工程数学复变函数复习题 .pdf

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1、一、选择题1.下列复数中，位于第三象限的复数是（B）A1 2i B12i C12i D1 2i2.下列命题中，正确的是（C）Az 1表示圆的内部 C0 arg z BRe(z)0表示上半平面DIm(z)0表示上半平面4表示角形区域3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（D）Azz ez Bsin23z 1 Ctanzez D.sin zez4.已知z 1i，则下列正确的是（B）i Az 5.积分32e12 Bz 2e63i4Cz 32e7i12iDz 62e34|z|3z 2dz的值为（A）A8i B2C2i D4iez6.z 0是函数的（D）z(1cosz)A 可去奇点7B一级极点C二级

2、极点D 三级极点1在点z 处的留数为（C）z(z 2)A0B1C8.复数z A.12D123 i的幅角主值为（A）52BCD6363 9.函数w f(z)在点z0处解析的特征为（A）A.在z0的邻域内可导B在z0可导C 在z0连续D 在z0有界10.复积分f(z)dz与路径无关的充分必要条件为（C）c A.f(z)连续Bf(z)有界Cf(z)解析Df(z)可积分 11.复变函数f(z)zcosz的原函数为（B）A.zcos z sin zBzsin z cos zCz(cosz 1)Dzcosz12.下列函数中那一个为调和函数（A）222 A.x yBsin(xy)Ccos(x y)Dx 2x

3、y13.下列级数绝对收敛的是（B）(1)n1(8i)n1i A.(1)BCnnnn!n2n1n1n1iDcosn isinnn114下列命题正确的是（A)A.若 z 为纯虚数，则z zBi0，则 z0是f(z)的_m 1_零点.38.若znn21i(1)n，则limzn1ie .n1nnnn39.设z r(cosisin)，则z _r(cosnisinn)_.40.设e i，则z i(2k 1).z三、计算题三、计算题1.求复数w 2.设f(z)z 1的实部与虚部.z 11，求f(z)在D z0 z 1内的罗朗展式.(z 1)(z 2)n!nz的收敛半径.nnn3.试求幂级数ez4.设f(z)

4、2，求Res(f(z),i)z 15.将复数z 12 2i化为三角表示式与指数表示式（辐角用主值表示）6.设fz my nx y i(x lxy)为解析函数，试确定m,n,l,的值32327.把函数f(z)sin z展开成z1的幂级数zez8.计算积分2dzz 2z 11i1i9.求.2 2 10.22z|z|2(9 z2)(z i)dz.z在1|z|2内的罗朗展式.(z 1)(z 2)11.求函数ez12.设f(z)2，求Res(f(z),0).z13.设a 0，在复数集C中解方程z22z a.14.已知u v x y，试确定解析函数f(z)u iv.15.计算积分22sin zz 12z(

5、1ez)dz2nn216.求幂级数n z的和函数，并计算n之值.n1n1217.若复数z z满足zz(12i)z(1 2i)z 3 0，试求z 2的取值范围.18.解方程sin z icos z 4i.19.将函数ln(2 z)在0 z1 1内展开成洛朗级数.z(z 1)20.计算积分dz42z 2z 2z 221.将直线方程Ax By C 0（A,B不全为0），化为复数方程表示22.已 知 函 数v(x,y)4x3y 4xy31，验 证v(x,y)为 调 和 函 数；并 求 一 解 析 函 数f(z)，使 得Im f(z)v(x,y)，且f(0)i23.试把函数f(z)1在z 0处展开为泰勒

6、级数，并求其收敛半径(z 1)(z 2)24.设函数f(z)z，利用留数定理计算复积分2(z 2)(z 2)y 的所有调和函数u(x,y)xz 4f(z)dz25.求具有形式u f 2226.函数f(z)(x y x 1)i(2xy y)，试问f(z)是否解析？若解析，求其导数27.将f(z)2z 1在 2 z 3上展开成z的幂级数2z z 6zn128.求幂级数的和函数以及其收敛半径n1n 1 2i 29.计算limn630.求函数nz在1 z 2内的罗朗展式.(z 1)(z 2)323231.设f(z)my nx yi(x lxy)在复平面上解析，求l,m,n的值ez32.设f(z)2，求

7、Res(f(z),i)z 1四、证明题四、证明题1.函数f(z)在区域D内解析.证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内为常数2.如果f(z)在区域D处处为零，则f(z)在D内为一常数3.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充分必要条件是f(z)在D内解析4.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.5.设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res f(z),a Res f(z),a；若f(z)是偶函数，则Res f(z),a Res f(z),a6.若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，f(z)等于常数，则f(z)在D恒等于常数7若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在D内恒等于常数8.若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数