形 EFGH 是菱形时，求 AE 的长图 7-1【解析】（1）证明三角形全等得 EFGH 和 FGHE 大家最熟练 了（2）平行

13、四边形 EFGH 的对角线 FH4 是确定的，当 EGFH4 时，四边形 EFGH是矩形以 FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2学习必备欢迎下载如图 7-3，当 E 为 AD 的中点时，四边形 ABGE 和四边形 DCGE 都是平行四边形如图 7-4，当 E 与 A 重合时，ABG 与DCE 都是等边三角形（3）如果平行四边形 EFGH 的对角线 EG 与 FH 互相垂直，那么四边形 EFGH 是菱 形过 FH 的中点 O 画 FH 的垂线，EG 就产生了在 RtAOE 中，OAE 60，AO2，此时 AE1又一次说明了如果会画图，答案就在图形中图 7-2图

14、7-3图 7-4图 7-5例 如图 8-1，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0)、B(0,3)，点 C 的坐标为(0,m)，过点 C 作 CEAB 于点 E，点 D 为 x 轴正半轴的一动点，且满足OD2OC，连结 DE，以 DE、DA 为边作平行四边形DEFA（1）如果平行四边形DEFA 为矩形，求 m 的值；（2）如果平行四边形DEFA 为菱形，请直接写出m 的值图 8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图我们注意到，点A 和直线 AB（直线 l）是确定的如图 8-2，先画x 轴，点A 和直线 l在直线l 上取点 E，以 AE 为对角线画矩形 DEFA如图 8-3，过点 E 画直线 l 的垂线画MDN，使得 DN2MN，MNDN，产生点 C如图 8-4，过点 C 画 y 轴，产生点 O 和点 B图 8-2图 8-3图 8-4您是否考虑到，画MDN 时，还存在 DM 在 x 轴下方的情况？如图8-5同样的，我们可以画如图8-6，如图 8-7 的两个菱形学习必备欢迎下载图 8-5图 8-6图 8-7