含绝对值函数的最值问题.pdf

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1、专题三:含绝对值函数的最值问题1.已 知 函 数f(x)x 2|xa|(a 0)，若 对 任 意 的x0,)，不 等 式2f(x1)2 f(x)恒成立，求实数a的取值范围.不等式fx1 2fx化为x12 x1a 2x24 xa2即：4 xa 2 x1a x22x1（*）对任意的x0,恒成立因为a 0，所以分如下情况讨论：当0 x a时，不等式（*）x24x12a 0对x0,a恒成立g(x)x24x12a 0在0,a上单调递增只需g(x)min g(0)12a 00 a 由知0 a 当a x a1时，不等式（*）即12x24x16a 0对x(a,a1恒成立1，h(x)x24x16a在(a,a1上

2、单调递减2只需h(x)min h(1 a)a2 4a 2 0a 26或a 6 26 2、11 6 2 a 222.已知函数 f(x)|xa|，g(x)x22ax1(a 为正数)，且函数 f(x)与 g(x)的图象在 y 轴上的截距相等(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)g(x)的最值【解析】(1)由题意 f(0)g(0)，|a|1.又a0，a1.(2)由题意 f(x)g(x)|x1|x22x1.当 x1 时，f(x)g(x)x23x 在1，)上单调递增，11当 x解：0 （II）a41 2 a 45 分2解法：|fx|x1a2x1 x1 xa39 分x01 1，x0a3 maxa1,3a

3、13 分且上述两个不等式的等号均为x 0或2时取到，故a1,2 a 4故|fx|max1，所以t 115 分|fx|max3a,0 a 2、，8.已知函数f(x)x21,g(x)a|x1|（）若当xR R时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（）求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间2,2上的最大值解：（1）不等式f(x)g(x)对xR R恒成立，即(x21)a|x 1|（*）对xR R恒成立，.当x 1时，（*）显然成立，此时aR R；x21x21 x 1,(x 1),当x 1时，（*）可变形为a，令(x)|x1|x 1|(x 1),(x 1).因为当x 1时，(x)2，当

4、x 1时，(x)2，所以(x)2，故此时a2.综合，得所求实数a的取值范围是a2.x2 ax a 1,(x1),（2）因为h(x)|f(x)|g(x)|x21|a|x1|=x2ax a 1,(1x 1),10 分x2ax a 1,(x 1).a当1,即a 2时，结合图形可知h(x)在2,1上递减，在1,2上递增，2且h(2)3a 3,h(2)a 3，经比较，此时h(x)在2,2上的最大值为3a 3.aa当01,即0a2时，结合图形可知h(x)在2,1，,1上递减，22aaa2在1,，1,2上递增，且h(2)3a 3,h(2)a 3，h()a1，242经比较，知此时h(x)在2,2上的最大值为3

5、a 3.aa当10,即-2a 0时，结合图形可知h(x)在2,1，,1上递减，22aaa2在1,，1,2上递增，且h(2)3a 3,h(2)a 3，h()a1，242经比较，知此时h(x)在2,2上的最大值为a3.3aaa当 1,即-3a 2时，结合图形可知h(x)在2,，1,上递减，2222aa在,1，,2上递增，且h(2)3a 3 0,h(2)a 30，22经比较，知此时h(x)在2,2上的最大值为a3.a3当,即a 3时，结合图形可知h(x)在2,1上递减，在1,2上递增，22故此时h(x)在2,2上的最大值为h(1)0.综上所述，当a0时，h(x)在2,2上的最大值为3a 3；当3a 0时，h(x)在2,2上的最大值为a3；当a 3时，h(x)在2,2上的最大值为 0.