高中数学必修3北师大版3.3模拟方法-概率的应用名师教案.pdf

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1、第三章 概率3 模拟方法概率的应用一、教学目标1 了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2 使学生能够运用模拟方法估计概率二、设计思路与教学建议1 教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法2 教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积求区域 A 的近似面积通常有两种方法一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成1010 个全等的小正方形，数出区

2、域A 中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A 中，则认为这个小正方形在区域 A 中，否则不在区域 A 中），得出区域 A 的面积与正方形的面积之比，进而求出区域 A 的近似面积要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100100 个全等的小正方形，1 0001 000 个全等的小正方形等等这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1 的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个（2）正方形内任何一点

3、被投到的可能性是相同的 所投的点落在正方形中某个区域A 内的可能性与 A 的面积成正比，而与 A 在正方形中的位置、形状无关这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)在上述几何概型中，P(芝麻落在 A 内)=区域 A 的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在 A 内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A 内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在 A 内)，从而求出区域A 的面积的近似值教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域 A 内的芝麻数落在正方形内

4、的芝麻数区域A 的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A 的近似面积图 2图 3教科书在讲解时分 3 步进行，以帮助学生理解第一步是向图 2 的正方形中撒芝麻，区域A 是一个面积为大正方形的14 的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14 的芝麻落在区域 A 中，因此近似的有落在区域 A 内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数区域A 的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图 3 的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域 B 中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的 20%，得出区域 B 的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域 B 是学生熟悉

5、的长方形第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为 b(ba)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2ba.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出 的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为

6、 m,由 2bamn,可得2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考概率论与数理统计(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2ba,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bamn,可得2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考概率论与数理统计(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).A）的针，利用几何概型的概率计算公式，可

7、以求得针与任一平行直线相交的概率为2BA大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出 的近似值如果所投针数为N，与平行线相交的针数为 M，由 2BAMN，可得2BNAM关于“投针问题”的详细内容，可参考概率论与数理统计(严士健，刘秀芳，徐承彝编?北本?：高等教育出版社?1990).【阅读理解】就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解但随着信息技术的发展，信息技术与课

8、程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A 的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（MonteCarlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源利用计算机完成 1 000 次模拟，教科书中的表格给出了部分数据根据模拟结果，区域A 的面积约为 0.667，其理论值为23，二者非常地接近教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性【问题提出】让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由【动手实践】

9、让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50 次模拟后一组内两人再交换.记录前可先画出如下表格：晚报晚餐1 次2 次50 次图 4每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为 7/8，即 0.875/a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为 2ba,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出 的近似值.如果所投针数为n,与平行

10、线相交的针数为 m,由 2bamn,可得 2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考概率论与数理统计(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5,y=6.5 围成一个正方形区域 G设晚餐在 x（6x7）时开始，晚报在y（5.5y6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y g 的面积/G 的面积=7/8.【思考交流】教师可先让学生思考，作出自己的判断

11、并说明理由若晚报在下午 5：456：45 之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：456：00 之间送到，或晚餐在 6：457：00 之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率相对上面的问题来说变小了用两个转盘去完成至少 50 次模拟，估计出“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率，模拟的结果与上面的结论应是吻合的仿照前面的方法，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为23/32，这个值比7/8 小【练习】1因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果

12、，就可以用抛掷一枚硬币来模拟，比如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷硬币来模拟2对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉 0，5，6，7，8，9，用 1，2，3，4 分别代表转动转盘指针指向转盘的 1，2，3，4 部分?痹谒婊?数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟对于第二个转盘，编号为2 的部分的面积与编号为 1 的部分的面积之比为 16515=111可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为 00,01，02，,99在产生的两位随机数中去掉 12，13，,99，用 00 代表转动转盘指针指向转盘的编号为1 的部分，用 01，02，,11这 11 个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2 的部分在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟用模拟方法估计概率，每个人的模拟结果可能是互不相同的.