数列通项公式求法大全(配练习及答案).pdf

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1、数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法一、公式法一、公式法an a1(n1)d dna1d(nN*)an a1qn1a1nq(nN*)q二、累加法二、累加法an1 an f(n)例例 1 1已知数列an满足an1 an2n1，a11，求数列an的通项公式。an n例例 2 2已知数列an满足an1 an23n1，a13，求数列an的通项公式。（an3nn1.）2三、累乘法三、累乘法an1 f(n)an例例 3 3已知数列an满足an1 2(n1)5nan，a13，求数列an的通项公式。n(n1)2（an32n15n!.）an1 2(n1)5n，进而求an评注：本题解题的关键是把递推关系a

2、n1 2(n1)5nan转化为出anan1an1an2a3a2a1，即得数列an的通项公式。a2a1求an的通项(n1)an1(n 2)，例 4 已知数列an满足a11，an a12a23a3公式。（ann!.）2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n 2)转化为an1 n1(n 2)，an进而求出anan1an1an2a3从而可得当n 2时，an的表达式，最后再求出数列an的a2，a2通项公式。四、待定系数法四、待定系数法an1 panqan1 pan fnan2 pan1 qan（其中 p，q 均为常数）。例例 5 5已 知 数 列an满 足an1 2an35n，a1 6

3、，求 数 列an的 通 项 公 式。（an 2n15n）评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 2an35n转化为an15n1 2(an5n)，从而可知数列an5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例例 6 6已知数列an满足an13an52n4，a11，求数列an的通项公式。（an133n152n2）评 注：本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式an13an52n4转 化 为an152n12 3(an52n2)，从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列an52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例例 7 7已知数列an

4、满足an1 2an3n 4n5，a11，求数列an的通项公式。（an 2n423n210n18）2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 2an3n 4n5转化为an13(n1)210(n1)18 2(an3n210n18)，从而可知数列进而求出数列an3n210n18的通项公式，最后再an3n210n18是等比数列，求出数列an的通项公式。五、五、递推公式为Sn与an的关系式(或Sn f(an)解法：这种类型一般利用anS1(n 1)SnSn1(n 2)12n2例例 8 8 已知数列an前 n 项和Sn 4 an式an.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公六六例例 9 9 已知数列a

5、n满足an13an23n1，a13，求数列an的通项公式。解：an13an23n1两边除以3则n1，得an1an21，3n13n33n1an1an21，故3n13n33n1ananan1an1an2an2an3()()(n3)nnn2n233an1an1333(a2a1a11)2333212121213(n)(n1)(n2)(2)3333333332(n1)11111(nnn1n22)13333331n1(13)an2(n1)3n2n11因此n，133133223n则an211n3n3n.322n评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an23 1转化为进而求出(an1an21，3n13n3

6、3n1anan1an1an2an2an3)()(n3)nn1n1n2n2333333(a2a1a1an)，即得数列n323133的通项公式，最后再求数列an的通项公式。七、对数变换法七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（当通项公式中含幂指数时适用）5例例 1010已知数列an满足an1 23nan，a17，求数列an的通项公式。55解：因为an1 23nan式两边取，a1 7，所以an 0，an1 0。在an1 23nan常用对数得lgan15lg annlg3 lg2设lgan1 x(n1)y 5(lgan xn y)11将式代入11 式，得5lg annlg3 lg2 x(n1)y

7、 5(lgan xn y)，两边消去5lg an并整理，得(lg3 x)n x y lg2 5xn5y，则lg3x lg3 x 5x4，故lg3lg2x ylg2 5yy 164代入11 式，得lgan1由lga1得lganlg3lg3lg2lg3lg3lg2(n1)5(lgann)1241644164lg3lg3lg2lg3lg3lg21 lg71 0及12 式，41644164lg3lg3lg2n 0，4164lgan1则lg3lg3lg2(n1)41645，lg3lg3lg2lgann4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n是以lg7为首项，以 5 为公比的等41644164lg3

8、lg3lg2lg3lg3lg2n1n(lg7)5，因此比数列，则lgan41644164所以数列lganlgan(lg7lg3lg2lg3lg3lg2n1lg3n)54644164141614n1n4(lg7lg3 lg3 lg2)5lg(73 32)514116141411614n1lg3 lg3lg211614n411614lg(3 32)n411614 lg(73 32)5n1lg(3 32)lg(75n13 lg(75n13n15n1n435n11162)5n114)5n4n11625n114则an 7535n4n11625n114。5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an

9、1 23nan转化为lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n1)5(lgann)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lgann是等比数列，进而求出数列lgann的通项41644164lgan1公式，最后再求出数列an的通项公式。八、迭代法八、迭代法3(n1)2例例 1111 已知数列an满足an1 an，a15，求数列an的通项公式。n3(n1)23n2解：因为an1 an，所以an an1nn13(n1)2an3n22n2n13(n1)n2 an22(n2)(n1)3(n2)23(n1)n2an3n32(n2)(n1)a33(n2)(n1)n2(n3)(n2)(

10、n1)n3(n3)(n2)(n1)a13 a13n123(n2)(n1)n212n1n(n1)n!22又a15，所以数列an的通项公式为an 53n1n!2n(n1)2。n3(n1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1 an两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan，即lgan1 3(n1)2n，再由累乘法可推知lgann(n1)2lganlgan1lganlgan1lgan2n1lga3lga2lga1 lg53n!2lga2lga1，从而an53n1n!2n(n1)2。九、数学归纳法九、数学归纳法例例 1212 已知数列an满足an1 an8(

11、n1)8，a，求数列an的通项公式。1(2n1)2(2n3)29解：由an1 an88(n1)a 及，得1229(2n1)(2n3)8(11)88224(211)2(213)29925258(21)248348a3 a2(221)2(223)2252549498(31)488480a4 a3(231)2(233)249498181a2 a1(2n1)21由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。2(2n1)(211)218（1）当n 1时，a1，所以等式成立。(211)29(2k 1)21（2）假设当n k时等式成立，即ak，则当n k 1时，2(2k 1)8(k 1)22(2k 1)(2

12、k 3)ak1 ak(2k 1)218(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)21(2k 3)28(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)28(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)(2k 3)(2k 1)(2k 1)2(2k 3)2222(2k 3)21(2k 3)22(k 1)1212(k 1)12由此可知，当n k 1时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。*十、换元法十、换元法例例

13、 1313 已知数列an满足an11(14an 124an)，a11，求数列an的通项公式。1612(bn1)24解：令bn 124an，则an故an1121(bn11)，代入an1(14an 124an)得241612112(bn11)14(bn1)bn24162422即4bn1(bn3)因为bn 124an 0，故bn1 124an1 0则2bn1 bn3，即bn1可化为bn1313bn，221(bn3)，2所以bn3是以b13 124a13 12413 2为首项，以列，因此bn3 2()1为公比的等比数212n1111()n2，则bn()n23，即124an()n23，得222an2 1n1n1()()。3 423评注：本题解题的关键是通过将124an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn113bn形式，从而可知数列bn3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式，22最后再求出数列an的通项公式。