数学物理方法复习资料及参考答案(二).pdf

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1、数学物理方法复习资料及参考答案（二）一、选择题一、选择题：1.函数（）f(x)以z0为中心的 Taylor 展开的系数公式为：f(k)(z0)kf()dB BCkA ACk2ic(z0)k!C CCk1f()dk1c2i(z0)D DCkkf()dk1c2i(z0)2.(z a)dz（）(其中l表示以为a中心为半径的周围)。lA AiB Bix0 C CiD D03.非齐次边界条件uA A（）(t),uxl(t)，转化为齐次边界条件的方法：A(t)x B(t)B BA(t)xC CB(t)D DA(t)x2 B(t)x4.hf(t)是定义在半无界区间(0,)上的函数，f(t)0在边界条件(0

2、t T)(T t)（）f(0)0下，把f(t)展为实数形式傅立叶积分：C CA A2h 12h coswTB Bwwx02h sinwTwD D2h1coswTw5.齐次边界条件ux（）0,uxl 0的本征值和本征函数：n22nx,X(x)C cosA Annnll2n22nx,X(x)C sinB Bnnnll2(n 0,1,2,3,)(n 1,2,3,)11(n)22(n)x22C Cn,Xn(x)Cncos2ll11(n)22(n)x22D Dn,X(x)C sinnnll26.若集合是（），则该集合是区域。(n 0,1,2,3,)(n 0,1,2,3,)A A开集B B连通开集C C连

3、通闭集D D连通集7.设a是f(z)的可去奇点，则有：（）存在且有限B BZaA AC Clim f(Z)Zalim f(Z)不存在f(z)在a点的主要部分只有有限项D Df(z)在a点的主要部分有无限多项第 1 页8.方程ez1f(z)2在奇点 z=0 的留数是：（）zA A 1B B 0C C -1D D 29.当 C 为（）时，dzcz 1 010.方程（）是n阶贝塞耳方程：二、简答题二、简答题：1、何谓解析函数？它有什么特点？2、简述施图姆刘维尔本征值问题的共同性质。三、基础题三、基础题：1、已知解析函数f(z)的实部u(x,y)3x2y y3，f(i)1，求虚部和这个解析函数。2、计

4、算实变函数定积分I 20dx1 2cosx 2t13、用达朗贝尔解法求定解问题（简要给出推导过程）4、用拉普拉斯变换法求解积分方程四、综合题四、综合题：1、求解定解问题2、求解定解问题3、求解定解问题f(t)t f()sin(t )d参考答案参考答案一、选择题一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.A D 10.D二、简答题二、简答题：1.解析函数：若函数若f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。特点：区域B上的解析函数，其实部和虚部在该区域上为共轭调和函数。区域B上

5、的解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，则由u(x,y)常数，v(x,y)常数，得到的xoy平面上的两族曲线是互相正交的。2.有无穷多个本征值：123y1(x),y2(x),y3(x),0ym(x)和相应地有无穷多个本征函数：所有的本征值都大于或等于零：n 相应于不同本征 值m和n的 本征 函数yn(x)，在 区 间a,b上带 权重(x)正 交，即：第 2 页baym(x)yn(x)(x)dx 0y1(x),y2(x),y3(x),是完备的。本征函数族三、基础题：1解：u 3x23y2,u 6xy（2 分）yx由C R条件，得：vu 3x2y3y2x，则：v(3x23y2)dx x33x

6、y2(y)得：vy 6xy/(y)ux 6xy得：/(y)0,(x)C得：v x33xy2C，（C为常数）因为：f(i)1,iC 0，所以：C 0故：f(z)iz32解：令z eix，则cosx 112(z z1),dx izdz1dz则I izz 11(z z1)2idzz 1(z)(z 1)则z 和z 1为一阶极点，又11，应舍去Resf()i21则，I 2iResf()2123解：x 1()令：2，x att 12a()x at第 3 页（2 分）（2 分）（2 分）（2 分）（2 分）得：utt a uxx22u 0 (a)(a)u 0 0（2 分）txtx积分后，可得：u(x,t)f

7、1()f2()f1(x at)f2(x at)由初始条件，得：u(x,0)f1(x)f2(x)0ut(x,0)af(x)af(x)(x)/1/2解得：1x1()d f1(x0)f2(x0)x2a02（2 分）x11f2(x)()d f1(x0)f2(x0)2ax02f1(x)故：u(x,t)4解：令：L(p)f1(x at)f2(x at)1xat()d（2 分）2axat f(t)对原式拉普拉斯变换，得：L(p)111 f(t)sint L(p)（2 分）222ppp 111p2p4（2 分）L(p)对上式拉普拉斯逆变换，得：f(t)1L(p)1四、计算题：1解：令u11311 t t（2

8、分）246ppx,t XxTt由分离变量法解得：(2n 1)22本征值：n2(2l)(2n 1)x（6 分）本征函数：X(x)sin2l(2n 1)at(2n 1)atT t Acos Bsin2l2l得：u(2n 1)at(2n 1)at(2n 1)xx,tA cos B sinsin（2 分）nnn02l2l2l代入初始条件有，第 4 页可得：Bnl8U0l2l(2n 1)xU0sindx 20(2n 1)a2la(2n 1)故：ux,t8U0l(2n 1)at(2n 1)xsinsin（4 分）22l2la(2n 1)n02解：极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：（4 分）考虑圆外自然边界

9、条件：,u 有限值，Am Bm 0,D0 0（2 分）则可得：u(,)m0m(Cmcos m Dmsin m)（2 分）m由边界条件：u(a,)比较两边系数可得：m0a(Cmcos m Dmsin m)B 3Asin 4Asin 3C0 B,Cm 0(m 0),a1D1 3A,D1 3aA,aD3 4A,D3 4a A,Dm 0(m 1,3)故：u(,)B 3解：33（2 分）3aAsin4a3A3sin 3（2 分）由于边界条件及无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：u(r,)(Alrll0BL)Pl(cos)（4 分）rl1r0考虑圆心的自然边界条件：u 有限值，Bl 0（2 分）则可得：u(r,)由边界条件：AlrlPl(cos)（2 分）l0211,A1,A2,Al 0(l 0,1,2)（2 分）3262112(cos)r P2(cos)（2 分）故：u(r,)P0(cos)rP1326比较两边系数可得：A0第 5 页