教案例第一讲整体与部分.pdf

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1、第一讲第一讲 整体与部分整体与部分 3 3姚正安 1.3 1.3重极限和路径极限重极限和路径极限本节我们考察多元函数的极限,也就是整体极限(重极限)与部分极限(方向极限或路径极限)的关系.为方便起见,我们仅讨论二元函数的极限,当然包括全微分和方向导数,以及上、下极限与连续性.值得注意的是单变量函数与多变量函数的根本区别在于对单变量而言趋于某点仅有两个方向,而对多变量却有无穷多个方向,而趋于某点的路径则更多.问问题题1.3.1海涅Heine定理:lim fx,y存在的充要条件是对任给的点列xx0yy0Pn,limPnn P0 x0,y0,Pn P0,Pn落在fx,y的定义域内且lim fPn存在

2、.n证明:本问题的证明与问题1.2.4的证明完全类似,证明留给读者在多就是函数中,所谓的方向极限即沿某一方向取极限.所谓的路径极限即是沿某一路径取极限问题问题1.3.2重极限存在，则任两条路径极限存在且相等.分析:所谓的路径极限即是某曲线C落在fx,y的定义域中,且此曲线C过点x0,y0,当x,yC,取x,yx0,y0时fx,y的极限.证明:设xx0yy0lim fx,y A,则对任给的 0,存在 0,当0 x x0,0 y y0且x,y落在fx,y的定义域中时,有fx,y A.由 路 径C过 点x0,y0,且x,yC,x,yx0,y0,从 而 当0 x x0,0 y y0时,有fx,y A,

3、于是有x,yx0,y0 x,yClimfx,y A.方向极限当然是一种路径极限,从而当重极限存在时,落在定义域的方向极限一定存在，反之不一定正确，我们也常用问题 1.3.1 的逆否命题来证明。下面我们来介绍一种常规的扰动技巧。问题 1.3.3（1）证明当（x,y)(0,0)时，函数xy的方向极限存在但重极限不存x y在；x2y（2）lim4不存在，但沿任意方向，方向极限为0。x0 x y2y0【证明】（1）设通过原点的方向为0，则方向极限为2cos0sin0 xylimlim 0,0(cossin)x yx000y0 xcos0ysin0我们看到x y 0不在定义域内，但如某点无限靠近x y

4、0，则xy可充分大，x y我们用扰动方法，取C:y x x,则3(x,y)Cxyx(x x3)lim lim3x0 x0 x yxy0不存在。由问题 1.3.2，知limxy不存在。x0 x yy0（2）取C1:y 0，则(x,y)C1x2y0lim4 lim 0。24x0 x0 x yxy0取C2:y x，则2(x,y)C2x2yx41。lim4 lim24x0 x0 x y2x2y0 x2y由问题 1.3.2 知lim4不存在，但对任给的方向0:x cos0,y sin0，x0 x y2y0方向极限为：x0y0 xcos0,ysin0limcos20sin0 x2y limx4 y202c

5、os40sin20（i）sin0 0，则cos0 1，从而此方向极限为 0。（ii）sin0 0,则方向极限为cos20sin00lim2 0。20cos4sin2sin000注意：从问题 1.3.3 的（2）可知，二元函数与一元函数的极限已有区别，在一元函数中，两个方向极限（左、右极限）存在且相等，则极限存在，但这里则不然，即使对任给的方向极限存在且相等，但重极限任可能不存在。问题 1.3.4 设f(x,y)的定义域是连通的（即任给定义域中两点，可用一折线连结），则xx0yy0lim f(x,y)L的充要条件是(x,y)沿任何连续曲线趋于(x0,y0)时，f(x,y)趋于L。【证明】问题 1

6、.3.2 已证明了必要性，下证充分性。任取(xn,yn)(x0,y0)，由连续性依次连接点列(xn,yn)的相邻各点即得一连续曲线，那么f(x,y)则沿此连续曲线趋于(x0,y0)时，f(x,y)趋于L。因(xn,yn)为任意趋于(x0,y0)的点列，根据海涅（Heine）定理，lim f(x,y)L。xx0yy0其实，从证明中我们看到，如果f(x,y)的定义域为有限个连通分支，问题 1.3.4 仍正确，只是我们把落在各连通分支的点分别做一连续曲线，然后可证得相应结论，现在我们可以弄清单变量函数与多变量函数的本质区别，对单变量而言，通过点(x0,y0)的连续路径总摆脱不了左、右方向趋于(x0,

7、y0)，而对多变量区域而言，一连续路径可能根本不沿任何方向，而是绕“曲线”趋于(x0,y0)，如y x x，所以方向极限非本质极限，这也反映了单变量函数部分极限的简单性和多边量函数部分极限的复杂性。同样对单变量函数和多变量函数的微分学而言，由定义域简繁导致了本质的区别，在单变量微分学中，可导必可微，对于多变量微分学，甚至即使所有的方向导数存在也未必可微。3问题 1.3.5 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可微，必存在所有方向的方向导数，而且相反方向的方向导数互为相反数。【分析】先弄清可微与方向导数的概念。令(x x0)(y y0)x y，所谓的可微即是存在常数A、B 使得2222limz

8、 dz0 0这里z f(x,y)f(x0,y0)f(x0 x,y0y)f(x0,y0)，dz A(x x0)B(y y0)Ax By。而沿方向0的方向导数为limf(x0cos0,y0sin0)f(x0,y0)0。【证明】设z f(x,y)在(x0,y0)可微，则由z dz()，得f(x0cos0,y0sin0)f(x0,y0)Acos0 Bsin0o()。由此沿0的方向导数为f Acos0 Bsin0。0又注意到0的反方向为0，我们有(cos(0),sin(0)(cos0,sin0)，所以可证最后的结论。在方向导数中取00，即为偏导数ff，取0，即得偏导数，这是在可微的yx2前提下，如果不可

9、微，即使沿00的方向导数存在，也未必有f存在。例如取x0,x 0,则沿00的方向导数存在，但f(x,y)1,x 0,ff(0 x,0)f(0,0)limxx0 x不存在。一般地，我们知道，可微必可导，可微必连续，但连续与偏导数存在一般没有什么关系，而且问题 1.3.5 的逆命题不正确。问题 1.3.6 证明f(x,y)数不存在，从而不可微。但偏导x2 y2在(0,0)沿任何方向的方向导数存在且相等，【证明】f0 lim(0,0)f(cos0,sin0)f(0,0)0 lim01。0f但x同理 lim(0,0)x0 xx202 lim不存在。x0 xxfy不存在。我们亦可用问题 1.3.5 来证

10、。(0,0)即使有偏导数存在，各方向导数存在也未必可微。问题 1.3.7 证明f(x,y)在(0,0)不可微。xy在(0,0)存在偏导数，且存在各方向导数，证明f(x,y)【证明】fx(0,0)limx0 x 0f(0 x,0)f(0,0)lim 0。x0 xx同理fy(0,0)0。对方向0，有f(cos0,sin0)f(0,0)f lim00另外，假定f(x,y)在(0,0)可微，则cos0sin0dz z dzfxx(0,0)fyy 0，(0,0)从而lim0 0。但z dzf(cos,sin)lim0 lim0cossin 0（这里x cos,y sin），矛盾。从此问题的证明中我们可以

11、看到可微要求的是更强的条件，因为可微仍是一个二元函数的极限，只是此时的变量为（x,y)，所以我们有问题 1.3.8 设z f(x,y)的定义域为有限个连通分支，则f(x,y)在(x0,y0)可微的充要条件是f(x,y)沿过点(x0,y0)的连续路径在点(x0,y0)路径可微。【证明】所谓路径可微，即是沿连续曲线C:x x(t),y y(t),lim y(t)y0有tt0limz dz0 0，仿问题 1.3.4 的证明即可证得本问题成立。从问题 1.3.6 可看到方向导数存在不一定存在偏导数。下面来探讨二者之间得关系，它们依然是部分与整体得关系。问题 1.3.9 偏导数fx(x0,y0)(fy(

12、x0,y0)存在得充要条件是沿 0(2)和()得方向导数存在且其值相反。【证明】必要性设32x0limf(x0 x,y0)f(x0,y0)A，x则limf(x0cos,y0sin)f(x0,y0)0f(x0,y0)f(x0,y0)，lim0 Alimf(x0cos,y0)f(x0,y0)0f(x0,y0)f(x0,y0)lim0f(x0,y0)f(x0,y0)0f(x0 x,y0)f(x0,y0)lim A。x0 x lim充分性设limf(x0,y0)f(x0,y0)f(x0,y0)f(x0,y0)lim A00则limx0f(x0 x,y0)f(x0,y0)A。x同理可证关于fy(x0,y

13、0)的相应结论。这里为什么不是两个方向导数相等而一元函数中这是两个方向导数相等呢？这是因为在这里取正值，而在一元函数中，右导数limx0f(xx)f(x),x为正，而左导数xlimx0f(xx)f(x)中，x为负。此外注意到问题 1.3.6,1.3.7 的例中f(x,y)有方向导x数，其方向导数与其反方向的方向导数不互为相反数，所以我们可以继续举下面的例。问题 1.3.10证明x2y(x,y)(0,0)22（1）f(x,y)x y0(x,y)(0,0)在(0,0)有各方向导数存在，各方向与其相反方向的方向导数互为相反数，但在(0,0)不可微。x3y(x,y)(0,0)（2）f(x,y)x6 x

14、20(x,y)(0,0)其结论与（1）相同。【分析】注意（1）中f(x,y)是连续的，并且在问题 1.3.5 的证明中A fx(x0,y0)，B fy(x0,y0)，而（2）中f(x,y)在(0,0)不连续。【证明】（1）由fx(0,0)lim同理fy(0,0)0。另一方面，x0f(0 x,0)f(0,0)0 lim 0。3x0 xxf(cos0,sin0)f(0,0)f lim003cos30sin002 lim cos20sin0，0ff cos2(0)sin(0)cos20sin0。(0)但注意如果取04，此时若按问题 1.3.5 的证明有f2（因为A fx(0,0)B fy(0,0)0

15、）,Acos Bsin(A B)00442但这里f2 cos2sin 0，0448由此f(x,y)在原点(0,0)不可微。（2）易证fx(0,0)0，且fy(0,0)0。f(cos0,sin0)0f lim004cos3sin06cos602sin20cos30sin0 lim lim4 0。00cos6sin200（分sin0 0和sin0 0两种情况讨论）下证f(x,y)在(0,0)不连续。取路径y x，则3x61lim f(x,y)lim6 f(0,0)0。x0 x02x2y0yx3由此f(x,y)在(0,0)不连续。当然在(0,0)不可微。我们这里讨论的是二元函数与一元函数有本质区别的概念和问题，至于相同形式的如上、下极限，上、下连续等我们作为练习留给读者。中山大学20XX 年考研复试分数线