高等数学期中考试答案.pdf

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1、高等数学期中考试答案高等数学期中考试答案学学校：中国传媒大学校：中国传媒大学专专业：业：年级：年级：院系：院系：班级：班级：一一.单项选择题单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）填在题末的括号中）（本大题共本大题共4 4小题，每小题小题，每小题 3 3 分，总计分，总计 1212 分分）1、答：A2、B3、A4、(C)10 分二二.填空题（将正确答案填在横线上）填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共（本大题共3 3 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，总计分，总计 9 9 分分）1、3x0 x 3x0(x)(x)

2、223 0 0,a a 0 0 2、答答 1 1,a a 0 0 ,a a 0 0 3、10 分S 12t212 0，t 1答t 1三三.解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 2 2 小题，总计小题，总计 5 5 分分）1 1、本小题、本小题 2 2 分分y 6x 1在(，0)(0，)连续x5 分10 分x 0是函数的无穷间断点2 2、本小题、本小题 3 3 分分证明：f(x)sin x在0,连续,在(0,)可导22即f(x)在0,满足拉格朗日中值定理的条件24 分f()f(0)2又f(x)cosx，令f()cos22 0解得在(0,2)内有解 arccos2f()f(0)即在(0,2

3、)内存在,使f()2这就验证了Largrange20中值定理对函数f(x)sin x在0,2上的正确性四四.解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 3 3 小题，总计小题，总计 9 9 分分）1 1、本小题、本小题 2 2 分分ff(x)4 x，x 2；2，x 22 2、本小题、本小题 3 3 分分y 11x 0，x 0 x(y)x1 x3 3、本小题、本小题 4 4 分分y cosxsin x ctgx(0 x 2)y csc2xk ycsc2x1 y2321 ctg2x32csc2xcss3x sinx五五.解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 3 3 小题，总计小题，总计

4、1111 分分）1 1、本小题、本小题 4 4 分分8 分10 分10 分8 分10 分2 分4 分8 分10 分令(x)f(x)g(x)则在x0的某去心邻域内(x)0从而 limxx(x)0 limxxf(x)g(x)A B 00故A B得证2 2、本小题、本小题 4 4 分分令f(x)x 2 sinxf(x)在0，3上连续且f(0)2 0f(3)1 sin3 0故在(0，3)内方程f(x)0至少有一实根即x 2 sinx至少有一小于3的正根3 3、本小题、本小题 3 3 分分令f(x)1x2 1 x 在0，连续f(x)1 x 12 1 x 0(x 0)故f(x)在0，上单调增当x 0时,f

5、(x)f(0)0即112x 1 x六六.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 4 4 分分）3 分5 分8 分10 分2 分4 分6 分8 分10 分5 分7 分10 分设矩形一边的长为x（厘米）则另一边长为 402x2（厘米）矩形的面积S x 402 x2（平方厘米）七七.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 4 4 分分）不能因虽然f(x0)有意义，xlimxf(x)也存在0但并不知xlimxf(x)f(x0)是否成立0故不能断定f(x)在x0处连续八八.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 3 3 分分）xlimxv(x)00因为：lim v(x)limv(x)u(x)xx0

6、 xx lim1v(x)u(x)0u(x)xx0u(x)lim1xx)limxxv(x)u(x)0u(x0 0 A 0九九.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 4 4 分分）因f(x)在x0连续且f(x0)0由连续函数的性质知,存在x0的某邻域使在该邻域内(x)与(x0)同号当(x0)0时,在x0的上述去心邻域内,f(x)(x x40)(x)0即f(x)f(x0)0，故f(x0)为f(x)的极小值5 分10 分3 分8 分10 分3 分7 分10 分3 分7 分当(x0)0时,在x0的上述去心邻域内f(x)(x x40)(x)0即f(x)f(x0)0故f(x0)为f(x)的极大值十十.解

7、答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 7 7 分分）当 x 1时，f(x)limx2n1 x0 xnx2n101 x当 x 1时，x2n1x 1f(x)lim xx2n1nx2n1 limn x11x2n当 x 1时，f(x)0 x，当 x 1因此f(x)x，当 x 10，当 x 1十一十一.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 1010 分分）lnsin x解:考察xxlim0 x2 xcosx sin xxcosx sin xxlim02x2sin xxlim02x3 xsin x1xlim06x2 6nlimn2lnnsin1 n 16十二十二.解答下列各题解答下列各题（本大题（本

8、大题 6 6 分分）10 分4 分8 分10 分2 分5 分8 分10 分y sinex cosexexy cosexsinexe2xsinex cosexex y y ye2x e2xcosexsinex cosex sinexexsinexcosex sinex cosex 0十三十三.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 7 7 分分）解：由tx e xcost 1知当x 0时t 0，yy t2t 0第一式两边对t求导，得x(t)et x(t)cost xsint解得x(t)et xsint1 cost由第二式，得y(t)2t 1dyy(t)2t 1(2t 1)(1 cost)dxx

9、(t)et xsintet xsint1 costx 0时，t 0dy(2t 1)(1dx|cost)x0et xsint|t0 2故:所求切线方程为:y 0 2(x 0)即y 2x十四十四.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 4 4 分分）5 分10 分4 分8 分10 分设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径r R2(h22)2其体积为V h(R2h4)0 h 2RV (R234h2)唯一驻点h 2 33RV 32h 0故h 2 33R时,圆柱体体积最大十五十五.解答下列各题解答下列各题（本大题（本大题 5 5 分分）f(00)f(00)f(0)1，f(x)在x 0处连续ff(x)f(0)2sin x1(0)xlim00 xxlim00 xsin xxlimln200 x ln2f(0)f(x)f(0)1arctan x 1xlim00 xxlim00 x 1f(0)不存在2sin xcosxln2，f(x)x 011 x2，x 04 分8 分10 分2 分6 分10 分