高中数学教学优秀教学设计1--《等差数列前n项和》教案.pdf

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1、等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和数学 5,第二章 2.2.3，P.4244教学目标：理解等差数列前 n 项和求和公式，会推导、能简单应用，并感受、领悟其蕴含的数学文化、思想方法。教学重点：等差数列的前 n 项和求和公式的理解、推导及简单应用。难点：等差数列前 n 项求和公式的推导方法的探索。教学方法：启发、探究，并结合多媒体辅助教学。教学过程：情境引入：今年是中华人民共和国成立 70 周年，各个地方都组织了丰富多彩的活动为祖国母亲庆生。我校也准备了一台晚会。现有一距我校较近的剧院，该剧院有27 排座位，第一排有 24 个，从第二排开始，后面的每一排都比前一排多 2 个座位（投影剧院示

2、意图）。我校师生共 2400 人，计划分两批参加晚会活动。如果你是本次活动的组织者，你需要考虑什么问题呢？生：这个剧院座位是否有 1200 个？师：那你准备怎么计算？生：242628_?师：最后一个数是多少，即第 27 排有多少个座位？生：按等差数列通项公式，求出第 27 项即可，a27a1(271)d 2426276个.(板书)24262876师：这是一个等差数列，我们要求它的和，这就是我们这节课要研究的课题：等差数列的前 n 项和。（板书）师：我们怎么计算这个结果呢？情况一：生:(2476)(2674)(4852)50 1001350 1350.师:这位同学巧妙的利用了等差数列的性质,首项

3、与末项配对,第二项与倒数第二项配对,下标和相等,项的和也相等.因为是奇数项,所以 13 对以后会留下单独一项50,最后加上50,得到总数 1350，这说明了一次可以坐下 1200 人.还有别的计算方法吗？情况二：生:(2476)272 1350师：这么做的依据是什么？1 生：（什么都说不出来）师：华罗庚先生说过，数形结合百般好，隔离分家万事休。看看剧场座位示意图能否给我们一些启发？生：（依然无语）师：40 是第一排的座位数，100 是最后一排的座位数，能否在图上构造 40+100？生：把梯形倒置，拼成一个平行四边形，2.生：梯形面积公式。师：这位同学把数列和图形建立了关系，华罗庚先生说过，数形

4、结合百般好，隔离分家万事休。想法非常好，这个式子与梯形面积公式也确实挺像的。但是，他们不一样，我们的问题相当于求一个梯形中点的总数：第一行有 24 个点，第二行有 26 个点，第 27 行有 76 个点。而梯形的面积公式刻画的则是区域的大小。虽然不是一回事，但是，我们可以借鉴梯形面积公式的推导方法。生：把梯形补成平行四边形。3.生：(24 76)2是平均数师：这个想法挺好的，第一行和最后一行的平均数，可以这样理解，最后一行拿26个座位给第一行，这样最后一行和第一行都是 50 个，第二行和倒数第二行也取平均数，依次类推。对于问题的解决，我们可以先考虑一部分对象，就本问题而言，我们可以先考虑 24

5、+76 的意义。能否在图上构造出 24+76？生：把梯形倒置，拼成一个平行四边形。4.生：（直接回答）把梯形倒置，拼成一个平行四边形，师：补成平行四边形的目的是什么？生：可以使得每一行的座位和都相等，都是 27 个，所以100272 1350师：非常好，这位同学把数列和图形建立了关系，华罗庚先生说过，数形结合百般好，隔离分家万事休。利用梯形倒置相补成平行四边形，使得每一排的座位数相同。这个过程反映到数列计算上就是：记S 24262876S 76747224,两式相加,2S 10027,即S 1350.（若只此一个方法）师：这个方法把 27 个数的加法转化成了乘法，为什么可以转化成乘法，关键是什

6、么？生：配对。师:我们可以看到，这个过程就是将原来的顺序倒过来，与原式依次配对。因为这是等差数列,由下标性质:若p q m n,则ap aq am an(板书),这样使每一对的和都相等,把互不相同的数的加法转化为相同数的加法,于是用乘法就可以大大简化运算.（若有两个方法）师:如果解决一个问题有多种方法，而你又能从这些方法中发现了共同点，那么你就极有可能找到了解决这一类问题的一般性方法。这两种求和方法有共同点吗？生:配对;师:因为这是等差数列,由下标性质:若p q m n,则ap aq am an(板书),这样每一对的和都相等,把互不相同的数的加法转化为相同数的加法,于是用乘法就可以大大简化运算

7、.师:配对方法，大数学家高斯在10 岁的时候就使用过。相传高斯在10 岁的时候，一次课上，老师出了一道题，让他们计算12100.高斯是怎么计算？生：1+100=2+99=。，50 个 101，答案为 5050.师:高斯是真正的天才,十岁时就展现出无与伦比的数学天赋，他一生的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何,复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献,有兴趣的同学课后可以关注一下这位数学家.师:我们现在将这个问题推广一下，求1 2 n，nN，你能解决吗？学生讨论,交流方法.生:法一:因为n的奇偶不确定,此处需要讨论,n-1n1nn若n为偶,则(1 n),若n为奇,则(1n)(

8、1 n);2222师：你有没有其他方法？生:可以看成三角形,倒置,拼成平行四边形,数的计算上:记S 1 2 n,nS nn11,两式相加,2S (1 n).2师:这两种方法都得到了答案,你最欣赏哪种做法?为什么?生:法二,简洁,美观师:法一需要奇偶讨论,法二因为倒过来再写一遍,对应项相加,一定是成对的,这样就避免了奇偶讨论,因此简单.美观是因为这种方法来自于梯形的对称倒置，对称的图形，对称的数是一种数学的美。师：梯形倒置相补，数列呢，倒序，两式相加，我们把这种简洁美观的求和方法称为倒序相加法.师：我们用倒序相加求出了梯形剧场的座位个数，用两种方法求得了前 n 个自然数的和，接下来，你想研究什么

9、？（我们所做的两个问题都是等差数列，第一个是具体问题，第二个一般化一点，那现在呢？继续一般化，更一般化）生：最一般的等差数列an的前 n 项和。师：（板书）Sn a1 a2 an，如何解决？生：Sn an an1 a1，两式相加，得2Sn n(a1an)，即Snn(a1an).2师:此处应注意，a1 an a2 an1 a3 an2确实是相等的，你能从基本量即a1,d的角度进行证明吗？Sn a1a2an a1(a1d)(a12d)a1(n1)dSn an an1 a1 an(an d)(an 2d)an(n 1)d，n(a1an).2师：解决这个问题的难点在于省略号所隐藏的项的和怎么求。我们通

10、过倒序相加的办法，实施配对，将求和问题转化成求相等数的和的问题，加法变成了乘法，避免了奇偶讨论。师：我们知道，一个等差数列，基本量是首项和公差，我们现在获得的公式还不是这样。能否由首项和公差表示该公式呢？n(a1an)生：将Sn中的an用通项公式代入即可，2n(a1an)na1a1(n1)dn(n1)Sn na1d.222两式相加，得2Sn n(a1an)，即Sn师：这个公式不仅可以由首项，公差直接求得前 n 项和，也揭示了Sn与n的函数关系，d2dn (a1)n.Sn是22一个开口方向由d确定的没有常数项的二次函数，它也有着一定的应用。我们先看一下这两当d 0时，常数列，每一项都相等，此时S

11、n a1n；当d 0时，Sn个公式的应用.例 1.在等差数列an中，（1）已知a1 3,a50101，求S50；（2）已知a1 3,d 1，求S10.2310150 2600.21091105（2）由等差数列前n项和公式，得S10103.222师：同学们想想看，我们是怎样解决例 1 的？生：直接用公式的.师：什么时候用公式 1，什么时候用公式 2？生：已知首项末项，用公式 1；已知首项公差，用公式 2.师：所以我们应该根据挑选选择合适的公式。（板书：公式选择）（板书：公式选择）1315例 2.在等差数列an中，已知d,an,Sn，求a1及n.222生：解：（1）由等差数列前n项和公式，得S50

12、3a 1215n ,12解：由题意得：22因此a1 n2，得n 7n30 0.213a1(n1).22所以n 10 或3(舍去)，从而a1 3.师：我们可以看到，例 2 中涉及了五个量：a1,d,n,an,Sn，这其实也包括例 1，只要知道其中的三个量，通过列方程、解方程，就可以求得另外两个量，我们称之为“知三求二”，方程思想在解题中有重要的作用。（板书：方程思想）（板书：方程思想）师：另外，我们这两个方程，其实都把条件转化向了a1,d，用基本量表征研究对象，是我们解决等差数列问题的常用方法。（板书：转化基本量）（板书：转化基本量）师：本题除了这样解方程组以外还有没有其他想法？师：小朋友排队，

13、老师有时会让从左到右报数，有时也会让从右到左报数，这样的方式能否对我们有所启发？把an看成第一项，公差是原公差的相反数，这样可以构造一个新的等差数列，而且前 n 项和并没有改变。（如果有学生说出来这样的方法，你可以这么来解释）3n(n1)115()，从而直接解得n 10。即n。2222逆向思维有时可以出奇制胜。例 3.在等差数列an中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.师：把已知条件用符号语言表述出来（情况一）生：S10 310,S20 S10 910,求S30 S20.10910a d 310a 4302912解：，解得：1，S303

14、046 2730，2d 620a 2019d 122012所以S30 S20 2730 1220 1510.（情况二）生：S10 310,S20 S10 910，求a21 a22 a30.10910a d 3101a 42解：，解得：1，a21 4 206 124，d 620a 2019d 122012所以a21a22a30124101096 1510.2a11 a12 a20 910，（情况三）生：a1 a2 a10 310，求a21a22a30.解：(a11a12a20)(a1a2a10)(a21a22a30)(a11a12a20)100d，即a1 a2 a10，a11 a12 a20，a

15、21a22a30成等差数列，因此：a21 a22 a30 2910 310 1510.师：用等差数列的基本量a1,d表征研究对象，依然是我们解决等差数列问题的好方法。整体化的处理，在这道题中非常方便.师：这个结论能否推广?只有 10 项的和才行吗？生：等差数列an中，Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列.师：课后请大家证明这个结论。练习：等差数列an中，已知a58，求S9.方法一：化归基本量：a5 a1 4d 8，S9 9a1方法二：整体化：S9a1 a99 a59 72.298d 9(8 4d)94d 72.2课堂小结：师：时间过的真快，剧场座位问题，引发我们研究了这么多的数学问题，

16、因此，从一定意义上讲数学来源于生活又服务生活。回顾整节课，我们由解决剧场座位数问题，到解决前n 个正整数求和问题，再到推导一般的等差数列求和公式，最后到应用公式。我们需要根据条件灵活选择公式，方程思想，化归基本量是解决等差数列问题的通法，逆向思维和整体化在特定条件下可以让我们更快捷的解决问题。那么，这节课，哪些内容给你留下了深刻的印象？生:师：综合刚才同学的认识和我个人的想法，梯形让我印象深刻，它给了我们求等差数列前 n 项和的灵感。梯形的倒置相补、数列的倒序相加，本质都是配对，体现了数和形和谐统一。更深层次，配对的目的是为了将不同数的和转化成相同数的和，从而用乘法代替加法解决省略号所隐藏的这些项的和。对于我们以后要研究的其他数列的求和问题，不外如是，解决了省略号，就解决了问题。最后，要强调的就是，比零散的知识更有一般意义的是研究问题的方法。我们从一个特例出发，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步拓展，推导出了一般化公式，并应用、拓展公式。今后我们可以用这种方法去探索更多新的知识。作业：1.教科书 P44.1,2,3,4,5,6 2.编制 4 题本节测试题（三个填空一个大题，兼顾本节所学方法）.