数列知识点总结及题型归纳---含答案.pdf

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1、数列数列一、等差数列一、等差数列题型一题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示 为anan1 d(n 2)或an1an d(n 1)。例：等差数列an 2n 1，an an1题型二题型二、等差数列的通项公式：an a1(n1)d；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。，则a12等于（）例：1.已知等差数列an中，a7 a916，a41A15 B30 C31 D642.an是首项a11，公差d

2、3的等差数列，如果an 2005，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）670 3.等差数列an 2n 1,bn 2n 1，则an为bn为（填“递增数列”或“递减数列”）题型三题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列Aab2ab即：2an1 an an2（2an anm anm）2例：1设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11 a12 a13（）A120 B105C90 D752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（）A1 B

3、.2 C.4 D.8题型四题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列an中，对任意m，nN，an am(nm)d，d anam(m n)；nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mn pq，则am an ap aq；题型五题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn2(Sn An Bnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1d n22222(A,B为常数)an是等差数列)递推公式：Sn(a1 an)n(am an(m1)n22例：1.如果等差数列an中，a3

4、a4a512，那么a1a2.a7（A）14（B）21（C）28（D）352.设Sn是等差数列an的前 n 项和，已知a2 3，a611，则S7等于()A13 B35 C49 D 633.已知an数列是等差数列，a1010，其前 10 项的和S10 70，则其公差d等于()A 23121B C.D.3334.在等差数列an中，a1a910，则a5的值为（）（A）5（B）6（C）8（D）105.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S12 21

5、，则a2 a5 a8 a117.设等差数列an的前n项和为Sn，若a5 5a3则S9S58.设等差数列an的前n项和为Sn，若S9 72,则a2a4a9=9.设等差数列an的前 n 项和为sn,若a6 s312,则an10已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.，则bn=11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列和，求Tn。12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a10 30，a20 50求通项an；若Sn=242，求n13.在等差数列an中，（1）已知S8 48,S12168,求a1和d；（2）已知a610,S5 5,求a8和S

6、8；(3)已知a3a15 40,求S17题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇 nd；Sn的前n项nS奇an；S偶an1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则S奇S偶 an a中；题型七题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列。S奇n。S偶n1例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210 D.2602.一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为。3已知等差数列an的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 11

7、0 项和为4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10 S7 30，则S9=5设Sn是等差数列an的前n项和，若S31S，则6S63S12DA113B C381019题型八题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1 an d(常数）（n N）an是等差数列中项法：2an1 an an2通项公式法：an kn b例：1.已知数列an满足an an1（n N)an是等差数列(k,b为常数)an是等差数列(A,B为常数)an是等差数列 2，则数列an为（）2前n项和公式法：Sn An BnA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列a

8、n的通项为an 2n 5，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断23.已知一个数列an的前 n 项和sn 2n 4，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断24.已知一个数列an的前 n 项和sn 2n，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列an满足an2 2an1 an 0，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断26设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n，则an是（）A.等

9、比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列7.数列an满足a1=8，a4 2，且an2 2an1 an 0（n N）求数列an的通项公式；题型九题型九.数列最值（1）a1 0，d 0时，Sn有最大值；a1 0，d 0时，Sn有最小值；2（2）Sn最值的求法：若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn an bn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即：若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定*an 0an 0或。an1 0an1 01.设an（nN N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S

10、5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值2等差数列an中，a1 0，S9 S12，则前项的和最大。3已知数列an的通项n 98n 99（n N），则数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是4设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12 0，S13 0求出公差d的范围，S12中哪一个值最大，并说明理由。指出S1，S2，5.已知an是等差数列，其中a1 31，公差d 8。（1）数列an从哪一项开始小于 0？（2）求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值6.已知an是各项不为零的等差数列，其中a1 0，公差d 0，若

11、S10 0,求数列an前n项和的最大值7.在等差数列an中，a1 25，S17 S9，求Sn的最大值(n 1)S1题型十题型十.利用an求通项S S(n 2)n1n1.设数列an的前 n 项和Sn n2，则a8的值为（）（A）15 (B)16 (C)49（D）6422已知数列an的前n项和Sn n 4n 1，则3.数列an的前n项和Sn n21（1）试写出数列的前5 项；（2）数列an是等差数列吗？（3）你能写出数列an的通项公式吗？4.已知数列an中，a1 3，前n和Sn求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式1(n 1)(an1)12等比数列等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第

12、二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q 0)，即：an1：an q(q 0)。一、递推关系与通项公式一、递推关系与通项公式递推关系：an1 anq通项公式：an a1qn1推广：an amqnm1.等比数列an中，a28，a164，则公比 q 为（）（A）2（B）3（C）4（D）82.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3，前三项和为 21，则a3 a4 a5（）A 33 B 72 C 84 D 1893.在等比数列an中,a1 4,q 2，则an4.在等比数列an中,a712,q 32,则a19 _

13、.5.在等比数列an中，a2 2，a5 54，则a8=二、等比中项：若三个数二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称成等比数列，则称b为为a与c的等比中项，且为的等比中项，且为b ac，注：b ac是成等是成等比数列的必要而不充分条件比数列的必要而不充分条件.1.23和23的等比中项为()2(A)1(B)1(C)1(D)22.设an是公差不为 0 的等差数列，a1 2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（）n25nn23nn27nCAB332444三、等比数列的基本性质，三、等比数列的基本性质，Dn n21.1.（1）若m n p q，则aman apaq(其中m,n,

14、p,q N)（2）qnman2，an anmanm(n N)am（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.21在等比数列an中,a1和a10是方程2x 5x1 0的两个根,则a4a7()2511(C)(D)(A)(B)22222.等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2 A12 B10 C8 D2+log353.已知等比数列an满足an 0,n 1,2,，且a5a2n5 2(n 3)，则当n 1时，2nlog3a10（）log2a1log2a3log2a2n1（）22A.n(2n1)

15、B.(n1)C.n2 D.(n1)4.在等比数列an，已知a1 5，a9a10100，则a18=5.在等比数列an中，a1 a6 33，a3a4 32，an an1求an若Tn lga1 lga2 lgan,求Tn四、等比数列的前四、等比数列的前 n n 项和，项和，(q 1)na1nSna1(1q)a1anq1 q1q例：1设f(n)22 2 24710(q 1)23n10(nN)，则f(n)等于（）2n12n2n32n4A(8 1)B(81)C(81)D(81)77772.已知等比数列an的首相a1 5，公比q 2，则其前 n 项和Sn3.已知等比数列an的首相a1 5，公比q 1，当项数

16、 n 趋近与无穷大时，其前 n 项和Sn24设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .5.设等比数列an的前 n 项和为Sn，已a2 6,6a1 a3 30，求an和Sn6设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；五五.等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前 n 项的和，k N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列.S9S61 设等比数列an的前 n 项和为Sn，若=3，则=()S6S378 C.D.3332.一个等比数列前n项的和为 48，前

17、 2n项的和为 60，则前 3n项的和为（）A.2 B.A83 B108 C75 D633.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m 30，则S3m4.等比数列的判定法（1）定义法：an1 q（常数）an为等比数列；an2（2）中项法：an1 anan2(an 0)an为等比数列；n（3）通项公式法：an k q(k,q为常数）an为等比数列；nan为等比数列。（4）前n项和法：Sn k(1 q)（k,q为常数）Sn k kqn（k,q为常数）an为等比数列。n例：1.已知数列an的通项为an 2，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列an满足an1 anan22(an 0)，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断n13.已知一个数列an的前 n 项和sn 2 2，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.5.利用an(n 1)S1求通项SnSn1(n 2)1Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通3例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an1项公式*2.已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn，且Sn1 Sn n5(n N)，证明数列an1是等比数列