第五讲根的判别式,根与系数的关系(学生讲义).pdf

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1、每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨！每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨！分式方程，根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）分式方程，根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】【典型例题】222【例【例 1 1】1.1.用换元法解方程用换元法解方程x x 1，若设，若设y x，则原方程可化为（，则原方程可化为（）xxxA Ay2 y 1 0B By2 y1 0C Cy2 y 1 0D Dy2 y1 02.2.用换元法解分式方程用换元法解分式方程x x1222时，如果设时，如果设y x2 x，那么原方程可化为关于，那

2、么原方程可化为关于y的一元的一元2x x二次方程的一般形式是二次方程的一般形式是2(x21)6xx212 7时，如果设时，如果设y 3.3.用换元法解分式方程用换元法解分式方程，那么将原方程化为关于，那么将原方程化为关于 y y 的一元的一元xx 1x二次方程的一般形式是（二次方程的一般形式是（）A A2y27y 6 0B B2y27y 6 0C Cy27y 6 0D Dy27y 6 011x23x2x1 25.5.解方程：解方程：2 04.4.解方程：解方程：x2xx 1x16.6.解方程：解方程：x 7.7.设设A 211 2 2 xx2xx3，B 21，当，当x为何值时，为何值时，A与与

3、B的值相等？的值相等？x1x 1222题题 1:1:1.1.用换元法解方程用换元法解方程x x 1，若设，若设y x，则原方程可化为（，则原方程可化为（）xxxA Ay y 1 0B By y1 0C Cy y 1 0D Dy y1 0222222222.2.用换元法解方程用换元法解方程x x 1，若设，若设y x，则原方程可化为（，则原方程可化为（）xxxA Ay y 1 0B By y1 0C Cy y 1 0D Dy y1 03.3.若关于若关于x的分式方程的分式方程22222m1 2的解为正数，则的解为正数，则m的取值范围是（的取值范围是（）x1A Am 1B Bm 1C Cm 1且且

4、m 1D Dm 1且且m 1x 1132x 3 2 5.5.解方程：解方程：4.4.解方程：解方程：x 22 xx1x1x12x(x2)23(x2)02 06.6.解方程：解方程：7.7.解方程：解方程：2x112xxx【例【例 2 2】1.1.方程方程7x 9x 3 3x 7根的判别式的值是根的判别式的值是_ 2.2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A Ax 2x1 0B Bx 2 2x2 0C Cx 2x1 0D Dx x2 03.3.已知关于已知关于x的方程的方程x2(2k 1)x k 1 0，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A A该

5、方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根B B该方程有两个相等的实数根该方程有两个相等的实数根C C该方程没有实数根该方程没有实数根D D上述三种情况都有可能上述三种情况都有可能4.4.若关于若关于x的方程的方程x 2x m 1 0无实数根，试判断关于无实数根，试判断关于x的方程的方程x mx 2m 1 0的根的情况的根的情况5.5.若关于若关于x的分式方程的分式方程222222221a1在实数范围内无解，则实数在实数范围内无解，则实数a _._.x 3x 32题题 2:2:1.1.不解方程，判别方程不解方程，判别方程5x 7x 5 0的根的情况是（的根的情况是（）A A有两个相等的

6、实数根有两个相等的实数根B B有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根C C只有一个实数根只有一个实数根D D没有实数根没有实数根2.2.方程方程(x 7)(3 x)30的根的情况（的根的情况（）A A没有实数根没有实数根B B有实数根有实数根C C有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D D有两个相等的实数根有两个相等的实数根【例【例 3 3】1 1若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程kx 2x1 0有实数根，则有实数根，则k的取值范围是（的取值范围是（）A Ak 1B Bk 1C Ck 1且且k 0D Dk 1且且k 02 2关于关于x的方程的方程(k 1)x 2kx k 3 0有

7、两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（的最大整数值是（）22A A0 0B B1C C1 1D D2 23.3.关于关于x的方程的方程(1m2)x22(1m)x1 0只有一个实数根只有一个实数根,则则m_._.4.4.若关于若关于x的方程的方程(m1)x22 2m1x 1 0有实数根，求有实数根，求m的取值范围的取值范围5.5.求证：不论求证：不论m取何值，关于取何值，关于x的方程的方程2x23(m1)x m24m7 0总有两个不相等的实数根总有两个不相等的实数根6.6.若二次三项式若二次三项式4x 8x k在实数范围内能分解因式，则在实数范围内能分解因式，则k的取值

8、范围为的取值范围为_7.7.若二次三项式若二次三项式x 8xk是一个完全平方式是一个完全平方式,则则k=_.=_.8.8.若关于若关于x的二次三项式的二次三项式(m 2)x2(m 2)x m是一个完全平方式，求是一个完全平方式，求m的值的值9.9.如果一元二次方程如果一元二次方程ax bxc 0的两个根是的两个根是x1、x2，那么二次三项式，那么二次三项式ax bxc分解因式的结果是分解因式的结果是()A Aax2bxc x x1x x2B Bax2bxc ax x1ax x2C Cax2bxc ax x1x x2D Dax2bxc ax x1x x210.10.方程方程2222xxk2有两个

9、不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则k的取值范围是的取值范围是_x1x1x 1x2 y 011.11.若方程组若方程组有两组相同的解，求有两组相同的解，求k的值的值5x y k212.12.已知方程已知方程x(k 3)x3 0和和x x1 0有且只有一个相同的实数根，求有且只有一个相同的实数根，求k的值和这个相同的实数根的值和这个相同的实数根.2题题 3:3:1.1.已知方程已知方程2x2(2m1)x m 0的根的判别式等于的根的判别式等于9，则，则m的值的值_2.2.若关于若关于x的方程的方程kx 2x 1 0有两个实数根，则有两个实数根，则 k k 的取值范围是（的取值范围是（）A

10、Ak 1B Bk 1C Ck 1且且k 0D Dk 1且且k 03.3.已知：已知：a,b,c是是ABC的三边，的三边，求证：求证：关于关于x的方程的方程6x2 2(a c)x(a b c)0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根4.4.已知已知x为实数，且为实数，且2922 x 3x 0 x 3x的值为（的值为（），那么，那么2x 3xA A1 1B B3 3 或或 1 1C C3 3D D3 3 或或 3 3xa y5.5.如果方程组如果方程组2无实数解，则无实数解，则a的取值范围是（的取值范围是（）y 4x2y1 0A Aa 2B Ba 3C Ca 2D D以上都不是以上都不是6.6.

11、若关于若关于x的方程的方程x 2k 1x k227 0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k47.7.二次三项式二次三项式3x 4x 2k,当当k为何值时为何值时,在实数范围内（在实数范围内（1 1）能分解因式；）能分解因式；（2 2）不能分解因式；）不能分解因式；（3 3）能分解成）能分解成一个完全平方式一个完全平方式,并写出这个完全平方式并写出这个完全平方式8.8.在实数范围内，在实数范围内，4x 8x1可以分解为（可以分解为（）A Ax2 3 x23B Bx222323x22C C2x2 3 2x23D D212x23 2x2349.9.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(m

12、1)x 2mx m3 0有两个不相等的实数根，求有两个不相等的实数根，求m的最大整数值的最大整数值10.10.如果方程如果方程(k 1)x 2x 3 0有两个不相等实数根有两个不相等实数根,那么那么k的取值范围为的取值范围为_11.11.若关于若关于x的方程的方程(m 1)x 2(m2)x1 0有实数根有实数根,求求m的取值范围的取值范围.12.12.若关于若关于x的方程的方程(2k 1)x 8x 6 0有实数根，则有实数根，则k的取值范围为的取值范围为_13.13.k取何值时：关于取何值时：关于x的方程的方程(k 1)x 2kx k 2 022222(1)(1)有两个不相等的实数根有两个不相

13、等的实数根(2)(2)有两个相等的实数根有两个相等的实数根(3)(3)没有实数根没有实数根?（4 4）只有一个实数根）只有一个实数根.x24y2x1 014.14.当当k _时时,方程组方程组有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根y xk15.15.无论无论m取任何值取任何值,关于关于x的一元二次方程的一元二次方程9x2(m7)x m3 0永远有两个不相等的实数根永远有两个不相等的实数根16.16.若方程若方程x 2x k 3 0有两个相等实根有两个相等实根,则方程则方程kx x 3 k 0的根的情况为（的根的情况为（）A A两不相等实根两不相等实根B B两相等实根两相等实根C C无实根无实

14、根D D不能确定不能确定17.17.在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：2x x 2_18.18.关于关于x的二次三项式的二次三项式x ax 2a 3是完全平方式是完全平方式,则则a的值为（的值为（）A A2 2B B4 4C C6 6D D2 2 或或 6 6【例例 4 4】1.1.一元二次方程一元二次方程x 3x 1 0的两根为的两根为x1,x2,则则x1+x2、x1x2的值分别是（的值分别是（）A A3 3、1 1B B 3、122222C C1、3 3D D3 3、12.2.若若x1,x2是方程是方程2x 4x1 0的两个根，则的两个根，则x2x1的值为（的值为（）x1x2D

15、DA A6 6B B4 4C C3 3323.3.若两个数的和为若两个数的和为 5 5，积为，积为 6 6，则以这两个数为根的一个一元二次方程是（，则以这两个数为根的一个一元二次方程是（）A Ax 5x 6 0B Bx 5x 6 0C Cx 5x 6 0D Dx 5x 6 04.4.两个实数根的和是两个实数根的和是3的一元二次方程是（的一元二次方程是（）A Ax 3x 4 0B Bx 3x 4 0C Cx 3x 4 0D Dx 3x 4 025.5.已知已知p 0,q 0,则一元二次方程则一元二次方程x pxq 0()22222222A A一定有一个正实根和一个负实根一定有一个正实根和一个负实

16、根,并且正实根的绝对值大并且正实根的绝对值大.B B一定有一个正实根和一个负实根一定有一个正实根和一个负实根,并且负实根的绝对值大并且负实根的绝对值大.C C一定有两个实根一定有两个实根,它们互为想反数它们互为想反数.D D不一定有实根不一定有实根.6.6.已知已知m,n是不相等的常数是不相等的常数,且且m22m1 0,n22n1 0,则则mn的值是的值是_._.7.7.若若a b c 0，一元二次方程，一元二次方程(a b)x2(bc)x(c a)0两实根中较大的实根等于多少？请加以证两实根中较大的实根等于多少？请加以证明明8.8.已知方程已知方程x2(m1)x(m2)0的一个根小于的一个根

17、小于1，而另一个根大于，而另一个根大于1，则，则m的取值范围是多少？的取值范围是多少？229.9.已知方程已知方程x 3x2k 0，k为实数且为实数且k 0，证明：此方程有两个实数根，其中一个大于，证明：此方程有两个实数根，其中一个大于 1 1，另一个小，另一个小于于 1 1。10.10.设关于设关于x的方程的方程ax2(a 2)x 9a 0，有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根x1、x2，且，且x11x2，那么实数那么实数a的取值范围是的取值范围是()A Aa 11.11.设设x1，x2是方程是方程x 2(k 1)xk 2 0的两个实数根，且的两个实数根，且(x11)(x21)8，求，

18、求k的值的值12.12.已知已知x1，x2是方程是方程x 2mx(m 2m3)0的两个实数根，求的两个实数根，求x1 x2的最小值的最小值222222222 a 0B B a C Ca D D11575112213.13.已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x bx c x有两个实数根有两个实数根x1,x2，且满足，且满足x1 0，x2 x11。（1 1）试证明）试证明c 0；（2 2）证明）证明b2 2(b 2c)；（3 3）对于二次函数）对于二次函数y x2bxc，若自变量取值为，若自变量取值为x0，其对应的函数值为，其对应的函数值为y0，则当，则当0 x0 x1时，试时，试

19、2比较比较y0与与x1的大小。的大小。题题 4 4：1.1.若方程若方程3x25x7 0的两根为的两根为 x x1 1，x x2 2，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（A Ax571 x25,x1x2 7B Bx1 x2 3,x1x23C Cx53x7571 x2,x123D Dx1 x23,x1x2 32.2.以以5 152和和12为根的一元二次方程是（为根的一元二次方程是（）A Ax25x1 0B B2x25x2 0C Cx25x1 0D D2x25x2 03.3.已知已知m和和n是不相等的常数，并且是不相等的常数，并且m2 2m 8 0和和

20、n2 2n 8 0均成立，求均成立，求mn的值的值4.4.如果方程如果方程x2 px q 0的两根分别为的两根分别为2 1，2 1，那么，那么p _,q _.5.5.方程方程3x22x9 0两根的倒数和是两根的倒数和是_，平方和是，平方和是_6.6.已知一元二次方程两根之和为已知一元二次方程两根之和为 4 4，两根之积为，两根之积为 3 3，则此方程为，则此方程为_ 7.7.以方程以方程x22x1 0的两根的相反数为根的一元二次方程是的两根的相反数为根的一元二次方程是_8.8.若关于若关于x的方程的方程x23x k 0有一个根是有一个根是1，则它的另一个根是，则它的另一个根是_,_,k的值是的

21、值是_）9.9.已知已知x 3是方程是方程10k1的一个根，求的一个根，求k的值和方程其余的根的值和方程其余的根x 2x10.10.已知：关于已知：关于x的方程的方程x kx 2 0.求证：求证：（1 1）此方程有两个不相等的实数根）此方程有两个不相等的实数根（2 2）设方程的两根为）设方程的两根为x1,x2，如果，如果2(x1 x2)x1x2，求，求k的取值范围的取值范围【例【例 5 5】(有关根与系数关系的阅读理解题有关根与系数关系的阅读理解题)221.1.阅读材料：已知阅读材料：已知p p1 0,1qq 0,且且pq 1，求，求2pq1的值的值.q22解：由解：由p p1 0及及1qq

22、0,可知可知p 0,q 02 1 1 12又又pq 1,p 1qq 0可变形为可变形为1 0的特征的特征qqq所以所以p与与11pq121是方程是方程x x1 0的两个不相等的实数根，则的两个不相等的实数根，则p1,qqq1115的值的值.2 0,且且求：求：m nmnn2n根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答:已知：已知：2m 5m1 0,2题题 5:1.5:1.阅读材料：阅读材料：bc如果如果x1，x2是一元二次方程是一元二次方程ax2bx c 0的两根，那么有的两根，那么有x1 x2,x1x2.aa这是一元这是一元二二次次方方程程根根与与系系数数的的关关系系，我我们们利利用用它它可可以以用用来来解解题题，例例x1,x2是是方方程程2x2 6x 3 0的的两两根根，求求x12 x2的的值值.解解法法可可以以这这样样：x1 x2 6,x1x2 3,则则2x12 x2(x1 x2)22x1x2(6)22(3)42.请你根据以上解法解答下题：请你根据以上解法解答下题：已知已知x1,x2是方程是方程x2 4x 2 0的两根，求：的两根，求：（1 1）11的值；的值；（2 2）(x1 x2)2的值的值.x1x2