三角恒等式证明专题.pdf

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1、课课题题教学目标教学目标重点、难点重点、难点个性化辅导讲义个性化辅导讲义三角恒等式证明专题三角恒等式证明专题通过对三角函数的综合知识整理及复习达到熟练掌握基础知识，及灵活运用三角函数公式。提高利用数型结合思想分析题意的能力，三角函数图像及其性质，三角恒等式的证明特点一特点一:考小题考小题,重在于基础重在于基础.有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,三角函数的解析式,图象和图象变换,两域(定义域,值域),四性(单调性,奇偶性,对称性,周期性),反函数,以及简单的三角变换,(求值,化简,及比较大小),都突出了对三角函数基础知识的考查.特点二特点二:考大题考大题,难度略有降低难度略有降

2、低.由于高中数学教材内容的重新修订,对三角函数的整体要求有所降低,体现在高考中对有关三角函数的大题(解答题),通过三角公式变形,转换等手段来考查学生思维能力的题目,其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三特点三:考应用考应用,常融于三角形之中常融于三角形之中.高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受命题者的青睐,主要解法是充分利用三角形的内角和定问题时,常常体现了三角的工具性作用。教学内容教学内容知识框架知识框架考点及考试要求考点及考试要求（1 1）公式的变形及应用）公式的变

3、形及应用运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（iii）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如:coscossinsin cos，tan1 tantan tan tan，tantantan tan tan tan，tan tan tantantan tan。cos例 1、求tan tan(sin21cos21cos22，sin。

4、，cos22sin22)3tantan()=_33tan tan变形为:tan tan tan1 tantan即1 tantan1分析:将公式tan湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司可得出答案3,故原式等于3个性化辅导讲义个性化辅导讲义（2 2）角的变换）角的变换解决三角变换问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再确定如何利用已知条件,采用哪些公式,避免盲目处理相关角的三角函数式,以免造成不必要的麻烦,要整体地把握公式,认真考虑角 的 整 体 运 用,这 往 往 要 用 到 常 见 角 的 变 换,即 拼 角 与 拆 角，常 见 的 变 换 如 下:如2，2，2 2，22，

5、等。44例 2、已知cos3335,sin,其中,0,求sin的值44445413,33 ,要求,与所求角的关系是4442分析:已知角4sin,即求cos2333解:,0 0,44424444123sin ,cos 51344563cos=cos=6524456sin=cos=652（3 3）函数名的变换）函数名的变换对于函数名的变换主要是用诱导公式六“函数名改变，符号看象限”即：sin cos;cos sin;就可实现函数名的改变，22同时还要同时还要注意2，三个角的内在联系的作用，44cos2 sin 2 2sincos也是常用的三角变换。244（4 4）常数“）常数“1 1”的变换及辅助

6、角的引入”的变换及辅助角的引入2湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司1 sin2 cos2=tan个性化辅导讲义个性化辅导讲义 2cos（i）熟悉常数“1”的各种三角代换，常用的有4 sin23 2sin6；1 sin 2|sin cos|，1 cos2 2|cos|，1 cos2 2|sin|。(ii)三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a2 b2sin(x （取)b）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sincosx，sinx3cosx，要熟练掌握a这两个变换技巧，在解题中将起到事半公倍的效果，同时还要熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化

7、同名，异角化同角等。arctan例 3、化简2 1 sin 2(1 cos)，（，2）分析：分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式1 sin sin2 cos2 2sincos(sin cos)22222221)4cos2222(1 cos)2(1 2cos2 原式=2|sin cos|2|cos|222（，2）(,)22 02cos当93,时，sin cos 02242222 原式=2sin当33 ,2时，sin cos 022422 原式=2sin 4cos 2 5sin(arctan2)22232sin 22 原式=3 2 5 sin(arctan2)2223湖州龙文教育咨询有限公

8、司湖州龙文教育咨询有限公司知识概括、方法总结与易错点分析知识概括、方法总结与易错点分析个性化辅导讲义个性化辅导讲义（1 1）三角函数中的求值问题）三角函数中的求值问题三角函数的求值就是利用题中的已知条件，正确、合理地应用三角恒等变形公式，也即同角关系，诱导公式，两角和差、倍角公式等三角函数公式，把角变化为特殊角，或三角函数化为同名、同角三角函数进行合并与化简，最后求出三角函数（式）的值。掌握几种主要题形的思路与方法：给角求值、给值求值、给值求角等。知角求值知角求值问题是三角变换中的难点之一，常见问题中角多为非特殊角，那么要解决这类问题，首先认真观察角的特点；其次从函数名的角度去思考，如切化弦，

9、化同名等手段也是解决问题的途径；第三，看其结构符合不符合我们学过的公式或公式变形。给值求值给值求值也就是条件求值问题，即由给出的一些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数，关键在于“变角”使“目标角”变换成“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用，变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用。给值求角给值求角实质也是转化为“”给值求值“关键也是变角，反所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合角的范围求得角。（2 2）三角函数中的化简）三角函数中的化简化简是三角函数式求值与证明的基础，即通过一系列的恒等变形变异为同，化繁为简，以达到简化运算的目的

10、，原则是形式简单，函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值，化简过程要注意角的范围，难点在于众多的三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所化简式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。（3 3）三角恒等式的证明）三角恒等式的证明三角恒等式的证明的思路是利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式，常用的方法是：（i）从等式一边推出另一边；（ii）证明等式都等于同一个式（或值）也就是两边夹法则；（iii）比差法，即证明等式左、右两边之差为零。（iv）运用综合法、分析法证明。针对性练习针对

11、性练习一、填空题一、填空题1若2已知 sin=3已知 sin45114，sin2=，求 tan_25437，3，则 tan的值为_5235+cos=，且3，则 cot的值为_25湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义个性化辅导讲义412，sin=，则 cos的值为_5134已知为钝角、为锐角且 sin=5 设 56，cos二、解答题二、解答题6化简7求证：2sin（8求证：=a，则 sin的值等于_1sin2cos21sin2cos2x）sin（+x）=cos2x4412sincos1 tancos2sin2a1 tanAacosBb2a b9在ABC中，已知 cosA

12、=，求证：Ba babcosBtan22tan210 求 sin15，cos15，tan15的值11 设312 求证：1+2coscos2=221cos()5，化简2213 求证：4sincos=2sin+sin225湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司2个性化辅导讲义个性化辅导讲义x的值214 设 25sinx+sinx24=0，x是第二象限角，求 cos15 已知 sin=课后作业课后作业124，sin（+）=，与均为锐角，求 cos135一选择题一选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1231.已知cos,(,2)，则cos()（）4132A.5 27 217

13、 27 2B.C.D.131326262 53,sin(),则cos（）552.若均,为锐角，sinA.2 52 52 52 52 5或B.C.D.52552553.(cos sin)(cos sin)（）12121212A.01133B.C.D.22220004.tan70 tan50 3tan70 tan50（）A.3B.33C.D.3332sin2cos2（）5.1 cos2cos2A.tan B.tan2 C.1D.126.已知 x 为第三象限角，化简1 cos2x（）A.2 sin xB.2 sin xC.2 cos xD.2 cos x6湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限

14、公司7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于个性化辅导讲义个性化辅导讲义4,则这个三角形底角的正弦值为（）5A3 1010103 10BCD101010108.若3sin x 3 cos x 2 3sin(x),(.)，则（）55C.D.666619.已知sincos，则sin2（）31188ABCD2299A.B.10.已知cos2244，则cossin的值为（）3A11.求cos422BCD19332345coscoscos（）111111111111A.5B.4C.1D.022xx12.函数y sin3cos的图像的一条对称轴方程是（）221155Ax Bx Cx Dx 3333二填空题二填空

15、题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）cos13已知,为锐角，cos110,cos15,则的值为14在ABC中，已知 tanA,tanB是方程3x27x2 0的两个实根，则tanC 15.若sin34,cos，则角的终边在象限252516.代数式sin15ocos75ocos15osin105o三解答题三解答题（共 6 个小题，共 74 分）3517（12 分）ABC 中，已知cosA,cosB,求sinC的值5137湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司18（12 分）已知个性化辅导讲义个性化辅导讲义23123,cos(),sin(),求sin24135)15419（12 分）已知 为第二象限角，且 sin=的值,求sin2cos2141120.（12 分）已知(0,),(0,),且tan(),tan，427求tan(2)的值及角221（12 分）已知函数f(x)cos2x3sin xcos x1，xR.（1）求证f(x)的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间sin(.8湖州龙文教育咨询有限公司湖州龙文教育咨询有限公司