高中数学总复习教学案 第七单元《等差数列》.pdf

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1、高中数学总复习题组法教学案高中数学总复习题组法教学案7.27.2 等差数列等差数列新课标要求1理解等差数列的概念和性质；2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题重点难点聚焦等差数列的判断，通项公式、前n项和公式、等差数列的性质应用高考分析及预策等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前 n 项和公式的考察始终没有放松。一方面考查知识的掌握，另一方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力，对这部分的考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档题为主，估计这种考查方式在今后不会有大的变化。题组设计再现型题组1.（08 陕西）已知an是等

2、差数列，a1 a2 4，a7 a8 28，则该数列前 10 项和S10等于（）A64B100C110D1202.(03北京春)在等差数列an中，已知a1a2a3a4a5 20，则a3（）A.4B.5 C.6 D.7*3.设数列an的前n项和为Sn(n N),关于数列an有下列四个命题：*若an既是等差数列又是等比数列，则an an1(n N)；2若Sn an bn(a,b R)，则an是等差数列；a,b,c成等差数列的充要条件是b ac。2*若an是等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m(mN)也成等差数列；其中正确的命题是（填上正确的序号）。4.（2003 年春季上海，12）设 f（x）

3、=12 2x，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.巩固型题组5.(08 山东)Sn为数列bn的前n项和，且满足b11，列，并求数列bn的通项公式.2bn11.证明数列成等差数n 22bnSnSnSn6.等差数 列an的前10项的和S10100,前100项的 和S10010,求前110项的 和S110.7.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12 0，S13 0()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12，中哪一个值最大,并说明理由提高型题组8.（06 上海）已知数列a1,a2,a30，其中a1,a2

4、,a10是首项为 1，公差为 1 的等差数列；a10,a11,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,a30是公差为d2的等差数列（d 0）.（1）若a20 40，求d；（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a30,a31,a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应作为特例）并进行研究，你能得出什么样的结论。反馈型题组8.（2006 全国）设Sn是等差数列an的前n项和，若s31s，则6()s63s123111（B）（C）（D）1038919.（08 广东）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1

5、，S4 20，则S6（）2（A）A16B24C36D4810.（03 年全国，8）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0 的四个根组成一个首项为则|mn|等于1的等差数列，4313C.D.42811.等差数列an中，a100，a110 且 a11|a10|，Sn为其前 n 项和，则A.S1，S2，S10都小于 0，S11，S12，都大于 0B.S1，S2，S19都小于 0，S20，S21，都大于 0C.S1，S2，S5都小于 0，S6，S7，都大于 0D.S1，S2，S20都小于 0，S21，S22，都大于 0A.1B.12.在等差数列an中,am n,an m,则amn的值为 ()（A

6、）mn（B）11(m n)（C）(m n)（D）02213.（04 年春季上海）在数列an中，a1 3，且对任意大于 1 的正整数n，点（an，an1）在直线x y 3 0上，则an_.14.（08 重庆）设Sn=是等差数列an的前n项和，a12 8,S9 9,则S16=15.数列an中，an1 an 3n 54(n N).（1）若a1 20,求an的通项公式an；（2）设Sn为an的前n项和,当a1 27时,求Sn的最小值16.(06北京文)设等差数列an的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn,()若a11 0，S14 98,求数列的通项公式；()若a16，a11 0，S1477，,求所

7、有可能的数列an的通项公式.7.27.2 等差数列等差数列（解答部分）再现型题组【提提 示示 或或 答答 案案】B.提 示：设 数 列 的 公 差 为d,则2a1d 4得a11,d 2.故2a113d 28S1010a1109d 100.2na1an或2【基础知识聚焦基础知识聚焦】考察等差数列的通项公式an a1nn1d和前 n 项和公式SnSn na1nn1d.等差数列中，已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个，便可求出其余两个.要求2选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.【变式与拓展】（03 年全国）等差数列an中，已知a1A.48B.49 C.50D.511,

8、a2a5 4,an 33，则n是3212，再由通项公式得n1 33，解得n 50.333【提示或答案提示或答案】A.示:由a1a2a3a4a5 20得5a3 20故a3 4【答案】C.提示:由已知解出公差d【基础知识聚焦知识聚焦】考察等差数列的性质:数列an是等差数列,若mn pq,则am an ap aq,特别2m pq时,2am ap aq.【变式与拓展】（08 湖北）已知函数fx 2,等差数列an的公差为2.若fa2a4a6a8a10 4,x则log2fa1fa2fa3【答案】6.fa103.【提示或答案提示或答案】.提示:中若数列各项为零时不满足;都是等差数列的性质.*【基础知识聚焦知

9、识聚焦】考察等差数列的相关性质,如若an是等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m(mN)也22成等差数列,公差为k d；数列an的前 n 项和为Sn an bn(a,b R)，是数列an为等差数列的充要条件等.4.【提示或答案提示或答案】32.提示倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到fx f1 x2，有题目特点可得值为3 2.2【基础知识聚焦知识聚焦】考察等差数列前 n 项和公式的推导方法,要善于从式子的结构特征,联想解题方法.巩固型题组5【解】由已知2bn1n 2，又Sn b1b22bnSnSnbn，所以2SnSn1 1 2SnSn1111，又b1 S11，所以数列是首项1即1，所以2

10、SS2S SS SS Snn1nnnn1Snnn1为1，公 差 为11n11的 等 差 数 列，由 上 可 知即Sn所 以 当n 2时，nn1Sn221 2bn SnSn1 2因此bn 2nn1【点评】本题考察等差数列的证明，证明等差数列的基本方法是利用定义，证明anan1常数；（n 2）或利用等差中项，即证明2an an1an1n 2【变式与拓展】已知数列an的前项和为Sn，且an2SnSn1 0n2，a1求证：12 1 为等差数列.Sn6.【解法一解法一】设an的首项为a1,公差d,则111d 10a 109d 10011502解得:S110a 110109d 11011012100a 1

11、10099d 10a 10991121002【解法二解法二】an为等差数列,故可设Sn An Bn,100A10B100则解得 110A B110000A100B10S1101102A110B 110(110A B)110【解法三解法三】S100 S10S110(a11 a100)90 90a11 a100 22110(a1 a110)(a11 a100)110 11022【点评】解法一转化为两个基本量,再求其它问题是重要的方法，也是解决这类问题的通法通解；解法二利用了前 n 项和公式的函数式特征.解法三较为灵活，运用了整体代换的思想方法。【变式与拓展】an为等差数列，Sn m,Sm nm n

12、，求Smn.【答案】m+n.提示：解法同上，下面仅给出一种解法：SmSn an1an2a1amn an1amam1amm-n nm 2a1amn2nmmna a mn.2，Smn1mnmn2121112a d 0，1212a166d 02413127.（1）解：根据题意，有13a1整理得13a178d 0解得 d 3.d 0，72a 2d 121a12d 12，（2）【解法一】因为d 0，a1 a2 a3 a12 a13.13a1a1313a7 0，a7 0.212a1a12 6a1a12 6a6a7 0，a6 0.所以数列的前6项和S6最大.又S122d5d5a1122d,Snn212dn.

13、考 察 函 数y x212dx，【解 法 二】2222b51251224时，y的 取 值 有 最 大 值.又d 0,x d 3，所 以2a2d2d7512136.nN，所以当n 6时Sn最大，即数列的前 6 项和最大.2d2而S13【点评】本题给出的两种解法，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.【变式与拓展】（1）（04 重庆）数列an是等差数列，首项a1 0，a2003a2004 0,a2003a2004 0则使得前 n 项和Sn 0成立的最大自然数 n 是（2）数列an是等差数列，S5 S6,S6 S7 S8，则Sn最大时n=【答案】（1）4006，（2）n 6或n 7.提高型题组7.

14、【解解】1）a1010.a2010 10d 40,d 3.（2）a30 a2010d2101 d d2(d 0)，a3021310d ，24当d(,0)(0,)时，a307.5,且a3010.（3）所给数列可推广为无穷数列an，其中a1,a2,a10是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n1,a10(n1)是公差为dn的等差数列.研究的结论可以是：由a40 a3010d310 1d d2d3。以此类推可得a10n1101d d21dn1d 110当d 0时，a10n1的取值范围是10，dn.1d10n1d 1【点评】方法是基本的转化为基本量,利用通项公式.(3)考

15、查类比的能力.课堂小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明 anan1（n2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）.4.等差数列an中，当 a10，d0 时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当 a10，d0 时，数列an为递减数列，Sn有最大值；当 d=0 时，an为常数列.5.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思

16、想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.反馈型题组8.A.9.D.10C.解析：设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4，则 x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设 x1为第一项，x2必为第 4 项，可得数列为13577151，m=，n=.|mn|=.444416162a1 9d 0,11.B解析：由题意知可得 d0，a10.a 10d 0,1又 a11|a10|=a10，a10+a110.由等差数列的性质知 a1+a20=a10+a110，S20=10（a1+a20）0.12.D13.3n2.解析：将点代入直线方程得ana

17、n1=3，由定义知an是以3为首项，以3为公差的等差数列，故an=3n，即 an=3n2.14.7215.(Sn)min 243.解析：（1）an1 an 3n54,两式相减得an2an 3,a a 3n51n1n2都是d 3 的等差数列a1 20a2 31,a1,a3,a5,与a2,a4,a6,n 13n 431)3;22n3n 68当n为偶数时，an 31(1)3;22当n为奇数时，an 20(（2）当n为偶数时，Sn(a1 a2)(a3 a4)(an1 an)=（3154）+（3354）+3（n1）54=31+3+5+（n1）n54233n227n(n18)2243,44当n 18时,(

18、Sn)min 243;当n为奇数时，Sn a1(a2a3)(an1an)310533n227na1(n18)2216a1,4444当n 17或19时(Sn)min a1216 243;综上,当n 18时(Sn)min 243.16.（1）由S14 98得2a113d 14,又a11 a110d 0,故解得d 2.a1 20.因此an的通项公式是an 222n,n 1,2,3,.S14 77,2a113d 11,2a113d 0（2）由a11 0,得a110d 0,即2a120d 0 2a 12a 6.a 6.11111.71111由+得13d 1,即d .于是 d .又d Z，故d 1.代入得10 a112.13713又a1Z，故a111或a112.由+得7d 11,即d 所以，所有可能的数列an的通项公式是an12n和an13n,n 1,2,3.