高二数学易错点例题解析.pdf

《高二数学易错点例题解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学易错点例题解析.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高二数学易错点分析高二数学易错点分析一、数列1、已知Sn求an时,易忽略 n的情况例 1、数列an前 n 项和Sn且a11,an1式。【易错点分析】此题在应用Sn与an的关系时误认为an SnSn1对于任意 n 值都成立，忽略了对 n=1 的情况的验证。易得出数列an为等比数列的错误结论。解 析：易 求 得a21（1）求a2,a3,a4的值及数列an的通项公Sn。3141611。由a11,an1Sn得anSn1n 2故,a3,a439273311141an1anSnSn1ann 2得an1ann 2又a11，a2故该数列从第333331n 1二项开始为等比数列故an1 4n2。n 233S1n

2、 1【知识点归类点拨】对于数列an与Sn之间有如下关系：an利用两者之间SnSn1n 2的关系可以已知Sn求an。但注意只有在当a1适合an SnSn1n 2时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。【练习 1】（2004 全国理）已知数列an满足a11,an a12a23a3Kn1an1n 2则数列an的通项为。1n 1答案：（将条件右端视为数列nan的前 n-1 项和利用公式法解答即可）ann!n 2 22、利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从 1 开始）例 2、等差数列an的首项a1 0，前 n 项和Sn，当l m时，Sm Sl。问 n

3、为何值时Sn最大?【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知Sn=fn na1nn12d d2d n a1n此函数是以 n 为变量的二次22函数，因为a1 0，当l m时，Sm Sl故d 0即此二次函数开口向下，故由fl fm得当x l ml m时fx取得最大值，但由于n N，故若l m为偶数，当n 时，Sn22l m1时Sn最大。2最大。当l m为奇数时，当n【知识点归类点拨】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1 开始）上的函数，因

4、此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的2等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如sn an bn所对应的数列也必然是等差数列的前n 项和。此时由sns anb知数列中的点n,nnn是同一直线n上，这也是一个很重要的结论。此外形如前 n 项和sn ca c所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。【练 2】（2001 全国高考题）设an是等差数列，sn是前 n 项和，且s5 s6，s6 s7 s8，则下列结论错误的是（）A、d 0B、a7 0C、s9 s5D、s6和s7均为sn的最大值。答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项

5、和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答）3、解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例 3、已知关于的方程x 3x a 0和x 3x b 0的四个根组成首项为求a b的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设2223的等差数列，432是方程x 3x a 0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质42知方程x 3x a 0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x 3x b 0的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3 5 7 92735,故a,b

6、从而4 4,4 41616a b=31。8【知识点归类点拨】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列an，若n m p q，则an am ap aq；对于等比数列an，若nm u v，则anam auav；若数列an是等比数列，Sn是其前 n 项的和，k N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列；若数列an*是等差数列，Sn是其前 n 项的和，k N，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练 3】已知方程x 2x m 0和x 2x n 0的四个根组成一个首项为则mn=（

7、）A、1B、答案：C4、用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况例 4、数列an中，a11，a2 2，数列anan1是公比为q（q 0）的等比数列。（I）求使anan1 an1an2 an2an3成立的q的取值范围；（II）求数列an的前2n项的和S2n【易错点分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列anan1是公比为q（q 0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。221的等差数列，4313C、D、428an2an3 anan1q2，解：（I）数列anan1是公比为q的等比数列，an

8、1an2 anan1q，22由anan1 an1an2 an2an3得anan1 anan1q anan1q 1 q q，即q2 q 1 0（q 0），解得0 q 152（II）由数列anan1是公比为q的等比数列，得an1an2a q n2 q，这表明数列ananan1an的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a11，a2 2，当q 1时，S2n a1 a2 a3 a4 a2n1 a2na1(1 qn)a2(1 qn)3(1 qn)(a1 a2 a3 an)(a2 a4 a6 a2n)1 q1 q1 q，当q 1时，S2n a1 a2 a3 a4 a2n1 a2n(a

9、1 a2 a3 an)(a2 a4 a6 a2n)(111 1)(2 2 2 2)3n【知识点归类点拨】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an2 q是解题的关键，这种an给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练 4】设等比数列an的公比为 q，前 n 项和sn 0，求 q 的取值范围。答案：1,0U0,5、在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的

10、前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。例 5、已知数列an是等差数列，且a1 2,a1 a2 a312（1）求数列an的通项公式（2）令bn anxnxR求数列bn前项和的公式。【思维分析】本题根据条件确定数列an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列bn是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（1）易求得an 2nn23n（2）由（1）得bn 2nx令sn2x 4x 6x K 2nx（）则（注意错过一位再相减）xsn 2x2 4x3K 2n1xn 2nxn1（）用（）减去（）x1 xn2n123nn1得1 xsn 2x2x 2x K 2x

11、2nx当x 1snnx1 x1 x当x 1时sn 2 46K 2n nn1综上可得：n2x1 xn1当x 1snnx当x 1时sn 2 46K 2n nn11 x1 x【知识点归类点拨】一般情况下对于数列cn有cn anbn其中数列an和bn分别为等差数列和等比数列，则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。nn1n22n1n【练 5】（2005 全国卷一理）已知un a ab ab K abbn N,a 0,b 0当a b时，求数列an的前 n 项和sn答案：a 1时snn 1an2n 2a

12、n1 a2 2a，当a 1时sn21 ann 32.6、不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例 6、求Sn111111 21 231 23 n【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n项和公式得1 23 n n(n 1)，21211 2()，n取1，2，3，就分别得到1 23 nn(n 1)nn 11111111111，Sn2(1)2()2()2(,)1 1 2 1 2322334nn 1 2

13、(112n)n 1n 1【知识归类点拨】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111，方法还是抓通项，12 222 432 6n2 2n即111 11()，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题n2 2nn(n 2)2 nn 21n n 1，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用目，如：an方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。2

14、21421621(2n)21【练 6】求和Sn22222 14 16 1(2n)1答案：Sn1二、向量1、涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。例 1、下列命题：(a)2(a)2|a|4(ab)c (ac)b111111112nn 1111335572n 12n 12n 1b|=|a|a|b|若ab,bc,则若ac bc，且co，则a bacab，则存在唯一实数，使b a设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使b=0。ab=0，则a=0或b=0。a xe1 ye2成立。若|a+b|=|ab|则a真命题个数为（）A1B2C3D3 个以

15、上【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。rrr2解析：正确。根据向量模的计算a a a判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换rr rrr rr律,这是因为根据数量积和数乘的定义(ac)b表示和向量b共线的向量，同理(ab)c表示和rrrr rrr rr向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(ab)c (ac)b不一定成r rr r立。错误。应为a b a b错误。注意零向量和任意向量

16、平行。非零向量的平行性才具r有传递性。错误。应加条件“非零向量a”错误。向量不满足消去律。根据数量的几何rrr意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。正b=0。错确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故a误。只需两向量垂直即可。答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知，和实数，则向量的数量积满足下列运算律

17、：(交换律)（）（）（）(数乘结合律)()(分配律)说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（），()【练 1】（1）（2002 上海春，13）若 a a、b b、c c 为任意向量，m mR，则下列等式不一定成立的是（）A.（a a+b b）+c c=a a+（b b+c c）B.（a a+b b）c c=a ac c+b bc cC.m（a a+b b）=ma a+mb bD.（a ab b）c c=a a（b bc c）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)设 a a、b b、c c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（a ab b）c c（c ca a

18、）b b=0|a a|b b|a ab b|（b bc c）a a（c ca a）b b 不与 c c 垂直（3a a+2b b）（3a a2b b）=9|a a|24|b b|2中，是真命题的有（）A.D.答案：（1）D（2）D2、利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。B.C.CD，DA，例 36、四边形 ABCD 中，AB，BC，且 ，试问四边形 ABCD 是什么图形?【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零

19、向量，即 0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。解：四边形ABCD 是矩形，这是因为一方面：由 0 得（），即()（）2即 由于，同理有 由可得，且即四边形 ABCD 两组对边分别相等四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形 ABCD可得，代入上式得(2)即，也即 ABBC。综上所述，四边形 ABCD 是矩形【知识点归类点拨】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主

20、干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（a2+b2）=ab2+a+b2（2）向量形式的三角形不等式：a-baba+b(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在 ABC 中，若点 P 满足；AP=AP 必经过 ABC 的内心等等有用的结论。AB|AB|AC|AC|则直线【练 2】（3）（2005 全国卷）ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH m(OAOBOC)，则实数 m=答案：m=13、忽视向量积定义中对两向量夹角的定

21、义。uuu r uuu r例 3、已知ABC中,a 5,b 8,c 7,求BC CAuuu ruu u r【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC和CA夹角为三角形 ABC 的内角 C 导致错误答案.uuu ruu u r解析:由条件a 5,b 8,c 7根据余弦定理知三角形的内角C 60，故两向量BC和CA夹uuu r uuu rBC,CA 120,故据数量积的定义知角为C 60的补角即uuu r uuu rBC CA 58cos120 20.【知识点归类点拨】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是，两直线的夹角的范围是0,1800,9

22、0，两向量的夹角的范围是0,180。【练 3】（2004 上海春招）在 ABC 中，有如下命题，其中正确的是（）uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rruuu ruuu ruuu ruuu r（1）AB AC BC（2）AB BC CA 0（3）若AB AC AB AC 0，则 ABC uuu r uuu r为等腰三角形（4）若AC AB 0，则 ABC 为锐角三角形。A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）答案：C4、向量数积性质的应用。例 4、已知 a a、b b 都是非零向量，且a a+3b b 与 7a a 5b b 垂直，a a 4

23、b b 与 7a a 2b2b 垂直，求 a a 与 b b 的夹角。【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。解析：由(a a+3b b)(7a a 5b b)=0 7a a2+16a ab b 15b b2=0 (a a 4b b)(7a a 2b b)=0 7a a2 30a ab b+8b b2=0 两式相减：2a ab b=b b2代入或得：a a2=b b2设 a a、b b 的夹角为，则 cosa a b bb b21=60。2|a a|b b|2|b b|2【知识点归类点拨】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设与都是非零向量，与的数量积的几何意义是向量在向量方向的单位向量正射影的数量或a aa a a a2 a ab ba a b brrrrrrr【练 4】已知向量ae，|e|1，对任意 tR，恒有|ate|ae|，则（）rrrrrrrrrrrr(A)ae(B)a(ae)(C)e(ae)(D)(ae)(ae)答案：C