函数及其基本性质知识点总结 .pdf

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1、1.21.2函数及其表示函数及其表示【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x

2、的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b)注意：注意：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1y tan x中，x k(k Z)2零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数

3、的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式a g(x)b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的

4、函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有 b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函

5、数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:A B给

6、定一个集合A到集合B的映射，且a A,bB 如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象性 质如果对于属于定义域I 内某个区间上的任y yy=f(X)y=f(X)意两个自变量的值 x1、f(x)f(x)2x2,当 x x x x 时，都有1 12 2 f(x)f(x)1f(xf(x)f(x)f(x)，那么就1 12 2 说 f(x)在这个区间上o ox xx x是增函数增函数函数的单调性如果对于属于定义域I 内

7、某个区间上的任y yy=f(X)y=f(X)意两个自变量的值 x1、f(x)f(x)x2，当 x x f(x)f(x)，那么就1 12 2 图象下降为减）o ox xx xx x说 f(x)在这个区间上（4）利用复合函是减函数减函数数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数y fg(x)，令，令u g(x)，若，若y f(u)为增，为增，u g(x)为增，为增，则则y

8、fg(x)为增；若为增；若y f(u)为减，为减，u g(x)为减，则为减，则y fg(x)为增；若为增；若则则y fg(x)为减；为减；若若y f(u)为减，为减，y f(u)为增，为增，u g(x)为减，为减，y yu g(x)为增，则为增，则y fg(x)为减为减a（2）打“”函数f(x)x(a 0)的图象与性质xf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，o ox x分别在 a,0)、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M那么，我们称M是函数f(x)的最大值

9、，记作fmax(x)M一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义性 质如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那 么函数 f(x)叫做奇函奇函数数函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么 函数 f(x)叫做偶偶函函数数图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否

10、关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0)0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数高考函数及其基本性质考点解析考点一：函数定义域1、函数y 1x2x21的定义域是（）A.1,1B.(-1,1)C.-1,1 D.(-,-1)(1,+)2、y 2x3 112

11、 xx考点二：函数值域1、y 3x1，x1，2,3，4，5 (观察法观察法)y x24x6，x1,5(配方法配方法：形如y ax2bxc)y 2xx1(换元法换元法：形如y axbcxd)y xcxd(分离常数法分离常数法：形如y)x1axbx2a1x2b1xc1y 2(判别式法判别式法：形如y)2x 1a2x b2xc22x x2,x g(x)22、设函数g(x)x 2(xR)，f(x)2，则f(x)的值域是x x2,x g(x)9 9 9（A）,0(1,)（B）0,)（C）,)（D）,0(2,)444考点三：分段函数1、已知函数fx2、已知函数fx5x1x 0，求 f（1）+f（1）的值3

12、x2 x 0fx2x 12x21 x 1，求 f f（4）的值xx 13x2,x 1,3、已知函数f(x)2若f(f(0)4a，则实数 a.x ax,x 1,x21,x 04、已知函数f(x),则满足不等式f(1 x2)f(2x)的 x 的范围是_ _x 01,考点四：函数单调性（最值）、函数奇偶性1.如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(,4上是减函数，那么实数a的取值范围是.12.如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间(,1)上是增函数，f(2)的取值范2围.13（2008 全国）函数f(x)x的图像关于（）xAy轴对称 B 直线y x对称 D 直线y x对称C 坐标原点对称4二次

13、函数y x2mx1是偶函数，则函数的增区间为（）A0,)B(,0 C1,)D1,)5.下列函数中,是奇函数且在(0,)上为增函数的是 ()11 Cy x Dy x3xxx 1x a为奇函数，则实数6（2007 年宁夏）设函数fxa xAy x3 x By xx1,x 07若函数f(x)为偶函数，则f(a b)axb,x 08 已知偶函数f(x)在(0,)上为增函数，且f(2)0，解不等式：f(2x3)0)上为增函数，9设奇函数f(x)在(0，且f(1)0，则f(x)0的解集为（）A(1,)B(,1)(0,1)C(,1)D(1,)(,1)10设偶函数f(x)在0,)上为减函数，则不等式f(x)f(2x1)的解集是11函数f(x)x2在区间2，3上的最大值为x