4. 高阶微分方程与微分方程组.doc

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1、 4 高阶微分方程与微分方程组一、 高阶微分方程与微分方程组的互化已给一个 阶方程n()n-1( ) =, , , ,L, ( )y f x y y yyn设 = , = , = , =y y y y y y y y(n-1)，那末解上面 阶微分方程就相当于解下面 个一阶微分方程的方n n1程组23ndy= y1dxdy2= y2dx3LLLLLdy= yn-1dxdyn()= f x, y , y , yL,n dx12ny y式中 , , 看作自变量 的 个未知函数.yx n反过来，在许多情况下，已给 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个 阶微分方程.比1 2nnn如，两个一阶微分方程的方

2、程组 dy()= f x, y , y1dx112(1)dy(, ,= f x y y2 dx212将方程(1)对 求导数xd y f ff2=+f +1f1111dx 2x yy212记作d y()2= F x, y , y(2)1dx 212从方程(1)中解出y2()y = y x, y , y2211代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程d y(F)2= x, y , y1dx 211(F x y y f f)这里函数, , 由函数 ， 所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为1211一个二阶微分方程.二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法1.将方程写成y = ( )

3、(n) f xd( )f x( ) =n-1ydx积分后得到 ( )y( ) = xxf x dx + cn-110重复这一过程到积分n次，就得到微分方程的通解：( ) ( )c x - xc x - x ( )( )n-1n-2( )y =xLxf x dx +L+ c x - x + cn( )( )n - 2 !1020n -1!xx0n-10n0n( ) ( )1c x - xc x - x ( ) ( )n-1n-2( )xx -x f x dx+L c x x- + c=+ +( )n -1!n-11( )02( )0n -1!n - 2 !n-10nx02. ( ,F x y )

4、=0(n)1 若能解出y )，则方程化成类型1求解.(n2 若不能解出y )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解：(n设函数j(t),y(t) (atb)满足F(j(t),y(t)0则原方程可写成参数形式(n)x=j(t), y =y(t)由dy = y dx=y(t)j(t)dt(n-1)(n ( ) ( )( )y( ) = y t j t dt + c = y t,c得n-1111又由dy =y dx=y (t,c )j(t)dt(n-2) (n-1)11 ( ) ( )( )y( ) = y t,c j t dt + c = y t,c ,c得n-2112212最后得原方程

5、的参数形式的通解( )()x = j t , y = y t,c ,c ,L,cn12n3. (F y , )=0y(n)(n-1)1 若从方程可解出y(n):y(n)=f(y(n-1)则令y =z，上式化成(n 1dz( )= f zdx这是变量可分离的方程，设解为那末化成类型1z=w(x,c )1y =w(x,c )(n-1)1其通解为1c( )( ) ( )( )n-2y x = xx -x w x,c dx +x - x+L+ c( )n-2(2)n - 2 !n - 2 !10nx0(n)，但原方程可写成参数形式：2 若不能解出y)y =j(t), y =y(t)(n-1)(n)则从

6、dy = y dx(n-1) (n( )j tx =( )dt + c, y( ) = j t得( )n-1y t按类型2的方法，可得通解（参数形式）( )( )y tj t()x =dt + c, y = j t,c ,c ,L,cn-112n-14. (F y , )=0y(n)(n-2)设方程可解出y(n)：y =f(y )(n)(n-2)令z=y ，方程两边乘以2z化成(n-2) d(z )=2f(z)dz2积分后有( ) = 2d + f z z cz1用分离变量法求得那末w( , , )z= x c c12yw( , )(n-2)= x c c1,2再积分 -2次就得原方程的通解.

7、n三、 线性微分方程组1. 齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组齐次与非齐次 线性微分方程组的一般形式为 dy( )( )( ) ( )L= a t y + a t y + + a t y + f t1dt1111221nn1dy( )( )( ) ( )L= a t y + a t y + + a t y + f t2(1)dt2112222nn2LLLLLLLLLLLLLdy( )( )( ) ( )L= a t y + a t y + + a t y + f tnt dn11n22nnnna t f t i式中 ( )和 ( ) ( = 1,2,L, ; = 1,2,L, )都是自变

8、量 的已知连续函数.如果至少有一个 ( )n k f tntikii不恒等于零，则称(1)为非齐次线性微分方程组.如果所有 ( )都恒等于零，则称(1)为齐次线性f ti微分方程组，它的一般形式是 dy( )( )( )L= a t y + a t y + + a t y1dt1111221nndy( )( )( )L= a t y + a t y + + a t y2(2)dt2112222nnLLLLLLLLLLLLLdy( )( )( )L= a t y + a t y + + a t ynt dn11n22nnn如果齐次线性微分方程组(2)与非齐次线性微分方程组(1)具有相同的系数（即

9、对应的 ( )都a tik相同），就称(2)是非齐次线性微分方程组(1)的对应的齐次线性微分方程组.解的存在定理 如果线性微分方程组(1)的所有系数a(t)和右端函数f (t)在区间(t ,t )内连iki1 2t t t t续，那末方程组(1)在此区间的每一点 ( )都存在唯一满足初始条件( , , )的t y (0)y (0)0 1020 1nt t解，而且这个解定义在整个区间( , )内.1 2解的基本结构1 齐次线性微分方程组的任意两个解的线性组合还是这个方程组的解.2 含n个未知函数的齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的n个线性无关解的线性组3 含n个未知函数的非齐次线性微分方程组

10、的通解可以表示成它的一个特解与它的对应合.的齐次线性微分方程组的通解的和.2. 常系数线性微分方程组微分方程组 dy( )= a y + a y +L+ a y f t+1dt11 11221nn1dy( )= a y + a y + + a y + f tL2(3)dt21 12222nn2LLLLLLLLLLLLLdy( )= a y + a y +L+ a y f t+n dtn1 1n22nnnn称为常系数线性微分方程组，式中a 是常数.当f (t)0 (i=1,2,n)，称(3)为齐次的，当f (t)不ijii全恒等于零，称(3)为非齐次的.特征根与齐次方程组的线性无关解a - la

11、LLaa11121naa - l22= 0212nLLL LLL LLL LLLaaLa - ln1是 的 次代数方程，它称为非齐次线性微分方程组 所对应的齐次线性微分方程组的特征n2nn n(3)方程，特征方程的根称为特征根.根据特征根的不同情形，给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式.线性无关解中相应的解的形式( j = 1, 2,n )tjjjy (t) P (t)elPj(t)是系数待定的次数不超=t( j = 1, 2,n )jj= i k y (t) = e Q (t) cosbt + R (t)sinbt 是重复根， j 是系数待定的次jjjj数不超过 k-1 次的多项式(

12、j = 1, 2,n )用常数变易法求非齐次方程组的特解 非齐次线性微分方程组(3)的一个特解，可由对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得.设y,y ,y ;y ,y ,y ;y ,y ,y 是对应的齐次线性微分方程组的n个线性无关解.11 21n1 12 22n21n 2nnn那末非齐次线性方程组的一个特解y *,y *,y *可由下列形式确定n12( ) ( )( )( ) 1n y = c t y + c t y +L+ c t y*11( ) 112( ) 12ny = c t y + c t y +L+ c t y*2121222n2nLLLLLLLLLLLLLL( ) (

13、 )y = c t y + c t y +L+ c t y( )*n1n12n2nnn式中c (t)是待定函数，它们满足下列方程组：idcdcdc( )y+ y+L+ y= f t12ndtdtdtdc11121n2n1dcdc( )y+ y+L+ y= f t12ndtdtdt21222LLLLLLLLLLLLLLLdc dc dc( )y+ y+L+ y= f tn1dt2dtdtn1n2nnndc dc, ,L,dc从上面方程组解出，再积分就得出所要求的c (t) (i=1,2,n)n12dt dt例 求解微分方程组：dti dx= x + 2y - e-tdt(1)(2)dy= 4x

14、+ 3y + 4e-tdt解 先求对应的齐次线性微分方程组dx= x + 2ydtdy= 4x + 3ydt的通解.由特征方程1- l 24 3- l= 0可知特征根为 =5, = -1.则相应的线性无关解是如下形式：l( )( )=x t A e5tx t B e-t1121( )( )y t = B e-ty t = A e5t1222分别代入齐次线性方程组(2)，利用待定系数法，确定出A =c , A =2c ,（ 是任意常数）c11211B =c , B =- c , （ 是任意常数）c12222所以齐次线性方程组 (2)的通解为( )( )y t=+x t c e5t c e-t12

15、c c（ , 是任意常数）= 2c e - c e125t-t12其次，利用常数变易法求非齐次线性方程组(1)的一个特解.把c , 看成是 的函数，解下列ct12方程组 dcdce5t1+ e-t= -e-t2dtdt2e5t dc - e-t dc = 4e-t12dtdt得dcdc= e ,= -221-6tdtdt积分后，取1 ( )c t= - e-5t61( )c t = -2t2于是所求方程组(1)的通解是1( )x t = c e5t + c - - 2te-t6121( )y t = 2c e5t + 2t - - c e-t321c c式中 , 为任意常数.12四、 常系数非

16、齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法（消去法）微分算子与逆算子 记 ( )( )( )df td f td f t( )= Df t ,( ) ( )( ) ( )n-1 n2n= DDf t = D f t ,L,DD f t = D f t=2dtdt 2dtn( )P D = D + a D +L+a D + a a ,a , ,称D,D ,D 为微分算子.一般地引进微分算子（2nnn-11n-1n12an是常数）规定它的意义是( ) ( )( )( )n-1( )P D f t = D f t + a D f t +L+a Df t + an1n-1n1还引进微分算子的逆算子，

17、D的逆算子记为 ，规定它的意义是Dkk1( ) ( )( )f t = L f t dt(k为正整数)kDk123k1P(D)的逆算子记为，它满足条件( )P D 1( )P D( ) ( )f t = f t ( ) P D1( )f t注意，的结果不是唯一的，而是一族函数.( )P D微分算子的简单性质与运算公式1 若 c ，c ，c 为常数，则o12k12k1c f (t) + c f (t) +L1 12 21 122k k=c P(D)f (t)+ c P(D)f (t)+1122kk11k1121k2 若 P（D）= P （D）P （D），o12121f (t) =P(D)f(t)

18、 = P (D)P (D)f(t)121221=(交换律)21（交换律）113 P(D)e = e P()e tott114 P(D ) sin bt = P(-b ) sin btbo222b2 5 P(D ) cos bt = P(-b ) cos bto22bbP ( D)2b211g(t)P(D)(位移定理)设 P(0) = a 0,则7on1kk -101kL)kk -1k01k其中Q (D) = a + +L+ a D a Dkk01k将 P(D)(按 D 的升幂排列),依一般的多项式除法规则去除 1,在第 k+1 步得到的商,当商中得到 k次多项式时,除法停止,这 k 次多项式即

19、 Q (D).k上表中左栏各等式的意义是通常的，而右栏各等式的意义则是等号两边的函数族相同.用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解1 方程P(D)x=f(t)，其中f (t)是t的k次多项式.kk分两种情形：(i) P(0)0.依上表公式7得( ) ( ) ( )x t = Q D f tkk(ii) P(0)=0.此时P(D)=Q(D)Dr（整数 1），而rQ(0)0.依上表公式 有211 1( )x t =( )( )f t =kf t ( )( )kP DD Q Dr( ) 1( )f t ，则设 $x t=( )Q D k1( )x t =( )$x tDr( )( )2 方程P

20、D x = el f t( )f t() 0 .P ）（当 为常数时tkk依上表公式6 ，一个特解为11( )( )( )x t = ( )e f t = e ( ) f t t tP D + lP Dkk3 方程P ( D ) x = cosb ( ) 或 ( ) = s i n b ( ) .t f tP D xt f tkk考虑辅助方程( )( )P D x = e f tbi tk它与方程2同类型，设它的一个特解是( ) ( ) ( )x t = x t + ix t( )12( )那末方程有一特解P D x = cos btf tkx(t)=x (t)1 ( )( )而方程P D x

21、 = sin tf tbk有一特解x(t)=x (t)24 方程P ( D) x = cos t 或P ( D ) x = sin t .2b2b若 (P - b )0，则由上表公式4，5得211( )x t =( )( )cos bt = cos btb2P D2P -或11( )x t =( )( )sin bt = sin btb2P D2P -P - b )=0,则有正整数 和多项式 ( (- b )0)使若 (2rQ Q2( ) ( ) ( )+ b 2 r Q DP D2= D22可按方程1 (ii)的方法处理.用算子解法（消去法）求线性微分方程组的解 消去法是解代数方程组的有效方

22、法之一.d引进微分算子 D = 之后，同样适用于解线性微分方程组.下面用具体例子来说明这个方法.dt设已给线性微分方程组dx dx-+ x = -t12 dtdt1d x dx2-+ 3x - x = e122tdt 2dt12应用微分算子，上面方程组可写成( )D +1 x - Dx = -t(1)( )12( )D + 3 x - D +1 x = e(2)22t12x x x x把这个方程组看成两个未知数 , 的代数方程组.利用消去法，依次解出 , .1 2D +11 2- D- t- D( )x =( )D2+ 3 - D +11e2t- D +1D +1- DD +1 - t( )x

23、 =D2+ 3 - D +12D2+ 3 e t2即()( )( )( )( )2- D- D+ D -1 x = D +1 t + De= 1+ t + 2e2t1D3322t()( )1D2+ D -1 x = D +1 e2t + D2+ 3 t = 3e2t + 3t2先解(1),为此先求其对应的齐次方程(D)- D+ D -1 x = 0321的通解.特征根为 =1, = , =i-i123所以齐次方程的通解为( )x t = c e + c cost + c sin t(c ,c ,c 为任意常数)t1123123再用算子解法，求方程(1)的一个特解( )1+ t + 2e =11

24、1( )( )1+ t +=2e2tx t12t- D + D -1D - D + D -1D - D + D -1D323232由前表公式7有 1( ) ( )( )1+ t = - 1+ D 1+ t = -2 - tDD33- D2+ D -1由前表公式3有1122e = 2e= e2t2t2t- D+ D -12- 2 + 2 -1 5232得到方程(1)的特解25( )=- - 2x t1e2tt最后得出方程(1)的通解2( )x t = c e + c cost + c sint + e2t - t - 2t51123x t为求出 ( )，(1)减(2)得( )2x = D- D + 2 x - t - e2t221x t用 ( )代入即得13( )( ) ( )x t = 2c e + c - c cost + c + c sint + e2t - 3t - 3t5212323