河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理).pdf

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1、洛阳市洛阳市 2017-20182017-2018 学年高中三年级第三次统一考试学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）数学试卷（理）第卷（选择题，共第卷（选择题，共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212 个小题个小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1.设集合AxZ|x|2，By|y1x2，则AB的子集个数为（）A4 B 8 C 16 D322.已知复数z5i（i是虚数单位），则z的共轭复数z对应的点在（）34i1212A第四象限 B第三象限

2、 C第二象限 D第一象限mn3.“lgmlgn”是“()()”的（）A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件4.设随机变量XN(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）注：若XN(,2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544.A6038 B6587 C.7028 D75395.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（）A

3、13171925升 B升 C.升 D升369126.将函数f(x)cos(2x4)的图像向平移个单位，得到函数g(x)的图像，则下列说法不正确的是（）8Ag()6157,)上是增函数 Bg(x)在区间(288C.x2是g(x)图像的一条对称轴 D(8,0)是g(x)图像的一个对称中心x2y27.设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线与y轴和双3ab1曲线的右支分别交于点A、B，若OA(OBOF1)，则该双曲线的离心率为（）2A2 B5 C.23 D38.在ABC中，点P满足BP2PC，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AMmAB，AN

4、nAC(m0,n0)，则m2n的最小值为（）A3 B4 C.810 D339.若(1 2018x)2017a0a1xa2x2a2017x2017(xR)，则A20182017 B1 C.0 D110.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为a2017a1a2的值为（）20182018201820172，AP3，AB2 3，Q是边BC上的一3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）3A45 B57 C.63 D8411.记数列an的前n项和为Sn.已知a11，(Sn 1Sn)an2n(nN)，则S2018（）A3(210091)B310093(21)

5、C.3(220181)D(220181)22x212.已知函数f(x)与g(x)2elnxmx的图像有 4 个不同的交点，则实数m的取值范围是2x2elnx（）A(4,0)B(,2)C.(0,)D(0,2)第卷（共第卷（共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i的值为1212xy 10y|的最大值为14.设x，y满足约束条件x2y0，则z|x3x3y3015.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为416.已知椭圆的焦点为F1(c,0)，F2(

6、c,0)，其中c2 30直线l与椭圆相切于第一象限的点P，cosxdx，且与x，y轴分别交于点A，B，设O为坐标原点，当AOB的面积最小时，F1PF260，则此椭圆的方程为三、解答题三、解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且bsinB(cb)sin CasinA.（1）求角A的大小；（2）若sinB sinC3，且ABC的面积为2 3，求a.818.如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面A

7、BC内的摄影恰好落在边AB上.（1）求证：平面ACD平面BCD；（2）当AB2时，求二面角DACB的余弦值.AD2，且甲、乙两位同学对每个题目319.某次数学知识比赛中共有6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取3 个题目进行作答，已知这6 个题目中，甲只能正确作答其中的4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3 个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和X的期望.20.已知抛物线C:yx，点A，B在抛物线上，且横坐标分

8、别为213，抛物线C上的点P在A，22B之间（不包括点A，点B），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（1）求直线AP斜率k的取值范围；（2）求|PA|PQ|的最大值.x21.已知函数f(x)(x 1)et2x，其中tR.2（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当t3时，证明：不等式f(x1xt)f(x1x2)2x2恒成立（其中x1R，x10）.请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为sin(4)2 2，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负

9、半轴建立平面直角x12cos坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数）.y22sin（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为(2,2)，求|AP|BP|的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数f(x)3|xa|3x 1|，g(x)|4x 1|x2|.（1）求不等式g(x)6的解集；（2）若存在x1，x2R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围.试卷答案试卷答案一、选择题一、选择题1-5:CACBB 6-10:DCADB 11、12：AC二、填空题二、填空题x2y21

10、 16.113.4 14.1 15.123159三、解答题三、解答题22217.（1）由bsinB(cb)sin CasinA，由正弦定理得b2(cb)ca2，即bcbca，所以b2c2a21cosA，A.32bc2（2）由正弦定理abcasinBasinC，可得b，c，simAsinBsinCsinAsinA所以SABCa2sinB sinC11 asinBasinCbcsinAsinA2 3.22sinAsinA2sinA3332，sinA，a2 3，解得a4.828又sinB sinC18.（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE平面ABC，DEBC.四边形ABCD是矩形

11、，ABBC，BC平面ABD，BCAD.又ADCD，所以AD平面BCD，而AD平面ACD，平面ACD平面BCD.（2）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设ADa，则AB2a，A(0,2a,0)，C(a,0,0).由（1）知ADBD，又AB2，DBA30，DAB60，ADAEADcos DAB133a，BEABAEa，DEADsin DABa，2223313D(0,a,a)，AD(0,a,a)，AC(a,2a,0).2222设平面ACD的一个法向量为m(x,y,z)，13mAD0az0ay则，即2，2ax2ay0mAC0不妨取z1，则y

12、3，x2 3，m(2 3,3,1).而平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，111m n.故二面角DACB的余弦值为.cosm,n4|m|n|(2 3)2(3)212419.（1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答对 3 题乙答对 0 题.故所求的概率12213C4C22221C4C21122C431013.P3C3()()3C3()()3C3()C633C633C63135（2）m的所有取值有 1，2，3.12213131C4C21C4C23C41故E(m)1232.P(m1)3，P(m2)3，P(m3)3，55

13、5C65C65C65由题意可知nB(3,)，故E(n)320.（1）由题可知A(2322.而X15m10n，所以E(X)15E(m)10E(n)50.3113913,)，B(,)，设P(xp,xp2)，xp，所以24242214x1(1,1)，故直线AP斜率k的取值范围是(1,1).kp12xp21193（2）直线AP:ykxk，直线BQ:xkyk0，联立直线AP，BQ方程可知点Q的横2442xp2234kk21(k 1)2(1 k)234kk2k)坐标为xQ，|PQ|1 k(xQxp)1k(22k222k2221k1|PA|1k2(xp)1 k2(1 k)，所以|PA|PQ|(1 k)3(1

14、 k)，令f(x)(1 x)3(1 x)，2111x1，则f(x)(1 x)2(24x)2(1 x)2(2x 1)，当1x时f(x)0，当x122时f(x)0，故f(x)在(1,)上单调递增，在(故f(x)maxf()121,1)上单调递减.2122727，即|PA|PQ|的最大值为.161621.（1）由于f(x)xextx x(ext).1）当t0时，ext0，当x0时，f(x)0，f(x)递增，当x0时，f(x)0，f(x)递减；2）当t0时，由f(x)0得x0或xlnt.当0t 1时，lnt0，当x0时，f(x)0，f(x)递增，当lntx0时，f(x)0，f(x)递减，当xlnt时，

15、f(x)0，f(x)递增；当t 1时，f(x)0，f(x)递增；当t 1时，lnt0.当xlnt时，f(x)0，f(x)递增，当0 xlnt时，f(x)0，f(x)递减，当x0时，f(x)0，f(x)递增.综上，当t0时，f(x)在(,0)上是减函数，在(0,)上是增函数；当0t 1时，f(x)在(,lnt)，(0,)上是增函数，在(ln t,0)上是减函数；当t 1时，f(x)在(,)上是增函数；当t 1时，f(x)在(,0)，(ln t,)上是增函数，在(0,ln t)上是减函数.（2）依题意f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)，f(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x

16、1x2)恒成立.设g(x)f(x)x，则上式等价于g(x1x2)g(x1x2)，要证明g(x1x2)g(x1x2)对任意x1R，x2(0,)恒成立，x即证明g(x)(x 1)e32xx在R上单调递增，又g(x)xex3x 1，2xxx只需证明xe3x 10即可.令h(x)ex 1，则h(x)e1，当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，xx2h(x)minh(0)0，即xR，ex 1，那么，当x0时，xexx，所以1xex3x 1x22x 1(x 1)20；当x0时，ex1，xex3x 1x(ex3)0，xxex3x 10恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）sin(4)2 2，22s

17、incos2 2，22即cossin4，直线l的直角坐标方程为xy40；x12cos，曲线C1的普通方程为(x 1)2(y2)24.y22sin（2）点P在直线xy4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等.曲线C1是以(1,2)为圆心，半径r2的圆.|AP|min|PC1|r(2 1)2(22)223.所以|AP|BP|的最小值为2 36.3x3,x2123.解：（1）g(x)5x 1,2x，413x3,x4当x2时，3x36解得x1，此时无解.当2x当1771时，5x 16，解得x，即x.4554117x时，3x36，解得x3，即x3，综上，g(x)6的解集为x|x3.445（2）因为存在x1，x2R，使得f(x1)g(x2)成立.所以y|yf(x),xRy|yg(x),xR.又f(x)3|xa|3x 1|(3x3a)(3x 1)|3a1|，由（1）可知g(x),)，则g(x)(,.所以|3a1|94949135a.，解得41212135,.12 12故a的取值范围为