高等数学测试及答案(第一章).pdf

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1、高等数学测试（第一章）一一.选择题（每题选择题（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1.（2 分）Af(x)16 x2 arcsin2x 1的定义域为（）72,3B3,4C3,4D3,4f(2x 1)的定义域为0,1，则函数f(x)的定义域为（）C2.（2 分）已知函数A1,1 B1,120,1 D1,23.（2 分）已知Ax2f(x 1)x2 x 1，则f(x)=（）Cx2 x 2 Bx2 x 1 x 1 Dx2 x 14.（2 分）下列函数对为相同函数的是（）Ax21f(x),g(x)x 1x 1f(x)2ln x,g(x)ln x2Bf(x)3ln x,g(x)ln x3CDf

2、(x)x,g(x)x25.（2 分）若Af(x)(xR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（）Bf(2x)f(x2)Cf(|x|)D2 f(x)（）2x6.（2 分）函数y x的反函数为2 1Ay log2xx By log21 x1 xCy log21 xxDy log21 xxx22ax)0，则常数a等于7.（2 分）已知极限lim(xx8.（2 分）当x 0时及（）A-1 B0 C1D2x等价的无穷小量是（）第 1 页 A1ex Bln(1x)C1x 1 D1cosx9.（2 分）点x 1是函数x 13x1f(x)1x 1的3 xx 1（）A连续点B可去间断点C跳跃间断点D第二类间断点

3、10.（2 分）下列命题正确的是（）A 两无穷大之和为无穷大；B 两无穷小之商为无穷小；Clim f(x)存在当且仅当lim f(x)及lim f(x)均存在；xx0 xx0 xx0Df(x)在点x0连续当且仅当它在点x0既左连续又右连续二填空题（每题二填空题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）11.（3 分）函数f(x)在点x0处有定义是f(x)在x0处极限存在的_.12.（3 分）当x 0时，无穷小 ln(1 Ax)及无穷小 sin3x等价，则常数 A=_.1x213.（3 分）已知函数14.（3 分）若limxf(x)在点x 0处连续，且当x 0时，函数f(x)2，则函数值f

4、(0)=_.f(x)存在，且f(x)sin x2lim f(x)，则lim f(x)=_.xxx1 x1，则g=_.x215.（3 分）设函数fx1 2x,gfx三三 计算题计算题(共共 5555 分分)16.（5 分）lim1211.17.（5 分）lim x(x 1 x).x2nn2 2n2 nn 121 x2ex18.（5 分）limx0 xsin32x20.（5 分）lim.19.（5 分）lim(1sin2x 3xx02cot x).1tan xsin x1lim.21.（5 分）x0 x0 xx3ln1 x.第 2 页22.（5 分）limx01 xsin x 1ex12.23.（

5、5 分）x0limxx.x3ax2 x424.（7 分）设lim具有极限l，求a,l的值.x1x125.（8 分）若lim f(x)存在，且x1f(x)x23x 2lim f(x)，求f(x)和lim f(x).x1x1四四.证明题（共证明题（共 1010 分）分）26.（10 分）设函数f(x)，g(x)均在闭区间a,b上连续，且有f(a)g(a)a，f(b)g(b)b，证明：存在，使（a,b）答案：答案：f g成立.一一.选择题选择题 15 BBDBC；610 AABBD二填空题二填空题 11、无关条件；12、3；13、0；14、1；15、3三计算题三计算题111.16.lim.222nn

6、 2n nn 1【解析】因为1n n21n inn 1221n 1.2(i 1,2,.,n)，1n n2所以nn n21n 1 lim21n 22nn 12，而limnn n2nn1.由两边夹逼准则可知，lim1111.222nn 2n nn 117.xlim x(x21 x).第 3 页【解析】原式xlimxx21 x lim1111x2x1.218.lim1 x ex0 xsin32x2x2.1 x2ex 2x 2xex1 ex x21 lim lim lim【解析】原式 lim.3322x0 x0 x0 x016x8x32x16x16x19.lim(1sin2x 3xx02cot x22

7、2).1sin 2x3x2tan xsin 2x3x2tan xsin 2x3x2x0tan xlim【解析】原式 lim(1sin2x 3x2)sin 2x3xx02 limex0 e20.lim11.x0 xln1 x11ln1 x xln1 x x11 x lim lim【解析】原式 lim.2x0 xlnx0 x01 x2x2xtan xsin x.3x0 xsin x12sin xx1cosx1cosx2【解析】原式=lim.lim limx0 x0 x2cosxx0 x2cosxx3221.lim22.limx01 xsin x 1e1x2.112xsin xx122【解析】原式=

8、lim.limx0 x0 x22x223.（5 分）x0limxx.第 4 页【解析】原式x0limexln x ex0lim xln x eln xlim1x0 xx0lim e1x1x2 e01.x3ax2 x424.设lim具有极限l，求a,l的值.x1x1【解析】因为lim(x1)0，所以lim(xx1x13ax2 x4)0，因此a 4并将其代入原式25.若limx1f(x)存在，且f(x)x2 3x 2lim f(x)，求f(x)和lim f(x).x1x1【解析】设limx1f(x)A，对等式f(x)x23x 2lim f(x)两边同时取极限lim f(x)lim x23x 2lim f(x)x1x1x1x1x 1可得，即A lim x23x 2Ax1，故lim f(x)A 4.x1所以f(x)x2 3x 8.四证明题四证明题26.设函数f(x)，g(x)均在闭区间a,b上连续，且有f(a)g(a)a，f(b)g(b)b，证明：存在，使f g成立.（a,b）【证明】构造函数F(x)而F(a)f(x)g(x)x，则函数F(x)在闭区间a,b上连续，f(a)g(a)a 0，F(b)f(b)g(b)b 0，显然F(a)F(b)0于是由连续函数的零点定理知，(a,b),使得F()0，（a,b）即 存在，使f g.第 5 页