高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案.pdf

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1、课课题题：3.33.3 等差数列的前等差数列的前 n n 项和（一）项和（一）教学目的：教学目的：1掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路2 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题教学重点：教学重点：等差数列 n 项和公式的理解、推导及应教学难点：教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪内容分析内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益

2、于等到差数列任意的第k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1 1等差数列的定义等差数列的定义：anan1=d，（n2，nN）2 2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an a1(n 1)d(anam(n m)d或an=pn+q(p、q 是常数)3 3几种计算公差几种计算公差 d d 的方法：的方法：d=anan1 d=4 4等差中项：等差中项：A a aman a1 d=nn mn 1ab a,A,b,成等差数列25 5等

3、差数列的性质：等差数列的性质：m+n=p+qm+n=p+qam an ap aq(m,n,p,q(m,n,p,q N)N)6数列的前数列的前 n n 项和：项和：数列an中，a1 a2 a3 an称为数列an的前 n 项和，记为Sn.“小故事小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为 1+100=101；2+99=101；50+51=101，所

4、以10150=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的 V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层

5、的铅笔数.那么，这个 V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事小故事”问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3，n,的前 120 项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1 1等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 1 1：Snn(a1 an)2证明：Sn a1 a2 a3 an1 anSn a

6、n an1 an2 a2 a1+：2Sn(a1 an)(a2 an1)(a3 an2)(an an)a1 an a2 an1 a3 an22Sn n(a1 an)由此得：Snn(a1 an)2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 2 2：Sn na1n(n 1)d2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但an a1(n 1)d代入公式 1 即得：Sn na1n(n 1)d2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个公式二又可化成式子：Snd2dn

7、(a1)n，当d0，是一个常数项为零的二次式22三、例题讲解三、例题讲解例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个 V 形架上共放着 120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为an，其中a11,a120120，根据等差数列前 n 项和的公式，得S120120(1120)72602答：V 形架上共放着 7260 支铅笔例 2 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为an，前 n 项为Sn则a1 10,d (6)(10)4,Sn 5

8、4由公式可得10n n(n 1)4 542解之得：n1 9,n2 3（舍去）等差数列-10，-6，-2，2前 9 项的和是 54例3.已知等差数列an中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.解法1：设公差为d，由S3=S11得：313+32d/2=1113+1110d/2d=-2,an=13-2(n-1),an=15-2n,an 0152n 0由即得：6.5n7.5,所以n=7时,Sn取最大值.a 0152(n 1)0n1解法2:由解1得d=-2,又a1=13所以Snd2dn (a1)n=-n2+14 n22=-（n-7）2+49当n=7，Sn取最大值对等差数列前项和的最值问

9、题有两种方法对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用an:当an0，d0，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值当an0，前n项和有最小值可由an0，且an10，求得n的值（2）利用Sn：由Snd2dn (a1)n利用二次函数配方法求得最值时n的值22四、练习四、练习：1求集合M m|m 7n,n N*且m 100的元素个数，并求这些元素的和10021477正整数n共有 14 个即M中共有 14 个元素解：由7n 100得n 即：7，14，21，98 是a1 7为首项 a14 98的APSn14(7 98)735答：略2 2.已知一个等差数列的前10 项的和是 310，前

10、20 项的和是 1220，求其前n项和的公式.解：由题设：S10 310S201220得：10a1 45d 310a1 420a1190d 1220d 6n(n 1)6 3n2 n2n(a1 an)2Sn 4n 五、小结五、小结本节课学习了以下内容：1.1.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 1 1：Sn2.2.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 2 2：Sn na13.3.Snn(n 1)d2d2dn (a1)n，当 d0，是一个常数项为零的二次式224.4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（3）利用an:当an0，d0，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值当an0，前n项和有最小值可由an0，且an10，求得n的值（4）利用Sn：Sn六、课后作业六、课后作业：d2dn (a1)n二次函数配方法求得最值时n的值22已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和解：由题设Sn aS2n ban1 an2 a2n b a而(a1 a2 an)(a2n1 a2n2 a3n)2(an1 an2 a2n)S3n(a1 a2 an)(an1 an2 a2n)(a2n1 a2n|2 a3n)3(an1 an2 a2n)3(b a)七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记：八、课后记：