高数下公式总结.pdf

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1、高等数学下册公式总结高等数学下册公式总结1、N 维空间中两点之间的距离公式：p(xp(x1,x x2,.,x xn n),Q(y),Q(y1,y y2,.,y yn n)的距离PQPQ (x(x1 y y1)2(x(x2 y y2)2 .(x(xn n y yn n)22、多元函数z z f(x,f(x,y)y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，就可以了。z z表示对 x 求偏导，计算时把 y 当作常量，只对 x 求导 x x 2z z 2z z3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。x x y y y y x x4、多元函数z z f(x,f(x

2、,y)y)的全微分公式：dzdz z z z zdxdx dydy。x x y y5、复合函数z z f(u,f(u,v),uv),u (t),(t),v v (t)(t)，其导数公式：dzdz z z dudu z z dvdv 。dtdt u u dtdt v v dtdt F FX Xdydy,F,Fy y 分别表示对 x,y6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式：，其中F Fx x dXdXF Fy y求偏导数。方程组的情形：F(x,F(x,y,u,y,u,v)v)0的各个偏导数是的各个偏导数是：G(x,G(x,y,u,y,u,v)v)0F FF Fx xv vG GG G u u

3、v vx xv v，x x x xF FF Fu uv vG GG Gu uv vF FF Fu ux xG GG G u uu ux x ，y yF FF Fu uv vG GG Gu uv vF FF Fy yv vG GG Gy yv vF FF Fu uv vG GG Gu uv v，v v 。y yF FF Fu uv vG GG Gu uv vF FF Fy yu uG GG Gu uy y7、曲线 的参数方程是：x x (t),y(t),y (t),z(t),z (t)(t)，则该曲线过点M(xM(x0,y,y0,z,z0)的法平面方程是：(t(t0)(x)(x x x0)(t(

4、t0)(y)(y y y0)(t(t0)(z)(z z z0)0切线方程是：(x(x x x0)(y(y y y0)(z(z z z0)。(t(t0)(t(t0)(t(t0)8、曲面方程F(x,y,z)0 在点M(xM(x0,y,y0,z,z0)处的法线方程是：(x(x x x0)(y(y y y0)(z(z z z0)，F Fx xF Fy yF Fz z (x(x x x0)F Fy y(y(y y y0)F Fz z(z(z z z0)0。切平面方程是：F Fx x9、求多元函数 z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对 x,y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值第

5、二步：求出f fxxxx(x(x0,y,y0)A,fA,fxyxy(x(x0,y,y0)B,fB,fyyyy(x(x0,y,y0)C C第三步：判断 AC-B2的符号，若 AC-B2大于零，则存在极值，且当 A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若 AC-B2等于零则无法判断10、二重积分的性质：（1）（2）(3)kf(x,y)d kf(x,y)dDD f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d(4)若f(x,y)g(x,y)，则（5）f(x,y)dg(x,y)dDDd s，其中 s 为积分区

6、域 D 的面积D（6）m f(x,y)M，则ms（7）积分中值定理：f(x,y)d MsDf(x,y)d sf(,)，其中(,)是区域 D 中的点DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对 y，后对 x 的积分或先对 x，后对 y 的积分形式）bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dy dycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分

7、、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为 x x (t)(t)y y (t)(t)，(t t )，则 L Lf(x,y)dsf(x,y)ds f f(t),(t),(t)(t)2(t)(t)2(t)dt(t)dt （2）格林公式：(D D Q Q P P)dxdy)dxdy x x y y PdxPdx QdyQdyL LL L14、向量的加法与数乘运算：a (x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka (kx1,ky1,kz1)，ab(x1x2,y1y2,z1z2)，若a b，则x1y1

8、z1x2y2z215、向量的模、数量积、向量积：若a (x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长a x12 y12 z12；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）a bb a x1x2 y1y2 z1z2b a a b cos a,b，其中 a,b 表示向量b,a的夹角，且若a b，则有a b0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）iab x1x2jy1y2kz1(y1z2 y2z1)i(x2z1 x1z2)j(x1y2 x2y1)k，其中i,j,k是 x 轴、z2y 轴、z 轴的方向向量16、常数项无穷级数 un u1u2u3.un.，令snu1u

9、2u3.un称为无n1穷级数的部分和，若limsn s，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是：若 un收敛，则必有limun 0n1x17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数1是发散的，无须证明就可以直接引用n1nn（2）几何级数 aq，当q 1时收敛，当q 1时发散n1（3）p 级数1，当p 1时收敛，当p 1时发散pn1nn118、正项级数 un的判敛方法：（1）比较判敛法：若存在两个正项级数 un，vn，且有vn un，若un收敛，则vn收n1n1敛；若vn发散，则un发散（2）比较判敛法的极限形式：若limun l,(l 0)，则un和vn具有相

10、同的敛散性xvnun1l，若l 1，则原级数收敛，若l 1，则原级xun（3）比值判敛法：对于 un，limn1数发散19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法：同时满足unun1及limun 0，则级数收敛，否x则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于 un，若 un收敛，则称其绝对收敛；若 un发散，n1n1n1但是 un收敛，则称其条件收敛n121、函数项无穷级数形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x).un(x).，通常讨论的是n1幂级数形如：anx a0a1xa2x a3x.anx.，n0n23n（1）收敛半径及收敛区间：liman11,则收敛半径R，收敛区间则为(R,R)，

11、但xan是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证(2n1)xnn-1x（2）几 种 常 见 函数 的幂 级 数 展 开 式：e ，sin x，（-1）n0n!n1(2n1)!x11x2nn x，(1)nxn，cosx (1)n01 xn0(2n)!1 xn0n22、常微分方程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程：y f(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程：y f(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令dydx的形f(y)f(x)yxyu，则原方程化简为可分离变量方程形式u xu f(

12、u)来求解x（3）一阶线性微分方程：形如y p(x)y f(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程y p(x)y 0的解y cQ(x)，然后使用常熟变易法，令c u(x)，把原方程的解y u(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)，再带入y u(x)Q(x)中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy 0的方程，只要满足xyp(x,y)Q(x,y)，yx则称其为全微分方程，其解为u 0p(x,y)dxQ(x,y)dy0（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种：y f(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解第二种：y f(x,y)的形式，首

13、先令y z，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程z f(x,z)的形式，继续求解即可第三种：y f(y,y)的形式，同样令y z，由于y z dzdz dydzy，所以dxdy dxdy原方程转化为一阶微分方程dzz f(y,z)的形式，继续求解即可dy（6）二阶常系数齐次微分方程：y pyqy 0，求解时首先求出该方程对应的特征方1程r2 pr q 0的解r1,r2，若实根rc2e2；若实根r1 r2，则解1 r2，则解为y c1er xr x为y (c1c2x)e1；若为虚根abi，则解为y eax(c1cosbxc2sinbx)rx（8）二阶常系数非齐次微分方程：y pyqy Pm(x)e，求解时先按（7）的方法求其r x对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解yxQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数，而 k 根据特征方程的解r1,r2与 r 的关系取值，m(x)同次的多项式，若 r 与特征根不相等，则k 取 0；若 r 和一个特征根相等，则 k 取 1；若 r 和特征根都相等，则 k 取 2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即ky y1 y