初升高精品教材：第8讲 绝对值和绝对值不等式的解法.pdf

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1、第第 8 8 讲讲 绝对值和绝对值不等式的解法绝对值和绝对值不等式的解法绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a,a 0,|a|0,a 0,a,a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离8.18.1 绝对值的概念绝对值的概念绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a,a 0,|a|0,a 0,a,a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：a b

2、表示在数轴上，数a和数b之间的距离8.1.18.1.1 绝对值的性质绝对值的性质【例【例 1 1】到数轴原点的距离是2 的点表示的数是（）A2B2C-2D4解：A【例【例 2 2】已知：abc0，且 M=abc，当 a，b，c 取不同值时，M 有 _种不同可能abc当 a、b、c 都是正数时，M=_；当 a、b、c 中有一个负数时，则 M=_；当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M=_；当 a、b、c 都是负数时，M=_ 解：3；1，1，3变式练习 1：已知a，b，c是非零整数，且a b c 0，求abcabc的值abcabc解：由于a b c 0，且a，b，c是非零整数，则a，b，c一正

3、二负或一负二正，（1）当a，b，c一正二负时，不妨设a 0，b 0，c 0，原式1111 0；（2）当a，b，c一负二正时，不妨设a 0，b 0，c 0，原式 1111 0原式 0【例【例 3 3】若a 4 b 2，则a b _解：a 4 b 2 a4 b 2 0 a 4,b 2，所以a b 21结论：绝对值具有非负性，即若a b c 0，则必有a 0，b 0，c 02变式练习：a 1 b 2 0，a _；b _解：a 1,b 28.1.28.1.2零点分段法去绝对值零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝

4、对值符号【例【例 4 4】阅读下列材料并解决相关问题：xx 0我们知道x 0 x 0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，xx 0如化简代数式x1 x2解：令x 1 0和x 2 0，分别求得x 1，x 2当x 1时，原式 x1x2 2x1当1 x 2时，原式 x1x23当x2时，原式 x 1 x 2 2x 12x 1x 1综上讨论，原式31 x 22x 1x 2变式练习（1）化简代数式x 2 x4（2）化简代数式y x1 2 x2解：令 x+2=0 和 x-4=0，分别求得 x=-2;x=4.当x 2时，原式 x 2x4 2x 2；当2 x 4时，原式x 2x4 6；当x4时，原式

5、 x 2 x 4 2x 22x 2x 2综上讨论，原式62 x 42x 2x 4（2）：当x 1时，y 53x；当1 x 2时，y 3 x；当x 2时，y 3x 5253xx 1综上讨论，原式3 x1 x 23x 5x 25.1.35.1.3 绝对值函数绝对值函数x,x 0常见的绝对值函数：y x，其图象是x,x 0绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是x 0思考如何画y xa的图象？我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；xa的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离【例【例 5 5】画出y x1的图像解：（1）关键点是x 1，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当x 1时，y 1

6、x；当x 1时，y x 1（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出y x2的图像；（2）画出y 2 x的图像【例例 6 6】画出y x1 2 x2的图象解：（1）关键点是x 1和x 2（2）去绝对值当x 1时，y 53x；当1 x 2时，y 3 x；当x 2时，y 3x 5（3）图象如右图所示3【例【例 7 7】画出函数y x2 2 x 3的图像解：（1）关键点是x 0（2）去绝对值：当x 0时，y x2 2x3；当x 0时，y x22x3（3）可作出图像如右图【例【例 8 8】画出函数y x23x 2的图像解：（1）关键点是x 1

7、和x 2（2）去绝对值：当x 1或x 2时，y x23x 2；当1 x 2时，y x23x2（3）可作出图像如右图8.28.2 绝对值不等式绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式【例例 1 1】解不等式x 1解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于 1，很容易知道到原点距离等于1 的点有两个：1和1，自然只有在1和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是x|1 x 1结论：（1）

8、x a(a 0)的解集是x|a x a，如图 1（2）x a(a 0)的解集是x|x a或 x a，如图 2【例【例 2 2】解不等式x2 14解：法 1：由题意，1 x21，解得1 x 3，法 2：利用绝对值的几何意义。结论：结论：（1）axb c(c 0)c axb c（2）axb c(c 0)axb c或axb c变式练习 1：解不等式：（1）2x5 2；（2）32x 5；解：（1）由题意，2x5 2或2x5 2，解得x（2）由题意，532x 5，解得1 x 4，73或x，222 x 4 0变式练习 2：解不等式组5 13x 2解：由2 x 4 0，得4 2 x 4，解得2 x 6，由5

9、 13x 2，得13x 3，即313x 3，解得由得，42 x，3342 x，33变式练习 3：解不等式1 2x1 5解：方法一：由2x1 5，解得2 x 3；由1 2x1得，x 0或x 1，联立得2 x 0或1 x 3，方法二：1 2x1 51 2x15或5 2x1 1，解得2 x 0或1 x 3，【例【例 3 3】解不等式：4x3 2x1解：方法一：（零点分段法）311时，原不等式变为：(4x3)2x1，解得x，所以x；4333（2）当x 时，原不等式变为：4x3 2x1，解得x 2，所以x 2；41综上所述，原不等式的解集为x|x 或x 231方法二：4x3 2x1 4x3 2x1或4x

10、3(2x1)，解得x 或x 2，3结论：结论：（1）axb f(x)f(x)axb f(x)（1）当x（2）axb f(x)axb f(x)或ax b f(x)5练习 4：解不等式：4x3 x1解：由4x3 x1得(x1)4x3 x1，解得【例【例 4 4】解不等式：x2 x1解：法 1：零点分段法去绝对值法 2：同时平方法 3：利用绝对值几何意义【例【例 5 5】解不等式：x2 x1 5方法 1：利用零点分区间法（推荐）解：当x 2时，得24 x 53x 2，解得：3 x 2；(x1)(x2)52 x 1，解得：2 x 1；(x1)(x2)5当 2 x 1时，得当x 1时，得x 1，解得：1

11、 x 2(x1)(x2)5综上，原不等式的解集为x 3 x 2方法 2：利用绝对值的几何意义解：x2 x1 5的几何意义是数轴上的点x到 1 和2的距离之和小于 5 的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)3 5，易知当x 3或x 2时，x2 x1 5，所以x位于3和2之间（不含端点），所以3 x 2，所以原不等式的解集为x 3 x 232变式练习 1解不等式：x3 x2 4解：x|x 22x3 2x2 8解：x|97 x 44【例【例 6 6】解不等式：x1 x2 x3解：当x 1时，原不等式变为：1 x2 x x3，解得：x 0；当1 x 2时，得x12 x x3，无解当x 2时，得x1

12、 x2 x3，解得：x 66综上，原不等式的解集为x|x 0或x 6【例 7】解关于x的不等式2x3 1 a解：原不等式变为2x3 a1（1）当a 1时，a1 0，原不等式无解；（2）当a 1时，(a1)2x3 a1，解得aa2 x 122可适当补充：若不等式可适当补充：若不等式x2 x1 a恒成立，求恒成立，求 a a 的范围的范围.若不等式若不等式2x1 3x a 1有解，求有解，求 a a 的范围的范围.1.已知a 6，化简6a2得()A.6aB.a62C.a6D.a62、已知(x2)2y1 0，则x2y _3.不等式x2 3的解是，不等式83x 0的解是_.4.根据数轴表示a,b,c三数的点的位置，化简ab ac bc _.c c5.画出y 2x3的图像b b0 0a a6先化简x1 x 2，然后画出y x1 x 2的图象，并 y 求出的范围。7.画出y x2 2x 3的图像78.解不等式3 x2 99.解不等式x1 x2 410.解不等式3x4 12x11解不等式：x1 x2 x2答案答案1.B 2、3；3.x|5 x 1；4.0385、2x 3,x 26、y 1,2 x 12x 3,x 13x 2,x 537、答案有误y 8 x,5 x 233x 2,x 28.x|7 x 1或5 x 1135 x 22310.x|x 或x 55111x|x 539.x|89