经典讲义等比数列及其前n项和.pdf

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1、（经典）讲义：等比数列及其前 n 项和1等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项及它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1q1n.3等比中项若Gab(ab0)，那么G叫做a及b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm2，(n，mN N)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN N)，则akalaman.1(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，ananan，anbn，仍是等比数列bn2(4)公比不为

2、1 的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1 时，Snna1；a11qna1anq当q1 时，Sn.1q1q第 1 页【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1qa1qa1q，na1q1n两式相减得(1q)Sna1a1q，Sn(q1)1q23n 7.1 由an1qan，q0 并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.7.2 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1 及q1 分类讨论，防止

3、因忽略q1 这一特殊情形导致解题失误8.等比数列的判断方法有：an1an(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且anan1n2 且nN N*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0 且an1anan2(nN N)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancq(c，q均是不为 0 的常数，nN N)，则an是等比数列一、知识梳理1.等比数列前n项和公式a1(1qn)a1anq(q 1)(1)Sn1q1qna(q 1)1*2*n探索导引:求和S 1 2 4 263说明：对于等比数列的前n项和公式:从方程观点看:由等比数列的前n项和公式及通项公式

4、可知,若已知a1,q,n,an,Sn中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意讨论公第 2 页比q是否为 1.2.及前n项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列an中,公比为q 1,依次k项和Sk,S2k Sk,S3k S2k,成公比为qk的等比数列.(2)若等比数列an的公比为q,且项数为2n(n N),则S偶S奇 q.说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但S2(S6 S4)(S4 S2)2在运用此性质时,要注意是Sk,S2k Sk,S3k S2k,成是否成立？等比数列,而不是Sm,S2m,S3m,成等比数列.二、方法（一）等差数列前n

5、项和公式的应用理解例题 1:在等比数列中，知识体验:已知等（1）已知a1 3,q 2,求a6,S6；比数列的五个量a1,an,q,n,Sn中的任意（2）已知a1 2.7,q 1,an1,求n；390三个求其他两个（3）已知a1 1,a4 64,求q和S4；时,要用等比数列39（4）已知a3,S3求a1,q；的通项公式以其及22分析:在等比数列中有五个重要量a1,an,q,n,Sn,前n项和公式.只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中a1和q两个最重要的量,通常要先求出a1和q.解:(1)a6 a1q5 325 96.a1(1q6)3(126)S6189.1q12(2)an a1qn1，1

6、2.7(1)n1 n 6903探索导引:等比数列an中，已知，S2 20,S4 60，求并考虑等式S6，(3)a4 a1q3，64 q3，q 4S4a1a4q164(4)511q1(4)32a a q（1）312(4)9S a(1 q q2)（2）3121 q q2 3（2）（1）得q22q2q 1 0 q 1或q 12第 3 页当q 1时，a13，当q 1时，a1 622（二）及等差数列前n项和有关的性质的应用理解例题 2:等比数列an中Sm12,S2m36,求知识体验:在学习了等比数列前n项S3m.分析:在有关等比数列的问题中,均可化和的有关性质后，成有关a1、q的关系列方程求解.本题中注

7、意 我们用其来求解有下标的关系,可考虑用等差数列前n项和的关等差数列的前n项有关性质来简化运算.解法一:由Sm12，S2m36,可知q 1（若和问题.q 1,S2m 2Sm）a1(1 qm)12Sm1 q解得1 qm 3，2mSa1(1 q)36,2m1 qqm 2,a1 121 qS3ma1(1 q3m)841 q解法二:Sm,S2m Sm,S3m S2m成等比数列Sm(S3m S2m)(S2m Sm)2S3m36 24212 48第 4 页方法提炼:求解该类问题一般有两种方法:可化成有关a1、q的关系列方程组求解.可利用等比数列中连续等段和成等S3m 84三、例题（一）（一）题型分类全析题

8、型分类全析比的性质即性质(1)求解.1等比数列前n项和公式的基本运算例 1：在等比数列的an中:a3a1 8,a6a4 216,Sn 40,求公比q,a1及n.思路直现思路直现:由已知两个条件，可建立关于a1,q的方程组，分别解出a1,q的值，代入Sn即可求出n.解:由已知可得2a11,a3a1 a1(q 1)8,32q 3,a a a q(q 1)216,641a1(1qn)13n 40 n 4Sn1q13总结总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例 2 已知数列an是等比数列,其前n项和Sn,若S3 S6 2S9,求该数列的公比q.思路直现思路直现

9、:由已知两个条件，可建立关于a1,q的方程组，分别解出a1,q的值，代入Sn即可求出n.解:若q 1,则Sn na1,S3 S6 3a16a1 9a1,2S918a1,此时S3 S6 2S9q 1本题有关等比数列前n项和的基本运算 的 考查.转化为关于a1,q的方程组求解.本题考查了等比数列前n项和公式的369运用和分a1(1q)a1(1q)2a1(1q)2q3q6 2(1q9)1q1q1q类讨论的9632q q q 0,思想.63即2q q 1 0,因不知q33即(q 1)(2q 1)0的值,故3故2q31 0 q3 1 q 4.对q进行22笔记笔记：在使用等比数列的前n项和公式时,一定要注

10、意讨论.公式的条件.若题目中不明确,应对q进行讨论.2利用等差数列的性质求和例 3：等比数列an中，S2 7,S6 91，求S4?第 5 页本题考查了等比数思路直现思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决.解:an是等比数列，S2,S4 S2,S6S4成等比S2(S26 S4)(S4 S2)7(91 S224)(S47)，故S47S4588 0故S4 28或S4 21注意到S4a1 a2 a3 a4a1 a22 q(a1Saa2)1 q2 0，2a12a1 a2S4,S2同号,S4 28笔记笔记：遇到类似下标成倍数关系的前n项和问题,一般可考虑用等比数列中依次k项和Sk,S2

11、k Sk,S3k S2k,成等比数列来解决,可简化计算量.在已知Sn,S3n,利用这一性质求S2n时,要考虑是否会出现增根的问题.例 4已知一个项数为偶数,首项为 1 的等比数列,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求这个数列的公比及项数.思路思路:本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和及偶数项和都已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项.解：该数列是一项数为偶数的等比数列q S偶S170n S奇 S偶 85170 255奇85 2，又SS a1(1qn)1q1(12n)n12 2n1 255故n 8阅题笔记阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低

12、.第 6 页列连续等段和成等比 的 性质.利用等比数列分段和 成 等比.考虑是否两解都满足条件.建议：已知Sn,S3n求S2n时，尽量列方程求解，若用性质应考虑是否会出 现 增根.本题考查了等比数列 的 性质.注意S偶S q这奇个性质是在项数为偶数这一前提下成立的.建议：巧用特例，3某些特殊数列的求和例 5:(1)已知数列an的通项公式an 2n n，求该数列的前n项和Sn；(2)已知数列ann的通项公式an 2n3，求该数列的前n项和Sn.解:(1)Sn a1 a2 a3 an(2 1)(22 2)(233)(2n n)(2 22 23 2n)(1 23n)2(12n)(112n)n2 2n

13、12(n1)n2 (2)Sn a1 a2 a3 an(2 3)(2232)(2333)(2n3n)(2 22 23 2n)(332333n)2(12n)3(13n)1213 2n1232(3n1)=n12n13272笔记笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例 6：已知数列an的通项公式an n2n，求该数列的前n项和Sn；思路思路:写出数列的前n项和注意其及等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和的方法来求其前n项和.解：Sn 2 222323 n2n2Sn22 223(n1)2n n2n1S2nn 2 2 23 2 n2n1S

14、n n2n1(2 22 23 2n)n2n12(12n)12第 7 页熟记等差等比数列奇偶项的一 些 性质.考查数列的分组求和问题.等差等比数列各自分 组 求和.不同公比的等比数列按公比各自分组求和建议：熟记几种常见的数列求和类型及其对应方法.考查数列的错位相 n2n1(2n12)(n1)2n1 2减法求和笔记笔记:错位相减法适用及求一个等差数列及一个等比的问题。数列的积组成的新数列的前n项和.建议：错位相减法是高考的一个常考点，平时训练给予重视.（二）重点突破（二）重点突破例 7:（2007 天津）在数列an中，a1 2，an1 4an3n1，本小题考查等比数nN N*列的概（）证明数列an

15、n是等比数列；念、等比（）求数列an的前n项和Sn；数列的通（）证明不等式Sn14Sn，对任意nN皆成立思路直现思路直现:(1)由递推关系式构造出数列ann,并证明项公式及前n项和其是等比数列.(2)利用分组求和法求出an的前n项和.公式、不等式的证 (3)考虑用作差法证明.明()证明：由题设an1 4an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN利用递推a n所以数列n是首项为a111，且公比为关系式证4的等比数列明数列成n1()解：由（）可知ann 4，等比.n1an 4 nSn(11)(4 2)(4n1 n)4n1(1 4 44n n)2)(1 231n(n1)32()证明：对任意的n

16、N，4n1n(n1)4n11(n1)(n 2)Sn14Sn43232利用分组求和法求和第 8 页1(3n2n4)02所以不等式Sn14Sn，对任意n N皆成立笔记笔记:本题实际上第一步的证明起到一个提示的作利用作差用,即应从递推关系出发构造出ann的形式,并证明其比较法证为等比数列.明不等bn满足a1 2，b11，式.例 8:（2007 辽宁）已知数列an，且an34an114bn11,bn14an13n24bn11（I）令cn an bn，求数列cn的通项公式；（II）求数列an的通项公式及前n项和公式Sn思路思路:(1)由于要构造cn,故把已知两式相加,即可得出规律.(2)由（I）提示,可

17、考虑两式相减.（）解：由题设可得an bn(an1 bn1)2(n2)，即cn cn1 2（n2）易知cn是首项为a1b1 3，公差为的等差数列cn 2n 1（II）解：由题设得anbn12(an1 bn1)(n2)，令dn an bn，则d 1n2dn1(n2)易知dn是首项为a1 b11，公比为12的等比数列dn12n1由an bn 2n 1，解得an b1n2n1an12n n 12Sn(13)(15)(12n 122422n2)(114132n)(2522n 122)1n22n2 n 1第 9 页建议：学会解题的技巧，有时候题目的提示往往在问题当中.本小题主要考查等差数列、等比数列等基

18、础知识，考查基本运算能力两式相加构造an bn两式相减构造an bn阅题阅题:这是一道创新题,题目较为新颖,遇见题目不要慌乱,其实(1)问已经提示解答本题的方法,应整体考虑.列方程组求an分组求和求Sn建议：在学习中重视整体思想的训练.四、习题一、选择题1.（2008 福建)设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516,则数列an前 7 项的和为A.63B.64C.127D.1282.（2008 浙江）已知an是等比数列，a2 2，a51，则4a1a2 a2a3 anan1=A.16(14n)B.16(12n)C.32(14n)D.32(12n)333.（2008 海南）设等比数列an的公

19、比q 2，前n项和为Sn，则S4a2A.2B.4C.15D.17224(2007 陕西)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn 2,S3n14则S4n等于A.80B.30 C.26 D.165（2006 辽宁）在等比数列an中,a1 2,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于第 10 页A.2n12 B.3n C.2n D.36.数列11,21,31,41,的前n项和为（）816A.1(n2n2)1nB.1n(n1)112222n1D.1n(n1)2(11n)227.3223344nn22222nA.n1nnB.12 122n12nD.1nn22n124n1 C.1(

20、n2n2)212nC.n12n12n二、填空题8.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q 9(2007 全国)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为10.若等比数列an的前n项和为Sn满足S1031,则此数列的公比qS532为三、解答题11.（2007 全国）设等比数列an的公比q 1，前n项和为Sn 已知a3 2，S4 5S2，求an的通项公式12.(2008 全国)在数列an中，a11，an1 2an 2n（）设bnan2n1证明：数列bn是等差数列；3an1 7anbn,（）求数列an的前n项和Sn13.已

21、知数列an,bn满足：a11,b18,且3bn1 2an8bn,n 2（1）令cn anbn，求cn的通项公式；（2）求数列an,bn的通项公式；（3）求数列an的前n项和Sn习题答案1.C.分析：由a11,a516及an是公比为正数得公比q 2，所以127S7127122.C.分析：11an为等比数列，a5 a2q3，2q3 q 42第 11 页设bn anan1，bn是首项为 8，公比为1的等比数列.4a1(1 q4)S41 24151 q3.C分析:a2a1q224.4.B分析分析:an为等比数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n,S4n S3n成等比Sn(S3n S2n)(S2n S

22、n)2即2(14 S2n)(S2n2)2 S2n 6或S2n 4an各项均为正数，故S2n Sn，故S2n 6，2,4,8,S4n S3n成等比，所以S4n S3n16，S4n 305.D 分析:解：依题意，f(n)为首项为 2，公比为238的前n4项和，根据等比数列的求和公式可得 D6.C 分析：因数列an为等比，则an 2qn1，因数列an1也是等比数列，则(an11)2(an1)(an21)an12 2an1 anan2 an an2 an an2 2an1 an(1 q2 2q)0 q 1，即an 2，所以Sn 2n，故选择答案 C。：7.A分析111111111Sn1234(nn)(

23、123 n)(n)24816224821n8.B 分析:设S 12233nn，则1S 1223nn122222222n2两式相减得1S 12212211(1n)1n2nnn121222n112S 21n2n12n9.2分析:由题意可知2n项，q S偶S奇 2S奇 S偶 240，S奇 80，因为等比数列共S S80，S 160，偶奇偶10.3分析：假设塔每层有an盏，塔尖有a1盏，由题意知道数列an为公比为 2 的等比数列，11.1分析：4S2 S13S3，即4(a1 a2)a13(a1 a2 a3)a2 3a3.3解得an的公比q a31.a2312.1分析数列an为等比数列，故S5,S10

24、S5,S15 S10成公比2为q5的等比数列，故有13.分析:a1 S1,a2 S2 S1,q确定,等比数列an唯一确定.第 12 页由S3 a1a2a3a2a2a2q,得q 11S3 0即q2(1S3)q1 0qqa2a2不能唯一确定q,从而该数列不能唯一确定.qn1an,n为奇数时,n1为偶数,q不唯一,而该数列不能唯一确a1定.a1anqn1唯一确定,等比数列an唯一确定故满足题意.14.分析：由条件列出关于a1,q的方程组求解a1,q进而得出结论.a1(1qn)解：由题设知a1 0,q 1，Sn1qa1q2 2，则a1(1q4)a1(1q2)1q 51q由得1q4 5(1q2)，(q2

25、4)(q21)0，(q2)(q 2)(q 1)(q 1)0，因为q 1，解得q 1或q 2当q 1时，代入得a1 2，通项公式an 2(1)n1；当q 2时，代入得a11，通项公式an1(2)n122点拨:等比数列求基本量的题目都可转化为关于a1,q的方程组解题.当然,应在解题过程中注意有关性质的应用,可简化计算量.15.分析:利用递归关系式构造等差数列,进而求出数列an的通项公式,利用错位相减法求其前n项和.解：（1）an1 2an 2n，则bn为等差数列，b11，（2）Sn120 221322(n1)2n2 n2n1两式相减，得点拨:在求解题目的过程中,不应把思路集中在题目的条件上,有时考

26、虑一下题目的问题上,往往会有“暮然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉.例如本题充分考虑如何构造ann1.216 分析:(1)构造题目要求的anbn,即可得到结果.(2)利用（1）的条件，即可求得an,an1的递推关系式,利用递推关系求an进而求bn (3)利用分组求和法,求Sn解：（1）由题意可得，3(an1bn1)9(anbn)，即an1bn1 3(anbn)第 13 页即cn1 3cn，所以cn为首项为c1 9,公比为3的等比数列（2）由（1）可知anbn 3n1，故bn 3n1an3an1 6an3n1，故an1 2an3n故an13n1 2(an3n)即an3n为首项为2公比为2的等比数列，故an3n 22n1即an 3n 2n故bn 3n1(3n2n)23n 2n（3）Sn(32)(3222)(3323)(3n2n)点拨:本题较为新颖,所给方程组的未知元过多,因此,如何消元是本题的关键,应注意到题目系数的关系以及问题(1)的中的提示,构建出数列anbn.第 14 页