高考数学真题分类汇编函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性.pdf

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1、函数的单调性与最值、函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性一、选择题一、选择题1.(2014湖北高考文科T9)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为()A.1,3B.-3,-1,1,3C.27,1,3D.27,1,3【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,求出函数在 R 上的解析式,再求出 g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选 D.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x2-3

2、x,x23x,x 0所以f(x)2x 3x,x 02x 4x3,x 0所以g(x)2x 4x3,x 0由x 0 x 4x3 02，x 0 x 4x302解方程组可得.2.（2014湖北高考理科10）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x)1(|xa2|x2a2|3a2)，若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范21 16633,C.,D.,3 36633围为（）A.,B.1 16 6【解题提示】考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立x3a2,x 2a2222【解析】选 B.依题意，当x 0时，f(x)a,a x 2a，作图可知，f(x)的最 x,0 x a2小值为

3、a，因为函数f(x)为奇函数，所以当x 0时f(x)的最大值为a，因为对任意22实数x都有，f(x1)f(x)，所以，4a(2a)1，解得2266 a，66故实数a的取值范围是66,.663.（2014湖南高考理科3）已知f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3 x21,则f(1)g(1)()A3B1C1D3【解题提示】由奇函数和偶函数的定义，把x=-1 代入即可。【解析】选 C.把 x=-1 代入已知得f1 g11,所以f1 g11。4.（2014湖南高考文科4）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)上单调递增的是（）A.f(x)123xB.f(x)x

4、1C.f(x)xD.f(x)22x【解题提示】根据基本初等函数函数的奇偶性和单调性解答。【解析】选 B。选项具体分析A幂函数fx x2是偶函数，且在第二象限是增函数。BCD指数函数fx 2x二次函数fx x21是偶函数，且在第二象限是减函数。幂函数fx x3是奇函数，且是增函数。结论正确错误错误错误1 是非奇非偶函数，且是减函数。2x5.(2014广东高考文科T5)下列函数为奇函数的是()A.2x-1B.x3sinxC.2cosx+1D.x2+2xx2【解题提示】奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0.【解析】选 A.几个函数的定义域都关于原点对称,原点处

5、有定义,故应满足 f(0)=0,此时 2cosx+1和 x2+2x不符合题意;又 2x-113sinx 满足 f(-x)=f(x),所以只有 f(x)=2x-满足 f(-x)=-f(x),但 x是奇2x2x函数.6.（2014上海高考理科18）(x a)2,x 0,设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）.1x a,x 0.xA.1,2B.1,0C.1,2D.0,2【解题提示】本题需对 a 分类讨论，若 a0,f(0)是 f(x)的最小值，应有f(0)a2 2a,即得.【解析】若a 0,f(x)(xa)2的最小值应为f(a)而非f(0),不符合题意.1a的x最小值为2+a

6、,若f(0)为最小值，应有a2 2+a,即0 a 2.若a 0,f(x)(xa)2的最小值为f(0)a2,f(x)x所以a的取值范围为0,2.答案：D.7.（2014浙江高考文科7）与（2014浙江高考理科6）相同32（2014浙江高考文科 7）已知函数f(x)x ax bxc且0f(1)f(2)f(3)3，则（）A.c 3B.3 c 6C.6 c 9D.c 9 1abc 84a2bc1abc 279a3bcf(1)f(2)f(3)【解析】选 C.由得，a 632b 11，解得所以f(x)x 6x 11xc，由0f(1)3，得01611c3解得6c9328、（2014浙江高考理科6）已知函数f

7、(x)x ax bxc且0f(1)f(2)f(3)3，则（）A.c 3B.3 c 6C.6 c 9D.c 9【解题指南】由等式关系求a,b的值，由不等关系求c的范围.1abc 84a2bc1abc 279a3bcf(1)f(2)f(3)【解析】选 C.由得，a 632b 11f(x)x 6x 11xc，解得，所以由0f(1)3，得01611c3解得6c99.（2014辽宁高考文科 10）已知则不等式ffx为偶函数，当x 1cosx,x0,2fx2x1,x1,0时，2，x 112的解集为1 24 7(A),4 33 41 34 7(C),3 43 4311 2(B),434 3311 3(D),

8、433 4fx12，再利用图像的平移知识解不等式【解题提示】借助偶函数的性质，先解不等式1fx1.2【解析】选 A.1111x0,cosx x 2时，2得32；当 1113x,2x1 x 2时，2得24；当fx1111313,(x 0)x x x 22或24，即34.的解为3y轴对称，则在函数的定义域内，不等式所以不等式由于偶函数的图像关于fx12的解为3113 x x 43或34.函数fx1的图像可以看作由fx的图像向右平移 1 个单位得到的，故不等式fx1 211247,x x 42的解为43或34，即解集为34 7,3410.（2014山东高考文科9）对于函数f(x)，若存在常数a 0，

9、使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2a-x)，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A、f(x)xB、f(x)x2C、f(x)tan xD、f(x)cos(x1)【解题指南】本题为新定义问题，准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选 D 由f(x)f(2a-x)可知fx关于x a对称，准偶函数即偶函数左右平移得到的.二、填空题二、填空题11.（2014湖南高考文科15）若fx ln e3x1 ax是偶函数，则a _.【解题提示】利用偶函数的定义求解。【解析】由偶函数的定义得f x fx，即ln e3x1 ax ln e3x1 ax，3x 2ax,a 答案:32。32三、

10、解答题三、解答题2xa12.（2014上海高考理科20）设常数a 0，函数f(x)x2 a（1）若a=4，求函数y f(x)的反函数y f1(x)；（2）根据a的不同取值，讨论函数y f(x)的奇偶性，并说明理由.【解题指南】(1)根据反函数定义可得原函数的反函数，但要注意定义域。（2）根据奇偶函数的定义分类讨论，可得.【解析】2x4(1)a 4,f(x)x y2 44y44y42x,x log2,y1y1调换x,y的位置可得y f1(x)log24x4,(x(,1)(1,)x1(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)对任意x均成立，2xa2xax=x,整理可得a(2x2x)0,2 a2a2x2x不恒为0，a 0,此时f(x)1,xR,满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)-f(x)对任意x均成立，2xa2xax=-x，整理可得a21 0,a 12 a2a2x1a 0,a 1,此时f(x)x,x 0,满足条件；2 1综上所述，a=0时，f(x)是偶函数；a=1时，f(x)是奇函数；