四年级奥数第三讲-数阵图含答案.pdf

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1、第三讲数阵图一、知识点：一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。在解答这类问题时，要善于确定所求的和及关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和及关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。二、典例剖析：二、典例剖析：例（例（1 1）将 16 分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和都等于 9.分析：分析：因为 123456=21，而每条边上的三个数的和为 9，则三条边上的和为

2、93=27，2721=6，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的和为 6，在 1-6中，只能选 1、2、3 填入三个顶点中，再将 4、5、6 填入另外的三个圈即可。解：解：.a.b.c.1356126242181463765343515d.e.23423练一练：练一练：465f.3 4123165把 18 个数分别填入中,使每条边上三个数的和相等.答案:例（例（2 2）把 17 填入下图中,使每条线段上三个内的数的和相等.5分析分析：中心圆填入的数设为 x，x 参及 3 条线的连加，设每条线数字和都为 S.由题意：6421+2+3+7+2x=3S即 28+2x=3S 或 2

3、8+2x0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小 x 应该取值的范围.在 mod3 情况下，只要试探 x0，1，2 三个值，很轻松地解出：x1（mod3），回复到 x 取值范围为 1，2，7.有 x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求 S（公共和）及 x（参及相加次数最多的圆中值）.解：解：a.b.c.67721453653第 1 页1426431725练一练：练一练：把 111 填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案:111710例（例（3 3）把 20 以内的质数分别填入下图的一个中，使

4、得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。526分析分析：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20 以内43共有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数，两两之和相等的有895197171113解：解：于是得到下图的填法。练一练：练一练：将 18 个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为 20,21,22.答案:a.b.c.14383121例（例（4 4）在右图的六个内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于 20，而且每个三角562655形（共 5 个）顶点上的数字之和都相等。347787846分析：分析：因为大三角形的三个顶点及中间

5、倒三角形的三个顶点正好是图中的六个，又因为每个三角形2顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为 20210。10 分为三个质数之和只能是 235，由此得到右图的填法。解：解：练一练：练一练：把 19,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.答案:36189例（例（5 5）将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定74有52证明：证明：设中心数为 d。由上讲例4 知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为 2db，右下角的数为 2d-c（见下图）。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d

6、-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），第 2 页3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac，2cab，值得注意的是，这个结论对于 a 和 b 并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。练一练：练一练：在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于 90。答案:例（例（6 6）在右图所示立方体的八个顶点上标出 19 中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于 k，并且 k 不能被未标出的数整除。分析：分析：设未被标出的数为 a，则被标出的八个数之和为 129-a45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所

7、有顶点数字之和为6k3（45-a），2k45-a。2k 是偶数，45a 也应是偶数，所以 a 必为奇数。若 a1，则 k22；若 a3，则 k21；若 a5，则 k20；若 a7，则 k19；若 a9，则 k18。因为 k 不能被 a 整除，所以只有 a7，k19 符合条件。由于每个面上四个顶点上的数字之和等于 19，所以及9 在一个面上的另外三个顶点数之和应等于 10。在 1，2，3，4，5，6，8 中，三个数之和等于 10 的有三组：第 3 页10136145235，解：解：将这三组数填入 9 所在的三个面上，可得下图的填法。练一练：练一练：把 112 这十二个数,填入下图中的 12 个内

8、,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.答案：模拟测试（模拟测试（3 3）91127461、把 18 这 8 个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都210相等.53112、把 19 个数分别填入中,使每条边上四个数的和相等.83、把 110 填入图中,使五条边上三个内的数的和相等.4、把 49 填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是 18.5、将 19 这九个数分别填入图中内,使每条线段三个数相等.6、把 18 这 8 个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.7、把 09 填入 10 个小三角形中,使每 4 个小三角形组成

9、的大三角形的和相等.8、图有五个圆,它们相交相互分成 9 个区域,现在两个区域里已经填上 10 及 6，请在另外七个区域里分别填进 2.3.4.5.6.7.9 七个数,使每圆内的和都等于 15.9、把 18,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.10610、在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么x().x1、把 116 这 16 个数,填入图中的 16 个内,使五个正方形的四个顶点上内数的和相等.2、将 1-12 这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和 26.3、将 110

10、 这十个数分别填入下图中的十个内,使每条线段上四个内数的和相等,每个三角形三个顶点上内数的和也相等.13和?5、把 116 填入下图中,使每条边上 4 个数的和相等,两个八边形上 8 个数的和也相等.模拟测试（模拟测试（3 3）解答解答1、174、把 111 这 11 个数分别填入如下图 11 个内,使每条虚线上三个内数的和相等,一共有几种不同的2、4392第7 4 页51648238157 a b623、64.9 564689541783358101297745、6、7=16-54+16357218632 4=8946058761057293243617、8、9=9、10、3811、2757516151113 273115894136510 12、13、11717 14、41014512 15、61310910461122479611897591289481651118125231523314131164107第 5 页