高考数学热点深度解读专题一函数与导数.pdf

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1、高考数学热点深度解读专题一函数与导数高考数学热点深度解读专题一函数与导数函数是高中数学的核心内容，许多知识都可以与之建立起联系且围绕函数这一主题展开，函数的思想方法贯穿于数学各部分的知识中，最能体现“能力立意”的高考命题思想；而导函数最为研究函数的性质单调性、最值起到了不可替代的巨大作用，两者结合，形成了高中函数一个完整的体系。一、内容与要求一、内容与要求1高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数；各类函数的五大性质：定义域、值域（最值、极值、边界）、周期性、奇偶性（对称性）、单调性是高考的重点与热点，是试卷命题的中心

2、，也是体现考试说明抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题都在中、难档；2以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法。函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。纵观近几年各省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题、解答题均有涉及，以及本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材。备考过程中，除应熟悉常见的函数图像外，还应加强函 数与方程、图像与曲线的区别与统一性认识，加强对函数图像与图像变换的理解与应用；3新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识和创新意识的考查”。“函数”一节为这一要求提供了良好的载体。函数知识与社会现实，经济建设

3、，科技发展密切相关，以社会热点为背景考查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力；4导数已成为高考命题的重要内容，通过导数可以实现与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇。导数的概念与运算式应用导数的前提基础；导数问题的研究过程中，渗透着多种重要的思想方法，如数形结合、分类讨论、等价转化等；利用导数研究函数的单调性与极值成为各省市必要的题型二、二、0909 年各省市考查重点统计年各省市考查重点统计2009 年高考各省市都从多方面考查了函数与导数的知识，在此列出没有太大的意义！总结出几乎考遍了函数的所有可考查的知识，分别是：定义域、值域、解析式、分段

4、函数、奇偶性、单调区间、周期性、（同底的指对函数）反函数、指对幂比较大小、曲线的切线、函数图像、图像变换、指对幂函数、函数与方程思想、导数的几何意义、极值、函数与不等式、函数与数列等综合应用、函数实际应用模型等等三、典题再现三、典题再现考点考点 1 1函数定义域、值域、解析式函数定义域、值域、解析式例 1：（1）函数y x23x4的定义域为x2（2）已知函数f(x)在 R 上满足f(x)2 f(2 x)x 8x8，则曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是思路点拨：（1）函数定义域问题只要保证函数解析式的各部分有意义，往往解一些不等式组即可；（2）看似导数求切线的应用，但函数没有明确的

5、解析式，需先求出解析式再求切线分析解答：（1）由2x 0 x 3x4 0得4 x 0或0 x 1,定义域为x|4 x 0或0 x 1；（2）由f(x)2 f(2 x)x 8x8得f(2 x)2 f(x)(2 x)8(2 x)8，即2 f(x)f(2 x)x 4x4，f(x)xf(x)2x，切线方程为22/22y1 2(x1)，即2x y1 0解后点拨：对于函数定义域的考查很少单独去考查，往往隐含在某些函数的解答题的考查过程中，尤其注意在考查对数函数是必须注意其定义域，一些同学往往在对对数求导之前不注意定义域，求导后形式变了就很难再会注意到定义域；同样对于值域问题，同学们特别注意指数函数的值域、

6、“勾子y x1”函数的值域，值域问题也往往渗透于某些思想方x法或解答题过程中，如利用换元法时新元的取值范围实际上就是一个函数的值域问题；函数解析式一般较少考查，高考 中对未告知函数解析式的函数一般会就地来研究抽象函数的性质，而不会追问这样的抽象函数的解析式是什么！考点考点 2 2分段函数分段函数例 2：定义在R上的函数f(x)满足f(x)log2(1 x),x 0，则f(x1)f(x2),x 0f(2009)思路引导：分段函数的求值问题实际是认清什么时候选择那段解析式；从f(2009)中的 2009 可以看出需要分析出函数类似于周期性的一些性质简化“2009”这样的一个大数。分析解答：由已知得

7、f(1)log22 1,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,所以函数f(x)在x 1,xZ时其值以 6 为周期重复性出现.,所以f(2009)f(5)1解后点拨：本题主要考查了分段函数，但并不是简单的分段函数求值、分段函数不等式问题，还涉及到对数的运算、周期性的判定；只有三者合一才能准确的解出此题。此题的关键是当x 1,xZ时函数呈现出周期的规律性，很多同学没有耐性，未能准确推出其周期是本题失分的最主要原因。考点考点 3.3.函数图像函

8、数图像例 3：（1）函数y tanxsinx tanxsinx在区间(yyy23,)内的图象是22y3222-o22-3222-xoxo32xxo2-32ABCD（2）为了得到函数y lgx3的图像，需要把函数y lgx的图像上所有的点如何变10换思路引导：（1）本题并不是让同学直接来画函数图象，从下面的四个备选图形，可以需要研究函数的单调性、取值变化；（2）主要考查函数图象的平移变换：左右平移、上下平移。分析解答：（1）当x(2,)时sin x 0,tan x 0，tanxsinx sinxtanx所以32原函数可化为y 2tan x；当x(,)时sin x 0,tan x 0，tanxsi

9、nx tanxsinx，原函数可化为y 2sin x；所以图像为 D（2）y lgx向左平移 3 个单位得到y lg(x3)，然后再向下平移1 个单位得y lg(x3)1，即y lgx310解后点拨：图像变换问题可分为两类,一是函数图像的平移变换，二是函数图像的对称变换；这是高考的重点内容；解答此类问题的关键是深刻理解图像变换的含义及其性质，把握住变换图像与变换后图像的函数抽象解析式及其相互关系。考点考点 4.4.函数的性质单调性函数的性质单调性2x 4x,x 02例 4：已知函数f(x)若f(2a)f(a),则实数a的取值范围是24x x,x 0思路引导：对于f(2 a),f(a)，如果按照

10、“分段函数分段考虑”来处理的话很显然非常的繁琐，虽然f(x)是分段函数，但其在R 上仍然是连续单调增加的；所以根据单调性来处理f(2 a)f(x)分析求解：f(x)x 4x,x 0所以f(x)在0,)单调递增，同理f(x)在(,0)单调增，又两图像段在x 0处接轨，所以f(x)在 R 上是增函数（也可画出函数图像得到），从而有2a a，解得2 a 1解后点拨：本题主要考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解。函数的单调性是高考的常考点，高考一是考察函数单调性的论证和判断；二是考查单调性在比较函数值大小、解抽象不等式、求函数值域或参数范围等等问题中的应用；考点考点 5.5.函数的性

11、质奇偶性函数的性质奇偶性例 5：已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是思路引导：利用函数的奇偶性、单调性，并借助函数图象可解；分析解答：由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|)，得f(|2x1|)f()，再根据22221313f(x)的单调性得|2x1|112解得 x 333解后点拨：函数的奇偶性包含两个方面，一是函数奇偶性定义的应用，常结合求函数解析式或参数值进行考查，二是对具有奇偶性的函数图像对称性的应用，主要解决函数图像的识读和判断。考点考点 6.6.函数的性质周期性函数的性质周期性例 6：已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x

12、),且在区间0,2上是增函数,试比较f(25),f(11),f(80)的大小关系思路点拨：一般比较大小我们可以借助于函数的单调性来处理，但要比较的的三个函数值f(25),f(11),f(80)并不是处在某一个单调区间内，所以需要先将它们都转化到同一个单增或减区间内，利用函数的周期性可以做到这一点。分析解答：因为f(x)满足f(x4)f(x),所以f(x8)f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数,则f(25)f(1),f(80)f(0),f(11)f(3),又因为f(x)在 R 上是奇函数，f(0)0,得f(80)f(0)0,f(25)f(1)f(1),而由f(x4)f(x)得f(11)f

13、(3)f(3)f(1 4)f(1),又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(1)f(0)0,所以 f(1)0,即f(25)f(80)f(11)解后点拨：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题；考点考点 7 7：函数与方程思想、函数零点问题：函数与方程思想、函数零点问题例 7：已知a是实数，函数fx 2ax 2x 3 a，如果函数y fx在区间1,12上有零点，求a的取值范围.思路引导：函数f(x)中x前系数不定，需要对其分类讨论，若函数f(x)为二次函数，则在1,1上函数有几个零点又成为分类的标准；分析解答：若a 0,f(x)2x3,

14、显然在1,1上没有零点,所以a 0令 48a3a8a 24a4 0,解得a 22372当a 37时,y fx恰有一个零点在1,1上;2当f1 f1a 1a 5 0，即1 a 5时，y fx在1,1上也恰有一个零点；当y fx在1,1上有两个零点时,则a 0a 0 8a224a4 0 8a224a4 011或1 11 12a2af1 0f1 0f 1 0f1 0 解得a 5或a 352352综上所求实数a的取值范围是a 1或a 解后点拨：函数与方程思想、零点存在定理、一元二次方程根的分布这部分知识在于对函数的相关思想的灵活考查！考点考点 8.8.导数的几何意义导数的几何意义例 8：若存在过点(1

15、,0)的直线与曲线y x和y ax2思路引导：“求切线设切点”利用导函数知识可求解。33分析解答：设过(1,0)的直线与y x相切于点(x0,x0)，所以切线方程为315x9都相切，则a等于4y x03 3x02(x x0)3，215252当x0 0时，由y 0与y ax x9相切可得a ，4643272715当x0 时，由y x与y ax2x9相切可得a 1；244425综上有a等于1或-6423即y 3x0 x2x0，又(1,0)在切线上，则x0 0或x0 解后点拨：对于求切线问题，通法是：设切点，接着抓住切点处导函数值等于切线斜率可求出切点，进而解决切线问题。在这里提醒同学们注意“过某点

16、的切线”与“在某点处的切线或是以某点为切点的切线”是不同的。考点考点 9.9.导函数的应用求单调区间与极值导函数的应用求单调区间与极值例 9：已知函数f(x)13ax bx2 x3,其中a 03（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?（2）已知a 0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围.思路引导：利用导函数可解决三次函数的极值问题2分析求解：（1）由已知得f(x)ax 2bx 1,令f(x)0,得ax 2bx1 0,2f(x)要取得极值,方程ax22bx1 0必须有解,所以 4b 4a 0,即b a,此时方程ax 2bx1 0的根为2222b4b24abb2a

17、2b4b24abb2ax1,x2,2aa2aa所以f(x)a(x x1)(x x2)当a 0时,xf(x)f(x)(-,x1)增函数x1(x1,x2)减函数x20极小值(x2,+)增函数0极大值所以f(x)在 x 1,x2处分别取得极大值和极小值.当a 0时,xf(x)f(x)(-,x2)减函数x 20极小值(x2,x1)增函数x10极大值(x1,+)减函数所以f(x)在 x 1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当a,b满足b a时,f(x)取得极值；（2）要使f(x)在区间(0,1上单调递增,需使f(x)ax 2bx1 0在(0,1上恒成22ax1ax1,x(0,1恒成立,所以b ()m

18、ax22x22x1a(x2)ax1a1a,设g(x),g(x)2222x22x2x立，即b 令g(x)0得x 11或x (舍去),aa当a 1时,0 11ax1)时g(x)0,g(x)单调增函数;1,当x(0,a22xa当x(1ax1,1时g(x)0,g(x)单调减函数,22xa所以当x 11)a.时,g(x)取得最大,最大值为g(aa所以b a当0 a 1时,1ax11,此时g(x)0在区间(0,1恒成立,所以g(x)在区间22xaa1a1,所以b 22a1综上,当a 1时,b a;当0 a 1时,b 2(0,1上单调递增,当x 1时g(x)最大,最大值为g(1)解后点拨：主要考查三次函数利

19、用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间 上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值。运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题；考点考点 10.10.函数、导数与不等式恒成立等综合问题函数、导数与不等式恒成立等综合问题例 10：设函数f(x)x(xa)（xR R），其中aR R（1）当a 1时，求曲线y f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；（2）当a 0时，求函数f(x)的极大值和极小值；（3）当a 3时，证明存在k10，使得不等式f(k cos x)f(k cos x)对222任意的xR R恒成立。思路引导：本小题

20、主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方（1）解：当a 1时，f(x)x(x1)x 2x x，得f(2)2，且232f(x)3x24x1，f(2)5；所以，曲线y x(x1)2在点(2，2)处的切线方程是y 2 5(x2)，整理得5x y 8 0。（2）解：f(x)x(xa)x 2ax a x2322f(x)3x24axa2(3xa)(xa)；令f(x)0，解得x 由于a 0，以下分两种情况讨论若a 0，当x变化时，f(x)的正负如下表：a或x a。3xa，3a3 a，a3a(a，)f(x)因此，函数f(x)

21、在x 00a处取得极小值3 a f，且34 a f a3；273函数f(x)在x a处取得极大值f(a)，且f(a)0若a 0，当x变化时，f(x)的正负如下表：x，aaa a，3a3 a，3f(x)00因此，函数f(x)在x a处取得极小值f(a)，且f(a)0；函数f(x)在x a处取得极大值3 a f，且34 a f a3；273（3）证明：由a 3，得a22时，k cosx 1，k cos x 1。1，当k10，322由（2）知，f(x)在，1上是减函数，要使f(k cos x)f(k cos x)，xR R只要k cos x k cos x(xR R)；即22cos2xcos x k2k(xR R)11设g(x)cos xcosx cosx，则函数g(x)在R R上的最大值为22422要使式恒成立，必须k k2，即k 2或k 1所以在区间1，0上存在k 1，使得f(k cos x)f(k cos x)对任意的xR222恒成立。