八年级数学暑假专题 分式方程的解法与技巧 湘教版 知识精讲.pdf

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1、八年级数学暑假专题八年级数学暑假专题 分式方程的解法与技巧分式方程的解法与技巧 湘教版湘教版【本讲教育信息本讲教育信息】一.教学内容：暑假专题分式方程的解法与技巧教学目标1.使学生掌握特殊形式的分式方程的解法。2.掌握灵活选用有针对性的分式方程的解题方法和技巧。二.重点、难点：重点：掌握特殊形式的分式方程的解法。难点：灵活选用解分式方程的解法和技巧。【典型例题】【典型例题】1.局部通分法：例 1.解方程：x 3x 4x 6x 7x 4x 5x 7x 8分析：分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法

2、。解：解：方程两边分别通分并化简，得：11(x 4)(x 5)(x 7)(x 8)去分母得：(x 4)(x 5)(x 7)(x 8)解之得：x6经检验：x6 是原分式方程的根。点拨：点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。2.换元法：例 2.解方程：7314 x2 6x 4x2 6x 5x2 6x 9分析：分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令k x2 6x 4或k x2 6x 5或k x2 6x 9或k x2 6x均可。解：解：

3、设k x 6x 5，则原方程可化为：27314 k 9kk 4去分母化简得：20k2147k 1116 0(k 12)(20k 93)0k 12，k 9320当k 12时，x2 6x 7 0 x 7x 1 0解之得：x1 1，x2 7当k 9393时，x2 6x 5 2020220 x 120 x 193 0解此方程此方程无解。经检验：x1 1，x2 7是原分式方程的根。点拨：点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。3.拆项裂项法：例 3.解方程：14x22 1x 2x 42 x分析

4、：分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。解：解：原方程拆项，变形为：2x 2 2x 212 1x 2x 2x 2x 2裂项为：1222 1x 2x 2x 2x 23化简得：1x 2解之得：x 1经检验：x1 是原分式方程的解。4.凑合法：例 4.解方程：x13 x14x 44 x2分析：分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。解：解：部分移项得：x13 x1 4x 44 x2x13 x1 4x 4x 42x142x2经检验：x2 是原分式方程的根。5.构造法：例 5.解方程：x2 x 110 x2 x311

5、k 型的方程xk分析：分析：此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为x 来求解，而不用常规解法。解：解：原方程可化为：x2 x 11 33x2 x13x2 x 3或x2 x 解之得：x1,211311，x3,4 2122611311，x3,4 21均是原分式方程的根。226经检验：x1,26.比例法：2x25x 6x2 2x 42例 6.解方程：22x 5x 8x 2x 2分析：分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等变形，即若aca bc d，则有的性质，可使分母化为常数，从而简化bda bc d运算。解：解：应用上述性质，可将方程变形为：2x2x225x

6、6 2x25x 82 5x 62xx5x 8 x22 2x 4 x2 2x 22 2x 4x 2x 24x210 x 142x2 4x 6化简得：224x210 x 14 2x2 4x 6x2 3x 10 0(x 5)(x 2)0 x1 2或x2 5经检验：x1 2，x2 5是原方程的解。【模拟试题】（答题时间：20 分钟）解下列分式方程：1.x 1x 6x 2x 5x 2x 7x 3x 62x2 x 12x2 x 22.2x2 x 12x2 x 2x 1x 242x 1x 1x 1154.x225x 8 0 xx15.2x2 3x 222x 3x3.【试题答案】【试题答案】1.解：解：原方程

7、变形为：x 2 1x 7 1x 31x 61x 2x 7x 3x 61111即x 3x 2x 7x 6方程两边分别通分为：11x 2x 3x 6x 7去分母得：x 2x 3x 6x 7化简得：8x 369x 29经检验：x 是原方程的解。22.由比例的性质可得：4x24x2222x x 12x x 24x2 0或2x2 x 1 2x2 x 2121经检验：x1 0，x2是原分式方程的解。2解之得：x1 0，x23.解：解：原方程可化为：2 3 221 1x 1x 1x 1x 1化简得：32x 1x 1 5 0 x 11 5x x21 8 0 x2原分式方程无解24.原方程可变形为：x 11设x y，则有x22 x xx2122 y 2x原方程可化为：y 2 5y 8 0即y 5y 6 0解之得：y1 2，y2 3当y1 2时，即x 当y2 3时，即x 21 2，解得x1 x2 1x351 3，解得x3,42x35均是原方程的解。2经检验：x1 x2 1，x3,45.解：原方程可变形为：2x2 3x 1 112x2 3x2x2 3x 1即2x2 3x 1 0 x 12x 1 01x1 1或x2 2经检验：x1 1或x2 1均为原分式方程的解。2