不定积分与定积分部分典型例题 .pdf

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1、不定积分与定积分部分典型例题不定积分与定积分部分典型例题例例1 1 验证F(x)两个函数的关系.分析分析 依原函数的定义,若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数,即有11(1 ln x)2和G(x)ln2x ln x是同一个函数的原函数,并说明22F(x)G(x)f(x),则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.所以,只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.11 ln xxx111 ln xG(x)ln xxxx1121 ln x2所以F(x)(1 ln x)和G(x)ln x ln x是同一个函数的两个原函数.22x112112且有F(x)(1 ln x)ln

2、x ln x G(x)2222解解 因为F(x)(1 ln x)说明两个原函数之间仅相差一个常数.例例 2 2 已知某曲线 y=f(x)在点 x 处的切线斜率为12 x,且曲线过点(4,3),试求曲线方程.分析分析 根据不定积分的几何意义,所求曲线方程为过点(4,3),斜率是f(x)12 x的积分曲线.解解y f(x)dx 12 xdx x c且曲线过点(4,3),即3 于是所求曲线方程为4 c,得出c 34 1y x 1例例 3 3 判断下列等式是否正确.（1）d11 x2dx 11 x2dx（2）(sin x)dx cos x c（3）deln x1dx 1dxx2分析分析（1）,（2）根

3、据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解解（1）依照不定积分的性质df(x)dx f(x)dx所以,等式d11 x2dx 11 x2dx成立.（2）依照不定积分的性质f(x)dx f(x)c所以,等式(sinx)dx cosx c不成立.正确的应为(sin x)dx sin x c（3）由定积分定义,baf(x)dxF(b)F(a)是一个确定的数值,因此,对函数先求deln x1dx 定积分再求导数等于对一个数值求导数,所以结果应该为零.即等式错误,dx1x2deln xdx 0.正确的结果应为1dxx例例 4 4 计算下列积分：（1）(x 1x3)2dxex)dx（2）e

4、(3 2sin xxx（3）20sin xdx分析分析 对于（1）,（2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形；对于（3）,注意到被积函数带有绝对值符号,而在积分时,绝对值符号是一定要打开的,且在积分区间0,2上有0 x sin xsin x sin x x 2利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解解（1）将被积函数变形为(x 1x3)2 x 1x3213xx21213)dx xdx dx 3dxxxxx(x)2dx=(x =121x 2ln x 2 c.22x（2）将被积函数变形为ex1xe(3)(3e)sin2xsin2xxx再利用积分公式

5、和积分运算性质得1exx(3e)dx dxe(3)dx 22sin xsin xxx(3e)xcot x c=ln31(3)20sin xdx sin xdx sin xdx02 cos x0 cos x 111(1)4.说明：本例在求积分的方法直接积分法.这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质,或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目.在解题中应该注意：1熟悉基本积分公式；2在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将e乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）,变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合.这

6、些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3如果连续试探几次,进行不同的变形后仍无法达到目的,则应考虑其它积分方法求解.例例 5 5 计算下列积分：（1）x2x1 x2dx；ex（2）dxx2(1e)（3）e1ln2xdxxsin3xdx（4）20分析分析 注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）,在计算中要明确被积函数中的中间变量u(x),设法将对x求积分转化为对u(x)求积分.对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点,即“换元变限”.（1）将被积函数x1 x2看成xu2,其中u 1 x,且du 2xdx,于是,xudx 1 1du,这时

7、对于变量u可以利用公式求积分.2uexduexexxxdx u 1 edu e dx（2）将被积函数看成,其中,且,于是,222x2uuu(1e)这样对于变量u 1 e可以利用积分公式求积分.x1(lnx)2u2u2dx u2du,（3）将被积函数看成,其中u ln x,且du dx,于是xxxx这样对于变量u ln x可以利用积分公式求积分.222（4）将被积函数sinx分解成sin xsin x (1cos x)sin x sin x cos xsin x即3分成两个函数积分的和,第一个积分可以由N-L公式直接得到,第二个积分中被积函数视为u2sin x,其中u cosx,du sin x

8、dx解解（1）x1 x2dx=111122d(1 x)du(u 1 x)21 x22u =u c 1 x2cex11xxu 1 e（2）（）dx d(1e)dux2x22(1e)(1e)u =11 c cxu1 e（3）方法 1换元换限.令u ln x,则du 1dx,且当x 1时,u 0,x e时,u 1,于是有x1e11ln2x111dx u2du u3(1303)0 x3033方法 2 只凑微分不换元,不换积分限.e1eln2xdx ln2xd(lnx)1x111(lnx)3(lne)3(ln1)3 3331e32000(4)因为20sin xdx=21cos xsin xdx 2sin

9、 xdx 2cos2xsin xdxsinxdx cosx021对于积分20对于积分20cos2xsin xdx用凑微分法,方法 1 令u cosx,则du sin xdx,且当x 0时,u 1,x 是有2时,u 0,于13122cos2xsin xdx u du u0130301方法 2 只凑微分不换元,不换积分限.2113cos xdcosx cos x330220cos xsin xdx 220说明：第一换元积分法是积分运算的重点,也是难点.一般地,第一换元积分法所处理的函数是复合函数,故此法的实质是复合函数求导数的逆运算.在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分f(u)du容易求原

10、函数.应用第一换元积分法时,首先要牢记积分基本公式,明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立.同时还要熟悉微分学中的微分基本公式,复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式.具体解题时,“凑微分”要朝着f(u)du容易求积分的方向进行.在定积分计算中,因为积分限是积分变量的变化范围,当积分变量发生改变,相应的积分限一定要随之变化,所以,在应用换元积分法解题时,如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法 2）.则积分限不变.而且在换元换限时,新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限,新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限,当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在

11、还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法 2）.由于积分方法是灵活多样的,技巧性较强,一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4）因此,我们只有通过练习摸索规律,提高解题能力.例例 6 6 计算下列积分：（1）(x 1)sin2xdx；（2）20 xe dx；lnxdxx2（3）e1e分析分析 注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v的选择可以参照表 3-1,具体步骤是：1凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为vdx,即vdx dv,使积分变为udv；2代公式,udv uv vdu,计算出du udx3计算积分vdu.在定积分的分部积

12、分公式是baudv uvavdu,它与不定积分的区别在于每一项abbb都带有积分上、下限.注意公式中uva是一个常数,在计算中应随时确定下来,在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号,这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解解（1）设u x 1,v sin2x,则v 1cos2x,由分部积分公式有211(x 1)sin2xdx (x 1)cos2x cos2xdx22x211(x 1)cos2x sin2x c24x2(2)设u x,v e,则v 2e,由定积分分部积分公式有20 xe dx 2xex2x220 2e dx 4e 4e02x2x220 4e 4e

13、4 41ln x x 1（3）因为ln x,elnx1 x e利用积分区间的可加性得到e1elnxdx 1lnxdx lnxdxe11e其中第一个积分为11exlnxdx xln x1dxex11e1第二个积分为最后结果为11211eeeee1e1lnxdx xlnx1dx ee11,1e1e1elnxdx 1lnxdx lnxdx 1e221 2.ee例例 7 7 计算下列无穷限积分：（1）11dx；(x 1)3（2）（3）0e2xdx；1dxxlnx0分析分析 对于无穷限积分（1）求常义定积分af(x)dx的求解步骤为：baf(x)dx F(b)F(a)；（2）计算极限limF(b)F(a

14、)b极限存在则收敛（或可积）否则发散.收敛时积分值等于极限值.解解（1）1b1112dx limdx lim(x1)331bb2(x1)(x1)1b111lim(b 1)2(11)2 ()()2b2418 =（2）01e3xdx lime3xdx lime3xb0b30bbb lim e(3)133be0 13eb11bdx limd(lnx)limln(ln x)e belnxbxlnx说明此无穷积分发散.注意：正如 3.4 中提到的,上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）11112dx(x1)328(x1)1（2）0e1e3xdx e3x3 013（3）11dx d(lnx)ln(ln x)e.exlnxlnx