复数代数形式的乘除运算教案.pdf

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1、3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.doc复数代数形式的乘除运算教案复数代数形式的乘除运算教案教学目标：教学目标：1 1知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2 2过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题类问题3 3情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不显

2、得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。教学难点：对复数除法法则的运用。课型课型:新知课新知课教具准备：多媒体教具准备：多媒体教学过程：教学过程：复习提问：复习提问：已知两复数已知两复数 z1=a+bi,z2=c+diz1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,da,b,c,d

3、 是实数）是实数）加法法则：加法法则：z z1 1+z z2 2=(=(a a+bi bi)+()+(c c+di di)=()=(a a+c c)+()+(b b+d d)i i.减法法则：减法法则：z z1 1-z z2 2=(=(a a+bi bi)-()-(c c+di di)=()=(a a-c c)+()+(b b-d d)i i.即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是就是实部与实部实部与实部,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加(减减)页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.doc(a+bi)(a+bi)(c+di

4、)=(a(c+di)=(ac)+(bc)+(bd)id)i复数的加法运算满足交换律复数的加法运算满足交换律:z z1 1+z z2 2=z z2 2+z z1 1.复数的加法运算满足结合律复数的加法运算满足结合律:(:(z z1 1+z z2 2)+)+z z3 3=z z1 1+(+(z z2 2+z z3 3)讲解新课：讲解新课：一一 复数的乘法运算规则：复数的乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设设 z z1 1=a a+bi bi，z z2 2=c c+di di(a a、b b、c c、d dR)R)是任意两个复数，那么是任意两个复数，那

5、么它们的积它们的积(a a+bi bi)()(c c+di di)=()=(acacbdbd)+()+(bcbc+adad)i i.其实就是把两个复数相乘，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，类似两个多项式相乘，在所得的在所得的结果中把结果中把 i i2 2换成换成1 1，并且把实部与虚部分别合并并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积两个复数的积仍然是一个复数仍然是一个复数.探究探究:复数的乘法是否满足交换律、结合律复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗乘法对加法满足分配律吗?二二.乘法运算律：乘法运算律：(1)z(1)z1 1(z(z2 2z z3 3)=(z)=(

6、z1 1z z2 2)z)z3 3证明：设证明：设z z1 1=a a1 1+b b1 1i i，z z2 2=a a2 2+b b2 2i i，z z3 3=a a3 3+b b3 3i i(a a1 1，a a2 2，a a3 3，b b1 1，b b2 2，b b3 3R).R).z z1 1z z2 2=(=(a a1 1+b b1 1i i)()(a a2 2+b b2 2i i)=()=(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2)+()+(b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2)i i，z z2 2z z1 1=(=(a a2 2+b b2 2i i)()(a

7、 a1 1+b b1 1i i)=()=(a a2 2a a1 1-b b2 2b b1 1)+()+(b b2 2a a1 1+a a2 2b b1 1)i i.又又 a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2=a a2 2a a1 1-b b2 2b b1 1，b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2=b b2 2a a1 1+a a2 2b b1 1.页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.docz z1 1z z2 2=z z2 2z z1 1.(2)z(2)z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z

8、1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3证明：设证明：设z z1 1=a a1 1+b b1 1i i，z z2 2=a a2 2+b b2 2i i，z z3 3=a a3 3+b b3 3i i(a a1 1，a a2 2，a a3 3，b b1 1，b b2 2，b b3 3R).R).(z z1 1z z2 2)z z3 3=(a a1 1+b b1 1i i)()(a a2 2+b b2 2i i)(a a3 3+b b3 3i i)=)=(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2)+()+(b b1 1b b2 2+a a1 1b b2 2)i i(a a3 3+b

9、b3 3i i)=(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2)a a3 3-(-(b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2)b b3 3+(b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2)a a3 3+(+(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2)b b3 3i i=(=(a a1 1a a2 2a a3 3-b b1 1b b2 2a a3 3-b b1 1a a2 2b b3 3-a a1 1b b2 2b b3 3)+()+(b b1 1a a2 2a a3 3+a a1 1b b2 2b b3 3+a a1 1a a2 2b b3 3-b b1 1b

10、 b2 2b b3 3)i i，同理可证：同理可证：z z1 1(z z2 2z z3 3)=()=(a a1 1a a2 2a a3 3-b b1 1b b2 2a a3 3-b b1 1a a2 2b b3 3-a a1 1b b2 2b b3 3)+()+(b b1 1a a2 2a a3 3+a a1 1b b2 2a a3 3+a a1 1a a2 2b b3 3-b b1 1b b2 2b b3 3)i i，(z z1 1z z2 2)z z3 3=z z1 1(z z2 2z z3 3).).(3)(3)z z1 1(z z2 2+z z3 3)=)=z z1 1z z2 2+z

11、 z1 1z z3 3.证明：设证明：设z z1 1=a a1 1+b b1 1i i，z z2 2=a a2 2+b b2 2i i，z z3 3=a a3 3+b b3 3i i(a a1 1，a a2 2，a a3 3，b b1 1，b b2 2，b b3 3R).R).z z1 1(z z2 2+z z3 3)=()=(a a1 1+b b1 1i i)(a a2 2+b b2 2i i)+()+(a a3 3+b b3 3i i)=(=(a a1 1+b b1 1i i)(a a2 2+a a3 3)+()+(b b2 2+b b3 3)i i=a a1 1(a a2 2+a a3

12、3)-)-b b1 1(b b2 2+b b3 3)+b b1 1(a a2 2+a a3 3)+)+a a1 1(b b2 2+b b3 3)i i=(=(a a1 1a a2 2+a a1 1a a3 3-b b1 1b b2 2-b b1 1b b3 3)+()+(b b1 1a a2 2+b b1 1a a3 3+a a1 1b b2 2+a a1 1b b3 3)i i.页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.docz z1 1z z2 2+z z1 1z z3 3=(=(a a1 1+b b1 1i i)()(a a2

13、2+b b2 2i i)+()+(a a1 1+b b1 1i i)()(a a3 3+b b3 3i i)=(=(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2)+()+(b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2)i i+(+(a a1 1a a3 3-b b1 1b b3 3)+()+(b b1 1a a3 3+a a1 1b b3 3)i i=(=(a a1 1a a2 2-b b1 1b b2 2+a a1 1a a3 3-b b1 1b b3 3)+()+(b b1 1a a2 2+a a1 1b b2 2+b b1 1a a3 3+a a1 1b b3 3)i i=(

14、=(a a1 1a a2 2+a a1 1a a3 3-b b1 1b b2 2-b b1 1b b3 3)+()+(b b1 1a a2 2+b b1 1a a3 3+a a1 1b b2 2+a a1 1b b3 3)i iz z1 1(z z2 2+z z3 3)=)=z z1 1z z2 2+z z1 1z z3 3.例例 1 1 计算计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(11-2i)(-2+i)=-20+15i.复数的乘法

15、与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例例 2 2 计算：计算：（1 1）(3+4i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)；（2 2）（1+i)1+i)2 2.解：解：（1 1）(3+4i)(3-4i)=3(3+4i)(3-4i)=32 2-（4i 4i）2 2=9-(-16)=25;=9-(-16)=25;(2)(2)（1+i)1+i)2 2=1+2 i+i=1+2 i+i2 2=1+2 i-

16、1=2 i.=1+2 i-1=2 i.练习课后第练习课后第 2 2 题题三三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于 0 0 的两个共轭复数的两个共轭复数页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.doc也叫做共轭虚数也叫做共轭虚数通常记复数通常记复数z的共轭复数为的共轭复数为z。思考思考:若若z z1,1,z z2 2是共轭复数是共轭复数,那么那么(1)(1)在复平面内在复平面内,它们所对应的点有怎样的

17、位置关系它们所对应的点有怎样的位置关系?(2(2)z z1 1z z2 2是怎样的一个数是怎样的一个数?探究探究:类比实数的除法是乘法的逆运算类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘我们规定复数的除法是乘法的逆运算法的逆运算.试探求复数除法法则试探求复数除法法则.四四:除法运算规则：满足除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数的复数 x+yi(x,yx+yi(x,yR)R)叫复数叫复数 a+bia+bi 除以复数除以复数 c+dic+di 的商，记为：的商，记为：(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)或者或者a

18、bic di设复数设复数 a a+bi bi(a a，b bR)R)，除以除以 c c+di di(c c，d dR)R)，其商为其商为 x x+yi yi(x x，y yR)R)，即即(a a+bi bi)(c c+di di)=)=x x+yi yi(x x+yi yi)()(c c+di di)=()=(cxcxdydy)+()+(dxdx+cycy)i i.(cxcxdydy)+()+(dxdx+cycy)i i=a a+bi bi.由复数相等定义可知由复数相等定义可知cxdy a,dxcy b.acbdx,22解这个方程组，得解这个方程组，得c dy bcad.c2 d2于是有于是有

19、:(:(a a+bi bi)(c c+di di)=)=2 2ac bdbc ad2i i.222c dc d2 2a bi利用利用(c c+di di)()(c cdi di)=)=c c+d d.于是将于是将的分母有理化得：的分母有理化得：c di页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.doc原式原式=abi(abi)(cdi)acbi(di)(bcad)i22cdi(cdi)(cdi)c d(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.2222c dc dc d(a a+bi bi)(c c+di di)=)=acbdbc

20、ad2i.222c dc d点评：点评：是常规方法，是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c c+di di)(c cdi di)=)=c c2 2+d d2 2是正实数是正实数.所以可以分母所以可以分母 实数实数 化化.把这种方法叫做分母实数化把这种方法叫做分母实数化法法例例 3 3 计算计算(12i)(34i)解：解：(12i)(34i)12i34i(12i)(34i)386i4i510i12 i22(34i)(34i)3 425551 1 先写成分式形式先写成分式形式2 2 然

21、后分母实数化即可运算然后分母实数化即可运算.(.(一般分子分母同时乘以分母的共一般分子分母同时乘以分母的共轭复数轭复数)3 3 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果练习练习:课后第课后第 3 3 题题(1)(3)(1)(3)小结小结:作业作业:教学反思：教学反思：复数的乘法法则是：复数的乘法法则是：(a a+bi bi)()(c c+di di)=()=(acacbdbd)+()+(bcbc+adad)i i.复数的复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.页脚内容页脚内容3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 教案教案.doc.doc复数的除法法则是：复数的除法法则是：a biacbdbcadi i(c c+di di0).0).c dic2 d2c2 d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.页脚内容页脚内容