高三数学二轮复习《数列》学案.pdf

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1、江苏省赣马高级中学江苏省赣马高级中学 20062006 届高三第二轮复习数学第届高三第二轮复习数学第 1919 讲讲数列的应用学案 019一、考试要求：一、考试要求：1能运用等差数列公式解答简单的问题。2能运用等比数列公式解决简单的问题。二二 考点扫描考点扫描1、数列与其它章节的综合题：数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部份也有文泛的应用。2、数列的控索性问题：探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求。3、等差数列和等比数列的综合问题。4、数列的实际应用：现实生活中

2、涉及到银行利率、企业投金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决。三、主要方法：三、主要方法：1解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；3在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求四、小题训练1）某种细菌在培养过程中,每隔20分钟分裂一次(一个分裂成二个)经过3小时这种细菌由一个可繁殖成_个.（2）一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10 次着地时,共经过

3、了多少米?3）弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）（A）0颗B）4 颗（C）5颗（D）11颗4）已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x 2)2 f(x 1)f(x)，且f(1)2,f(3)6，则f(2005)_。（5）an为等比数列，bn为等差数列，an 0,bn 0,a1 b1,a2 b2,公差 d0,公比 q1，则an与bn(n3)的大小关系是（）Abn an Bbn an Cbn an Dbn an四典型例题例例1 1。已 知 数 列a2n的 前n项 和 为Sn n (a 1)n

4、(aR).设 集 合A(aSn)|n N12n,n,B(x,y)|4x2 y 1,x,yR.(1)求数列an的通项公式;(2)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上?并说明理由;(3)“A B至多只有一个元素”是否正确?如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.例例 2 2。(2005 湖南卷)已知数列log2(an1)nN*)为等差数列，且a1 3,a3 9.（）求数列an的通项公式；（）证明11aa11.21a3a2an1an例 3已知数列an为等差列,a2 7,a515.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn是数列an的前 n 项和,请比较S2nSn2与S

5、n1的大小.（例 4设数列an是等差数列,a5 6.（1）当a3 3时,请在数列an中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列;（2）当a*3 2时,若自然数n1,n2,nt,(tN N)满足5 n1 n2 nt,使得a3,a5,an1,an2,ant,是等比数列，求数列nt的通项公式.五、强化训练1 等比数列an中，a1512，公比q 12，用n表示它前 n 项的积：n a1a2.an，则1，2，.n中最大的是（）A11B10C9D82已知函数f(x)2xx 2，当x11时，xn f(xn1)(n 2,nN*)，求数列xn的通项公式x2005。3有四个命题：一个等差数列an中，若存在ak1

6、 ak 0(k N)，则对于任意自然数n k，都有an 0；一个等比数列an中，若存在ak 0,ak1 0(k N)，则对于任意n k，都有an 0；一个等差数列an中，若存在ak 0,ak1 0(k N)，则对于任意n k，都有an 0；一个等比数列an中，若存在自然数k，使akak1 0，则对于任意n k，都有anan1 0，其中正确命题的序号是_。5数列c1n1n的前 n 项和为Tn,cn n(2),n N.求证:Tn 4.6 已知数列log2(an1)nN*)为等差数列，且a1 3,a3 9.证明1a a1a11.213a2an1an7已知函数f(x)x x2a2(a 0).(1)求f

7、(x)的反函数f1(x)及其定义域;(2)数列an,aana13 a,an1f1(an)(nN),设bna,数列bn的前 n 项和为Sn,试比较Sn与7的大小,并证明结论.na8解解:(1)设yx x2a2(a0),则yx x2a2,y22yxx2x2a2,xy2a22y(1分)yxyy2a2y2a2(ya)(ya)2y2y2y0,ya或ay0.所求的反函数是:f1(x)x2a22x,其定义域是:x|ax0或 xa.(4 分)a22na(2)2aaa2aan1a2na,n1nana2(62abn1naa2(a)b2分)2n.n1aann2aaan又aa11 3aa113a,b1aa2,11 3

8、abnb2482n1n1bn2bn3(b1)(1)2n12(8 分)Sn b1 b2 b1(1)2n(1)4(1)8(1)2n122222(9 分)2n 1(11)n 11C1n 1n 1C2n 1 Cn 1,则当n 4时,有2n11C12(n1)(n2)n1Cn11(n1)2n1,(12 分)(1)2n1(1)n1(13 分)S1122n2(12)2(12)4(12)5(12)n11214116161(12)n371(1)n3781628(14 分)湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 20062006 届高三第二轮复习数学第届高三第二轮复习数学第 1919 讲讲180 9次,四、小题训练（1）错解

9、一由题意每次分裂数构成等比数列,公比为2,共繁殖四典型例题例例 1 1。解。解:(1)当n 1时,a1 S11 a 1 a(1 分)当n 2时,an SnSn1n2(a 1)n(n 1)2(a 1)(n 1)2n a 2n 120a89 a1q 256个错解二 由题意每次分裂数构成等比数列,公比为2,共繁殖18020 9次,细菌由一个可繁殖成Sa1(1q10)2101101q211023 正解 由题意知,每次分裂细菌数 构 成 等 比 数 列an,a11,公 比q 2,共 分 裂18020 9次,第9次 应 为a10,a10 a1q9 512(个)（2）思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推

10、关系式，然而求出an，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了21002100米，因此球第十次着地时共经过的路程为1001(1)9100100100100100222228100 30011米23）解析：最上面一层放1 个，设最上一层是第一层，由上而下共有n层，第k层弹子数为12k(k 1)，总弹子数为12(12 22 n2)112(1 2 n)6n(n 1)(n 2)，由16n(n 1)(n 2)60得n 6，故n 6时剩余最小，且剩余4颗。答案：B（4）解析：由f(x 2)f(x)2 f(x 1)知函数f(x)(x N*)当x从小到

11、大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),f(2005)形 成 一 个 首 项 为2，公 差 为4的 等 差 数 列，f(2005)2(10031)4 4010。答案：4010（5）解析：等比数列bn可以看成关于 n 的指数函数，它是凹函数，等差数列an可以看成关于 n 一次函数。由于a1 b1,a2 b2，相当于图像有两个交点，且最后交点以后，bn图像在an上方，当 n3，bn an。选 B(3 分)可见,当时,满足上式.所以,数列an的通项公式是an 2n a 2(nN)(2)由数列an的通项公式是an 2n a 2,可知数列aSn(a1 an)n(anan是等差

12、数列.n2)S12,nn2(an a).点(aSn的坐标满足方程y 12(x a),点(aS1n,n)n,nn)在直线y 2(x a)上.所以,以集合 A 中的元素为坐标的点(aSn1n,n)均在直线y 2(x a)上(3)由y 12(x a),消去 y,得2ax a2 4当a 0时,方程无解,此时,x2 4y2 4A B ;当a 0时,方程只有一个解x a2 42a,此时方程组也只有一个解,即4 a2x 2a故上述方程组至多有一解,所以A B至多有一个元素2y a 44a例例2 2。（I）解：设 等 差 数 列log2(an1)的 公 差 为d.由a1 3,a3 9得2(log22 d)lo

13、g22log28,即 d=1.所以log2(an1)1(n1)n,即a111n 2n1.（II）证明因为an1，所以n1ana 2n2n1111a a1 a111112n2123n2111.例21a32an1 an2222112n23解解:(1)设公差为 d,由已知可得:a1 5,d 2,所以等差数列an的通项公式为;an 2n 3.(4 分)(2)an的前 n 项和为Sn n2 4n,(6 分)SnSn2(n2 4n)(n 2)2 4(n 2)n(n 4)(n 2)(n S2226)2(n 5)2n1(n 1)4(n 1)(n 1)(n2 2n)(n210n 24)(n2 2n 1)(n21

14、0n 25)(10 分)（n2 2n 1 n2 2n 0,n210n 25 n210n 24 0,n2 2nn210nS Sn2 2n 11,24nn2n210n 251,S21SnSn2 S2n1.(12 分)n1例 4（1）设a3n公差为d,则由a5 a32d,得d 6232,由a2ma3 a5,即33(m3)32 62,解得m 9,即a3,a5,a9成等比数列;6 分(2)a3 2,a5 6,d a5a32 2,当n 5时,an a5(n5)d 2n4,8 分又a3,a5,an1,an2,，ant,成等比数列,则q a56a 3,ant a53t，t 1,2,3,10 分32.又ant

15、2nt4,2nt4 a53t 63t,2nt 23t14,即nt1t 32,t 1,2,3，五、强化训练1 C2 解：由f(xn1)x2xn,f(x)x 2，得x2xn1nx 2，即xnxn1 2xn 2xn1,n11x11,所以，数列1是以首项11，公差为1nxn12xnx12的等差数列。11112xx(n 1)d n,xn，x212005。n122n 12005110033。5解析解析:设想把Tn的值转化成 4 减去一个正数，则可以利用函数值域求解。T11n1 23(1)2 n(12)n122T 1 2(1)23(1)312n222 n(2)n得12T12(1112)2(12)3(12)n

16、1n(12)nnn(1n12)n,1122T4(12)n2n(12)n.可见，T1n1nn 4n 44(2)2n(2)取值一定小于 4，故Tn 4.6 解：设等差数列log2(an1)的公差为 d.由a13,a39得 2(log22d)log22log28,即 d=1.所 以log2(an1)1(n1)n,即an 2n1.因 为1a a11n1nn，所 以n1na2211a1 11 1 1 1112n2n2111231.2a1a3a2an 1an2 2 22112n2湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 20062006 届高三第二轮复习数学第届高三第二轮复习数学第 2020 讲讲1（1）证明：由已知

17、可得an确定后，an1表示如下：an1=an(14%)(1an)16%即a4n1=80%an+16%=5a+4n25（2）解：由a4444441=244n4n5an+25可得：an15=5（an5）=（5）（an15）=(5)(a15)故有a1 4n431 4n4314n1n1=2(5)5，若an15.则有2(5)55.即2(5)两边同时取对数可得lg2 (n 1)(2lg2lg5)(n 1)(3lg21)故n lg 213lg 21 4，故使得上式成立的最小n N*为 5，故最少需要经过 5 年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.2解：（1）因为A型车2006年关税税款为2001年关税税款

18、的25%，故所减少了的关税税款为3275%24（万元）。所以，2006年A型车的价格为64 24 40（万元）。因为在2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，所以有：B型车价格 4090%36（万元）。因为2001年B型车的价格为46万元，故五年中至少要降价10万元。所以平均每年至少降价2万元。2）根据题意，2001年存入的33万元5年后到期时连本带息可得33(118%)5（万元）。因为33(118%)5 331518%10(18%)2 3607692（万元），所以够买一辆（1）中所述降价后的B型汽车。3解：（1）a 800800(115)800(11n14nn5)40001(5)bn 400 400(114)400(11n15n4)1600(4)1（2）bnan 0 n 5，至少经过5 年。（