沪教版(五四制)六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义(无答案).pdf

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1、沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）第二讲第二讲有理数的混合运算有理数的混合运算【前铺【前铺1 1】将下列各数归类：将下列各数归类：119，0.62，3，3，0.31，.428其中整数有其中整数有，分数有分数有，正数有正数有，负整数有负整数有，正分数有正分数有，非负数有非负数有，非负整数有，非负整数有。0，1.5，【前铺【前铺2 2】下列各数下列各数(2)，(2)，2，(2)3 2，(3)(2)，(1)负数有负数有22323232007(2)3，中，中，(3)51【前铺【前铺3 3】大于大于1且小于且小于2的所有整数是的所有整数是2有理数的加减法有理数的加减法有

2、理数加法法则：有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0 相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：有理数加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a(加法交换律)1/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(a b)c a (bc)(加法结合律)有理数加法的运算技巧：

3、有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.a b a (b)有理数减法的运算步骤：有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省

4、略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：(3)(0.15)9(5)(11)30.159511，它的含义是正 3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的和.5116【例题【例题1 1】计算：计算：(2.39)(1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)(1.57)676711(0.75)0.375(2)8421【拓展】(4)(3)3321(6

5、)(9)|3|7.49.2(4)5517(14)(5)(1.25)88(9111(8.5)3(6)113325317)15(3)(22.5)(15)124412434(18)(53)(53.6)(18)(100)5551132|1()|35534.7(3.3)(5.6)(2.1)2/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）1111(3)(3)3(3)4444【例题【例题2 2】1997个不全相等的有理数之和为个不全相等的有理数之和为0，则这，则这1997个有理数中个有理数中()【拓展】【例题【例题3 3】【例题【例题4 4】【例题【例题5 5】A至少有一个是零至少

6、有一个是零B至少有至少有 998 个正数个正数C至少有一个是负数至少有一个是负数D至多有至多有 995 个是负数个是负数(第 17 届希望杯 2 试)若a b 0 c d，则以下四个结论中，正确的是()Aa bcd一定是正数Bd ca b可能是负数Cd cba一定是正数Dcd ba一定是正数电子跳蚤在数轴上的某一点电子跳蚤在数轴上的某一点K0，第一步，第一步K0向左跳向左跳1个单位到点个单位到点K1，第二步由点，第二步由点K1向右跳向右跳2个单位到点个单位到点K2，第三步有点，第三步有点K2向左跳向左跳3个单位到点个单位到点K3，第四步由点，第四步由点K3向右跳向右跳4个单位个单位到点到点K4

7、，按以上规律跳了，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数所表示的数恰好是恰好是19.94 求电子跳蚤的初始位置点求电子跳蚤的初始位置点K0所表示的数所表示的数数轴的原点数轴的原点O上有一个蜗牛，第上有一个蜗牛，第1次向正方向爬次向正方向爬1个单位长度，紧接着第个单位长度，紧接着第2次反向爬次反向爬2个单个单位长度，第位长度，第3次向正方向爬次向正方向爬3个单位长度，第个单位长度，第4次反向爬次反向爬4个单位长度，依次规律爬下个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第去，当它爬完第100次处在次处在B点点 求求O、B两点之间的距离（用单位长度表

8、示）两点之间的距离（用单位长度表示）若点若点C与原点相距与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间个单位长度，需要多少时间才能到达？才能到达？若蜗牛的速度为每分钟若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过个单位长度，经过1小时蜗牛离小时蜗牛离O点多远？点多远？在整数在整数 1，3，5，7，2k 1，2005 之间填入符号“”和“”号，依此运算，之间填入符号“”和“”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？所有可能的代数和中最小的非负数是多少？3/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）【拓展】数列a

9、1，a2的最大值？任意连续3项的和为负数，任意连续5项的和为正数。求满足条件nan中，有理数的乘除有理数的乘除有理数乘法法则：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.有理数乘法运算律：有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.ab ba(乘法交换律)三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.abc a(bc)(乘法结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(bc)ab ac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：有理数乘法法则的推广：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数

10、决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为 0.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.“奇负偶正”口诀的应用：“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“”的个数，例如：(3)3；(3)3 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36，而(3)(2)(6)36 有理数乘方，这里奇、

11、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：(3)2 9，(3)3 27特别地：当n为奇数时，(a)n an；而当n为偶数时，(a)n an负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1 的任何次幂都是 1，任何不为 0 的数的 0 次幂都是“1”在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.1有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.a b a，(b 0)b两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任

12、何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法的运算步骤：有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36，而(3)(2)(6)36.有理数混合运算的运算顺序：有理数混合运算的运算顺序：先乘方（下一版块学习），再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.4/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到

13、右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.以上运算顺序可以简记为：“从小（括号）到大（括号）“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从高（级）到低（级），从左到右”，从左到右”【例题【例题6 6】看谁算的又对又快看谁算的又对又快:【例题【例题7 7】【拓展】【例题【例题8 8】【拓展】【例题【例题9 9】345 8 26(3)411315195211711516(8)89 9 9 121651216 41216122141111 216112若若a，b，c三个数互不相等，则在

14、三个数互不相等，则在a bbcc abc，c a，a b中，正数一定有中，正数一定有()A0个个B1个个C2个个D3个个如果acb 0，bc 0，且a(b c)0，试确定a、b、c的符号.若大于若大于 1 的整数的整数 n 可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为n的质因数则下面四的质因数则下面四个命题中正确的是个命题中正确的是()()An的相反数等于的相反数等于n的所有质因数的相反数之积的所有质因数的相反数之积Bn的倒数等于的倒数等于n的所有质因数的倒数之积的所有质因数的倒数之积Cn的倒数的相反数等于的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之

15、积的所有质因数的倒数的相反数之积Dn的相反数的倒数等于的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积的所有质因数的相反数的倒数之积如果 4 个不同的正整数m，n，p，q满足(7 m)(7n)(7 p)(7 q)4，那么m n p q的值是多少？在在20042004方格表的每个方格中，方格表的每个方格中，任意填上任意填上1或或1，设各行的积为设各行的积为p1、p2、p2004，各列的积为各列的积为q1、q2、q2004，证明：，证明：S p1 p2 p2004 q1 q2 q2004是是4的倍数。的倍数。5/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）【拓展】x1、

16、x2、少？少？、xn是是1或或1，且，且x1x2x3x4 x2x3x4x5 xnx1x2x3 0，n的最小值是多的最小值是多有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算形如a(a 0，m为正整数)的整式叫做幂，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数.maman aa.aaa.a aa.a amnmnmn(am)n amam.am amnn(ab)m abab.ab (aa.a)(bb.b)ambmmmmaman(aa.a)(aa.a)aa.a amnmnmn推广开来：a0 amm amam1an a0n a0an1an其中，a 0，m，n为正整数.11n()ana【前铺【前铺1 1

17、】把下列各式写成乘方运算的形式：把下列各式写成乘方运算的形式：111111133333444444522222666667(a b)n个ab(a b)(a b)(a b)【前铺【前铺2 2】(1)(1)下列各式：下列各式：(2)；|2|；2；(2)，计算结果为负数的个数有，计算结果为负数的个数有22（）A4 个B3 个C2 个D1 个6/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）(2)(2)计算计算2200722008所得结果为（所得结果为（）2007A22007B2C22007D2【前铺【前铺3 3】下列说法中，正确的个数为（下列说法中，正确的个数为（）对于任何有

18、理数对于任何有理数m，都有，都有m2 0；对于任何有理数对于任何有理数m，都有，都有m2m；对于任何有理数对于任何有理数m、nm n，都有，都有m n 0；对于任何有理数对于任何有理数m，都有，都有m3mA A1 1B B2 2C C3 3D D0 0322【例题【例题1010】比较比较2100与与375的大小的大小已知已知10 x5，10y6，求，求102xy1的值。的值。已知已知xn 5,y2n 9，求，求(x2y3)n。【例题【例题1111】DigitsDigits ofof thethe productproduct ofof2516238is isA A32B B34C C36(英汉

19、小词典：英汉小词典：digitsdigits 位数；位数；productproduct乘积乘积)【拓展】D D382300是一个几位数？【例题【例题1212】求求220062200522004220032221【例题【例题1313】有人编了一个程序：有人编了一个程序：从从 1 1 开始，开始，交错地做加法或乘法交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，（第一次可以是加法，也可以是乘法）也可以是乘法）每次加法，每次加法，将上次的运算结果加将上次的运算结果加 2 2 或加或加 3 3；每次乘法，每次乘法，将上次的运算结果乘将上次的运算结果乘 2 2 或乘或乘 3 3 例如，例如，3030 可以这样得到

20、：可以这样得到：（1 1）（1010 分）证明：可以得到分）证明：可以得到22；（2 2）（1010 分）证明：可以得到分）证明：可以得到2100 29727/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）11 2【例题【例题1414】(1)2|3|03232321123(2)325 2404 23451(3)1 5322222223(4)2234 233【拓展】计算下列各题：12（1）(4.5)(0.25)23.5 0.252333111（2）332332621221（3）450.8523574.5 0.1611 1118【例题【例题1515】计算：计算：1133.7

21、53.231535633【拓展】（第 11 届希望杯）已知a 199919991999200020002000，b ，199819981998199919991999c 200120012001，则abc等于20002000 2000999nn化简999199n98/9沪教版（五四制）六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义（无答案）【例题【例题1616】计算：计算：(1【拓展】计算：1111111111111)()(1)()246246824824611(23【拓展】(1711)(12005211)(120042111)(2005231)20047737121738 2711)(1385)

22、271739172739c，【补充【补充1 1】中学生数学小组进行计算机计算中学生数学小组进行计算机计算,他们将他们将4个数个数(a，d)转变为转变为(a b，b，bc，cd，d a)。已知开始的四个数不全相等，求证：经过若干次上述计算后，至少有一个数大于。已知开始的四个数不全相等，求证：经过若干次上述计算后，至少有一个数大于2004【补充【补充2 2】若若a,b,c都是自然数，且满足都是自然数，且满足a5b4，c3 d2，且，且c a 19，求：，求：d b的值。的值。【补充【补充3 3】（格致中学（格致中学 20102010 年推优生面试题（年推优生面试题（A A）若）若a 2 a b 1 0，则，则11aba 1b 112a 2009b 2009 _。9/9