高中数学二项式定理(第一课时)教案.pdf

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1、心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前进的道路有多么艰险、进的道路有多么艰险、崎岖，崎岖，都要鼓足勇气，都要鼓足勇气，义无反顾地走下去。义无反顾地走下去。要学会思考人生，要学会思考人生，感悟生活，感悟生活，提高素养，提高素养，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空

2、。好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。1 13 31 1 二项式定理（第一课时）二项式定理（第一课时）课题课题总课时数总课时数课型课型学学习习目目标标新授课新授课编定人编定人审核人审核人执教时间执教时间知识知识1 1掌握二项式定理及其掌握二项式定理及其展开式的通项公式；展开式的通项公式；目标目标2 2能运用二项式定理展开某些二项式，会求某些特定项能运用二项式定理展开某些二项式，会求某些特定项能力能力通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力归纳推理问题的能力目标目标情感情感激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的

3、精神，并通过数学的对称美，培养学生的激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，并通过数学的对称美，培养学生的目标目标审美意识，通过展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识审美意识，通过展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识重点重点难点难点教学方法教学方法二项定理的推导及其展开式的应用二项定理的推导及其展开式的应用知识的发生过程，用计数原理证明二项式定理知识的发生过程，用计数原理证明二项式定理自主探究、学案导学自主探究、学案导学教教学学过过程程一、创设情境一、创设情境问题：今天星期五，再过问题：今天星期五，再过 8 81010天的那一天是星期几？天的那一天是星期几？问题问题 2

4、2：因为：因为 8=7+18=7+1，那么，那么 8 81010=（7+17+1）1010又如何展开呢？更一般的（又如何展开呢？更一般的（a+ba+b）1010、(a+b)(a+b)n n如何展开？这将是本节课要研究和学习的问题。如何展开？这将是本节课要研究和学习的问题。二、新知探究二、新知探究（一）预习提纲（一）预习提纲(根据以下提纲，预习教材第根据以下提纲，预习教材第 29-3029-30 页，找出疑惑之处页，找出疑惑之处)教学手段教学手段彩笔彩笔师师生生活活动动给给学学生生创创造造一一个个“愤愤”和和“悱悱”的的情情境，激发学生的求境，激发学生的求知欲望知欲望.2 2 分钟分钟1 1运用

5、多项式乘法法则写出（运用多项式乘法法则写出（a+ba+b）2 2、（a+ba+b）3 3、（a+ba+b）4 4的展开式，并探究：的展开式，并探究：项数；各项次数；字母项数；各项次数；字母 a a、b b 指数的变化规律，按指数的变化规律，按 a a 降幂降幂 b b 升幂填写升幂填写.（1 1）(a+b)(a+b)2 2=(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)=，合并同类项后展开式共合并同类项后展开式共项，项，各项是各项是次次学学生生小小组组讨讨论论交交流，对三个展开式流，对三个展开式_的，它们分别为的，它们分别为 ,每一项都是每一项都是ab(k _)的形式的形式.的进行探讨的进行探讨.

6、5 5 分钟分钟（2 2）(a+b)(a+b)3 3=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=，合并同类项后展开式共，合并同类项后展开式共项，各项，各_项是项是次的，它们分别为次的，它们分别为 ,每一项都是每一项都是ab(k _)的形式的形式.（3 3）(a+b)(a+b)4 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=，合合并并同同类类项项后后展展开开式式共共项项，各各项项是是次次的的，它它们们分分别别为为 ,每一项都是每一项都是a_b_(k _)的形式的形式.鼓励学生亲身体验鼓励学生亲身体验2 2如何利用计数原理得到如何利用

7、计数原理得到(a+b)(a+b)2 2，(a+b)(a+b)3 3，(a+b)(a+b)4 4的展开式各项的系数呢？的展开式各项的系数呢？如何解决新问题，如何解决新问题，2 22 2（1 1）对于）对于(a+b)(a+b)：a a 是从是从_个（个（a+ba+b）中取）中取_相乘而得到，相当于从相乘而得到，相当于从_个（个（a+ba+b）培养探究能力和合培养探究能力和合作精神作精神中取中取_个个 b b 的组合数的组合数 C_C_，因此，因此 a a2 2的系数是的系数是 C_.C_.1心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前心灵寄语：希望就

8、像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前进的道路有多么艰险、进的道路有多么艰险、崎岖，崎岖，都要鼓足勇气，都要鼓足勇气，义无反顾地走下去。义无反顾地走下去。要学会思考人生，要学会思考人生，感悟生活，感悟生活，提高素养，提高素养，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。abab 是从是从_个个（a+ba+b）中取中取_，_个个（

9、a+ba+b）中取中取_相乘而得到，相乘而得到，相当于从相当于从_个个（a+ba+b）中取中取_个个 b b 的组合数的组合数 C_C_，因此，因此 abab 的系数是的系数是 C_.C_.学生分组讨论学生分组讨论6 6 分钟分钟2 2b b是从是从_个（个（a+ba+b）中取）中取_相乘而得到，相当于从相乘而得到，相当于从_个（个（a+ba+b）中取）中取_个个 b b 的组合的组合数数 C_C_，因此，因此 b b2 2的系数是的系数是 C_C_(a+b)(a+b)2 2的展开式可用组合数表示为：的展开式可用组合数表示为：(a+b)(a+b)2 2=(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b

10、)=（2 2）对于）对于(a+b)(a+b)3 3：利用同样的办法探究得到含：利用同样的办法探究得到含a a3 3、a a2 2b b、abab2 2、b b3 3这些项的系数分别这些项的系数分别为为 C_C_，C_C_，C_C_，C_C_，（a+ba+b）3 3的展开式可用组合数表示为：的展开式可用组合数表示为：(a+b)(a+b)3 3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)=（3 3）对于）对于(a+b)(a+b)4 4：利用同样的办法探究得到含：利用同样的办法探究得到含 a a4 4、a a3 3b b、a a2 2b b2 2、abab3 3、b b4 4这些

11、项的这些项的系数分别为系数分别为 C_C_、C_C_、C_C_、C_C_、C_C_，（a+ba+b）4 4的展开式可用组合数表示为：的展开式可用组合数表示为：学生在探究过程中学生在探究过程中通过观察、发现，通过观察、发现，类比从而是进行必类比从而是进行必(a+b)(a+b)4 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=要的归纳和合理的要的归纳和合理的n n根根 据以上据以上 归纳，归纳，猜想猜想(a+b)(a+b)的的展开展开 式合并同式合并同 类项类项 后展开后展开 式共式共项项，各各项项猜想得出结论猜想得出结论._是是次的，次的，它们分别为它们

12、分别为 ,每一项都是每一项都是ab(k _)nkk的形式的形式.ab(k 0,1,2,.,n)从从_个（个（a+ba+b）中取）中取_，_个（个（a+ba+b）中取）中取_相相分钟分钟乘乘 而而 得得 到到，相相 当当 于于 从从 _ 个个（a+ba+b）中中 取取 _ 个个 b b 的的 组组 合合 数数 C_C_，因因 此此ankbk(k 0,1,2,.,n)的系数是的系数是 C_.C_.猜想猜想(a+b)(a+b)n n的的展开式可用组合数表示为：展开式可用组合数表示为：(a+b)(a+b)n n=(n(nN N+)由特殊到一般，由由特殊到一般，由（二）二项式定理（二）二项式定理感性到理

13、性感性到理性公式：公式：(a+b)(a+b)n n=(n(nN N+)这个公式叫做二项式定理，这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a(a 十十 b)b)n n的二项展开式，的二项展开式，_(k=0_(k=0，1 1，n)n)叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，记作叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，记作 T Tk+1k+1=。识记概念。识记概念。特特 点点：(1)(1)项项 数数：展展 开开 式式 共共 有有项项；(2)(2)二二 项项 式式 系系 数数：依依 次次为为；(3)(3)指数：指数：a a 的指数是从开始逐渐减按降幂排列到；的指数是从开始逐渐减按降幂排列到

14、；b b3 3 分钟分钟的指数是从开始逐渐加按升幂排列到；的指数是从开始逐渐加按升幂排列到；(4)(4)项的次数：各项，次数和都是项的次数：各项，次数和都是2心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前进的道路有多么艰险、进的道路有多么艰险、崎岖，崎岖，都要鼓足勇气，都要鼓足勇气，义无反顾地走下去。义无反顾地走下去。要学会思考人生，要学会思考人生，感悟生活，感悟生活，提高素养，提高素养，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心

15、无愧；乘着自己的梦飞，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。kankbk，(0 0，l l，2 2，n)n)是是(a(a 十十 b)b)n n3 3注意：注意：（1 1）二项展开式的通项）二项展开式的通项 T Tk+1k+1=Cn展开式的第项，而不是第项；展开式的第项，而不是第项；（2 2）a a、b b 的位置不能颠倒，即的位置不能颠倒，即(b(b 十十 a)a)n n的展开的展开kankbk，而应为，而应为_；式第式第 k k 十十 1 1 项，

16、不是项，不是Cn（3 3）是）是(a(a 一一 b)b)n n的展开式第的展开式第 k k 十十1 1 项为项为_；（）注意区别二项式系数与指定项的系数异同（）注意区别二项式系数与指定项的系数异同k在在(a(a 十十 b)b)n n的展开式中，系数的展开式中，系数Cn(0 0，l l，n)n)是一组仅与二项式的次数是一组仅与二项式的次数 n n 有关的有关的n nn n 十十 1 1 个组合数，与个组合数，与 a a、b b 无关，因此称为二项式系数而无关，因此称为二项式系数而(a(a 十十 b)b)的展开式中指定项的展开式中指定项kkn n系数与系数与 a a、b b 一般是有联系的一般是有

17、联系的例如：例如：而而(1(1 十十 2x)2x)的展开式第十的展开式第十 l l 项的系数为项的系数为2Cn，分钟分钟nkn n(2(2 十十 x)x)的展开式第十的展开式第十 1 1 项的系数为项的系数为2学生分组讨论、纠学生分组讨论、纠正、争辩，合作交正、争辩，合作交特值思想：二项式定理中，如果设特值思想：二项式定理中，如果设a 1，b x则得到公式，则得到公式，流，感受成果初步流，感受成果初步n1 x _思考：思考：(1 x)n应用应用回归问题，体现了回归问题，体现了知识的实际应用价知识的实际应用价练习：练习：8 81010=（7+17+1）1010 ,值，学生的学习热值，学生的学习热

18、1010当今天是星期五，再过当今天是星期五，再过 8 8天后是星期天后是星期情自然达到高潮情自然达到高潮.学生板演，小组之学生板演，小组之三、典例分析三、典例分析间竞赛在规定时间间竞赛在规定时间16内完成内完成)的展开式的展开式分析：为了方便，可以先化简后展开分析：为了方便，可以先化简后展开例例求求(2 x x分钟分钟变式：把分式中的分子变式：把分式中的分子 1 1 改写为改写为-2-2 呢？求呢？求(2 x 四、拓展提高四、拓展提高0n1n1设设 n n 为自然数，则为自然数，则Cn2 Cn2knk1Cn2kn1Cn（）n26)的展开式中的常数项的展开式中的常数项xA A2B B0 0C C

19、-1-1D D五、归纳总结五、归纳总结1 1二项式定理的推导，体现排列、组合思想的应用；二项式定理的推导，体现排列、组合思想的应用；2 2二项式定理的结构及其注意二项式定理的结构及其注意问题问题.3 3通过探究体验，你有哪些方面的收获？通过探究体验，你有哪些方面的收获？六、作业设计六、作业设计1 1必做题：必做题：nP36-37组组，；，；2 2选择题：见拓展资源选择题：见拓展资源3变式体现知识的多变式体现知识的多样性学生讨论、样性学生讨论、总结方法总结方法分钟分钟拓展学生思维，学拓展学生思维，学生讨论、生讨论、合作交流合作交流,二项式定理逆向运二项式定理逆向运用用分钟分钟鼓励学生反思课堂鼓励

20、学生反思课堂的积极表现参与，的积极表现参与，展示成果展示成果2 2 分钟分钟分层要求分层要求3 3 分钟分钟心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前心灵寄语：希望就像一盏明灯，指引着人生方向。每个人每天都要有希望，为希望而充实地活着。不管前进的道路有多么艰险、进的道路有多么艰险、崎岖，崎岖，都要鼓足勇气，都要鼓足勇气，义无反顾地走下去。义无反顾地走下去。要学会思考人生，要学会思考人生，感悟生活，感悟生活，提高素养，提高素养，完善自我，珍惜拥有，感恩社会，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，完善自我，珍惜拥有，感恩社会

21、，奉献青春，享受幸福。跟着自己的心走，问心无愧；乘着自己的梦飞，好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。好梦成真。用自己的智慧创造一片属于自己的天空。七、精彩一练七、精彩一练应用整合，强化新应用整合，强化新66551 1(x-1)10的展开式中第项的系数是（的展开式中第项的系数是（）（A A）C10（B B）-C10（C C）C10（D D）-C10知，自主学习，拓知，自主学习，拓展视野展视野2 2(2a+3b)6的展开式中第的展开式中第 3 3 项是项是_01kn3 3Cn=_=_CnCnCn122nn4 4C03C3 C3 Cnnnn16)的展开式的常数项为的展开式的常数项为5.5.

22、(2 x x八、学后反思八、学后反思反思问题，不断进反思问题，不断进九、板书设计九、板书设计步步1 13 31 1 二项式定理（第一课时）二项式定理（第一课时）一、新知探究一、新知探究二、典例分析二、典例分析三、三、拓展提高拓展提高四、方法总结四、方法总结1.1.二项式定理二项式定理例例 1 12.2.特点特点3.3.结论结论培养兴趣，提升素培养兴趣，提升素十、拓展资源十、拓展资源养养杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在1313对学生进行爱国主对学生进行爱国主世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。宋元数学四大家之世纪中叶活动于苏杭一带，其著

23、作甚多。宋元数学四大家之义教育义教育一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉在详解九章算法一书中还画了一成规律的数学家。杨辉在详解九章算法一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”,在欧洲在欧洲,这个这个表叫做帕斯卡三角表叫做帕斯卡三角,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的由此可见我国古代

24、数学的成就是非常值得中华民族自豪的n(a b)展开式中的二项式系数展开式中的二项式系数,当当n依次取依次取 1,2,3,1,2,3,时时,如下表所示如下表所示:1(a b)1 11 12(a b)1 2 11 2 1(a b)31 3 3 11 3 3 1探究学习，拓展视探究学习，拓展视(a b)41 4 6 4 11 4 6 4 1野野(a b)51 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1(a b)61 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1观察表中二项式系数的规律观察表中二项式系数的规律,并加以归纳并加以归纳.继续观察杨辉三角继续观察杨辉三角,归纳每行二项式系归纳每行二项式系数的特点数的特点(即二项式系数的性质即二项式系数的性质),),猜测出二项式系数的性质猜测出二项式系数的性质.4