概率论与数理统计公式集锦.pdf

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1、-概率论与数理统计公式集锦概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率一、随机事件与概率公式名称德摩根公式古典概型几何概型求逆公式加法公式减法公式条件概率公式公式表达式A B A B,A B A BP(A)P P(A A)mA包含的基本事件数n基本事件总数(A A)，其中为几何度量（长度、面积、体积)()P(A)1 P(A)P(A)=（A）P（B)-(AB）当(AB)=0 时,P（AB）=P（A)+P（B)P（A-B)=(A)-（B)，B A时 P(A-B)=P（A)-(B)P(B A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(B A)P(B)P(A B)乘法公式P(ABC)P(A)P(B A)P

2、(C AB)全概率公式贝叶斯公式（逆 概 率 公式）两件事件相互独立P(B)P(A)P(B A)iii1nP(AjB)P(Aj)P(B Aj)P(A)P(B A)jii1P(AB)P(A)P(B)；P(B A)P(B)；P(B A)P(B A)二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X xk)x xF(x)P(X x)k,P(a X b)F(b)F(a)xf(t)dt-2、离散型随机变量及其分布分布名称0 分布 XB(1,p)二项分布 XB(n,p)泊松分布 XP()3、连续型随机变量及其分布分布名称均匀分布U U(a a,b b)指数分布E()密度函数1,a a x x

3、b bf f(x x)b b a a0,其其 他他x xe e,f f(x x)0,分布律P(X k)pk(1 p)1k,k 0,1kkP(X k)Cnp(1 p)nk,k 0,1,nP(X k)ekk!,k 0,1,2,分布函数0,x axaF(x),a x bba1,x bx x 0 x x 0(x x)2221e ex x,F F(x x)0,x x 0 x x 0正态分布XN N(,2 2)标准正态分布XN(0,1)f f(x x)12 x x e eF(x)21xe(t)222d t(x x)12 x x e ex x221(x)2xe1t22dt4、随机变量函数 Y=（X)的分布离

4、散型:P(Y yi)pj,i 1,2,g(xj)yi连续型：分布函数法,公式法fY(y)fX(h(y)h(y)(x h(y)单调)三、多维随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X xi,Y yj)pij,i,j 1,2,分布函数F(X,Y)xi x yi y pij边缘分布律：p P(X x)pp j P(Y yj)pijiiijji条件分布律：P(X xiY yj)pijp j,i 1,2,，P(Y yjX xi)pijpi,j 1,2,-2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数：F F(x x,y y)x xy yf f(u u,v

5、v)dudvdudv2F(x,y)性质:F(,)1,f(x,y),P(x,y)G)f(x,y)dxdyxyG边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：FX(x)FY(y)xf(u,v)dvdu密度函数：fX(x)f(x,v)dv yf(u,v)dudvfY(y)f(u,y)du条件概率密度fY X(y x)f(x,y)f(x,y),y ，fX Y(x y),x fX(x)fY(y)、随机变量的独立性随机变量 X、Y 相互独立 F(x,y)FX(x)FY(y)，离散型：pij pi.p.j，连续型：f(x,y)fX(x)fY(y)4、二维随机变量和函数的分布离散型:P(Z zk)连续型:fZ(z)xi

6、 yjzkP(X xi,Y yj)f(x,z x)dx f(z y,y)dy四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征1、数学期望定义:离散型E(X)k 1xkpk,连续型E(X)xf(x)dx性质:E(C)C,EE(X)E(X)，E(CX)CE(X),E(X Y)E(X)E(Y)E(aX b)aE(X)b，当、Y 相互独立时:E(XY)E(X)E(Y)、方差定义:D(X)E(X E(X)2 E(X2)E2(X)性质：D(C)0，D(aX b)a2D(X),D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)当 X、Y 相互独立时:D(X Y)D(X)D(Y)3、协方差与相关系数协方差：Cov(X

7、,Y)E(XY)E(X)E(Y)，当、Y 相互独立时:Cov(X,Y)0相关系数：XYCov(X,Y)，当 X、Y 相互独立时：0(X,不相关)XYD(X)D(Y)协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)D(X),Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(X1 X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aX c,bY d)abCov(X,Y)-、随机变量分布的期望和方差分布0-1 分布b(1,p)二项分布b(n,p)泊松分布P()均匀分布U(a,b)正态分布N(,2)指数分布e()数学期望pnp方差p(1)np(-）(ba)212ab22112五、大数定律与中心极限定理五、大数定律与

8、中心极限定理1、切比雪夫不等式若E(X),D(X)2,对于任意 0有P P X X E E(X X)2、大数定律:切比雪夫大数定律：若X1Xn相互独立，E(Xi)i,D(Xi)i2nnD D(X X)2且i i21C C，则：ni11Xi nPE(X),(n)ii1伯努利大数定律：设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，是事件 A 在每次试验中发生的概率，则 0，有：limPn nA p 1n辛钦大数定律：若X1,、中心极限定理,Xn独立同分布，且E E(X Xi i),则1n nX Xi i1n ni iP P n n独立同分布的中心极限定理:均值为，方差为2 0的独立同分布时,当

9、 n 充分大时有:Y Yn nX Xk k1n nk kn nn nN N(0,1)拉普拉斯定理:随机变量X X B B(n n,p p)则对任意 x 有：lim P PX X npnpnpnp(1 p p)x xx xx x12e et t22dt dt (x x)近似计算：P(a Xk1nk b)P(annXk1nknbnnn)(bnn)(ann)-六、数理统计的基本概念六、数理统计的基本概念1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2Xn)的联合分布为F(x1,x2xn)F(xk)k1n2、统计量1(）样本均值：X ni1n211Xi（)样本方差:S(XiX)2(Xi2nX)n

10、1i1n1i12nn11(3)样本标准差：S(XiX)2()样本k阶距:Aknn1i1nXi1nki,k 1,21(5）样本k阶中心距:Bk Mkn(Xi1ni X)k,k 2,33、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量X1,X2Xn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则随机变量222 X12 X2Xn所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为22(n)性 质:E2(n)n,D2(n)2n 设X 2(m),Y 2(n)且 相 互 独 立，则X Y 2(mn)()t分布:设随机变量X N(0,1),Y 2(n)，且 X 与 Y 独立，则随机变量:T 的分布称为自由度的n的t分布，记为T t

11、(n)n1x2性质：E(T)0(n 1),D(T)(n 2)lim fn(x)(x)enn222XY n所服从(3)F分布：设随机变量U 2(n1),V 2(n2)，且U与V独立，则随机变量F(n1,n2)所服从的分布称为自由度(n1,n2)的F分布，记为F F(n1,n2)，性质:设X F(n1,n2),则U n1V n21 F(n2,n1)X七、参数估计七、参数估计1.参数估计(1)定义:用(X1,X2,Xn)估计总体参数，称(X1,X2,Xn)为的估计量，相应的(x1,x2,xn)为总体的估计值。()当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值-2点估计中的矩估计法:

12、（总体矩=样本矩)1样本均值:X E(X)ni1nXi或X E(X)xf(x,)dx求法步骤：设总体 X 的分布中包含有未知参数1,2,k，它的前 k 阶原点矩数i E(Xi)(i 1,2,k)中包含了未知参1,2,k,即i gi(1,2,k)(i 1,2,k)。又设x1,x2,xn为总体 X 的 n 个样本值,用样本矩1niAiXj(i 1,2,nj1,k)代替i，在所建立的方程组中解出的 k 个未知参数即为参数1,2,k的矩估计量1,2,k3点估计中的极大似然估计极大似然估计法:X1,X2,Xn取自X的样本,设X X f f(x x,)或X P(x,),求法步骤：似然函数：L()f(x,)

13、或P()iii1nnni1取对数:lnL()ln f(x,)或lnL()ln p()iii1i1n,xn)lnLlnL11(x1,x2,解方程:0,0,解得:1k,xn)k(x1,x2,k4.估计量的评价标准设(x1,x2,xn)为未知参数的估计量。若（）无偏性估计量的有效性评价标准一致性,则称为的无偏估计量。设11(x1,x,2,xn)和22(x1,x,2,xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D(1)D(2)，则称1比2有效。设n是的一串估计量,如果对于任意的正数，都有n（或相合估limP(|n|)0,则称n为的一致估计量计量)。-.单正态总体参数的置信区间八八、设设验验1.设验基概条件已知

14、估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1的置信区间 2未知Z x/nN(0,1)x z,x z22nn S假假检检2已知T nxS/n2S x t(n1),x t(n1)22t(n1)nn nn2(X)(Xi)2ii12,i121(n)(n)22 2 X 2ii1 2(n)未知22(n1)S22 2(n1)22(n1)S,(n1)S22(n1)1(n1)22假检的本念基假设检验的统计思想是小概率原理。本这里所说的小概率事件就是事件K R，其概率就是显著性水平,思想通常我们取=0.05，有时也取 0.1 或.10。基1.提出原假设H0；2.选择统计量K；3.对于查表找分位数;本4.由样本值x1,x2

15、,xn计算统计量之值；将K 与进行比较，作出步骤判断:当|K|(或K)时拒绝H0，否则认为接受0。第一类错误当H为真时，而样本值却落入了拒绝域,应当否定H0。这时,我们把客观上H成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设）,称这种错误为“弃真错误”或第一类错误,记为犯此类错误的概率，即：P拒绝H|H0为真；当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规定的检验法则，应当接受H。这时,我们把客观上H0不成立判为H成立(即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误,记为犯此类错误的概率,即：接受H0|H为真=。人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容两类错误的关系量 n

16、一定时,变小,则变大;相反地，变小，则变大。取定要想使变小,则必须增加样本容量。两类错误第二类错误2单正态总体均值和方差的假设检验-条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域H0:0已知|z|z2 2H0:0H0:0H0:0Z x0/nN(0,1)z zz zt t(n1)2未知 2H0:0H0:0T x 0S/nt(n 1)t t(n1)t t(n1)212(n1)H0:未知2222(n 1)S2H0:220022(n1)或(n1)22222(n1)2H0:20221(n1)212(n)或H0:22已知（少见)2H0:202H0:2022(Xi1ni)222(n)02(n)2222(n)221(n)-